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专题七 概率与统计
08 独立重复试验与二项分布、超几何分布和正态分布
考纲对本模块内容的具体要求如下：
二项分布与超几何分布、正态分布是高考 ( http: / / www.21cnjy.com )出题的知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些.
1.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.【出处：21教育名师】
(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.21教育名师原创作品
2. 超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰 ( http: / / www.21cnjy.com )有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即
X 0 1 … m
P …
其中m= min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.
3.正态分布
(1)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
考点一　独立重复试验与二项分布
（1）（2021·福建龙岩市·上杭一中高三开学考试）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
由题意可知五场中获胜的场次，
所求选手能参加决赛的概率.
故选：D
（2）（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X～B，则P(X＝2)等于（ ）
A．2×3 B．2×3
C．×2×3 D． ×2×3
【答案】D
【分析】
由二项分布的概率公式，即得解
【详解】
∵随机变量X～B，由二项分布的概率公式
∴P(X＝2)＝
故选：D
（3）（2021·全国·高二课时练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
【答案】B
【分析】
求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案.
【详解】
解：，
则，得，
所以当时，，
当时，，
从而时，取得最大值．
故选：B．
（4）（2021·全国·高二课时练习）张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．设 为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列．
【答案】见解析
【分析】
利用二项分布直接求解
【详解】
由题意随机变量X
，
，
故分布列为：
0 1 2 3
P
【规律方法】
独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.2-1-c-n-j-y
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.【版权所有：21教育】
【跟踪练习】（2021·湖北·高三期中）小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，1
【分析】
（1）由相互独立事件的概率公式与互斥事件概率的加法公式求解即可；
（2）由题意可知：，由二项分布的概率公式与期望公式求解即可
（1）
；
（2）
由题意可知：，的所有可能取值为0，1，2，3，
；；
；，
分布列为
0 1 2 3
期望.
考点二 超几何分布
（1）（2021·全国·高二课前预习）有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．n B．
C． D．
【答案】C
【详解】
设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E(X)＝.
（2）（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用超几何概率计算公式即可求解.
【详解】
组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.
故选：C
（3）（2021·全国·高二课时练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【答案】B
【分析】
根据超几何分布的定义可判断得选项.
【详解】
解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
【跟踪练习】（2021·全国·高二课时练习）袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．21·世纪*教育网
（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列；
（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列．
【答案】
（1）分布列见解析
（2）分布列见解析
【分析】
（1）根据题意得到随机变量的可能取值为，结合二项分布，即可求解.
（2）根据题意得到随机变量的可能取值为，结合超几何分布，即可求解.
（1）
由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数的可能取值为，
其中每次抽取到黑球的概率均为，
所以2次取球可以看成2次的对立重复试验，则，
可得，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
（2）若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分别列为：
0 1 2
考点三 正态分布
（1）（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（理））某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】
由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事件得，
即，令，由的单调性可解得结果.
【详解】
服从正态分布，且，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为，
由，得，
令，
，单调递减，又，，
不等式的解集为的最小值为
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得，即.
（2）（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三月考）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ）21*cnjy*com
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】
根据正态分布的对称性，即得解
【详解】
由题意，根据正态分布的对称性
故选：A
（3）（2021·全国·高二课时练习）某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100，1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．X～N(μ，)，有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件求出符合要求的螺栓尺寸的范围，即可计算设备需检修的概率.
【详解】
依题意，10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97，103]内，
工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修，则尺寸为103.2的螺栓在8个之中，
所以质检员认为设备需检修的概率为.
故选：B
【规律方法】
正态分布下的概率计算常见的两类问题
（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1的性质.21*cnjy*com
（2）利用3σ原则求概率问题时， ( http: / / www.21cnjy.com )要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于 μ－σ，μ＋σ ， μ－2σ，μ＋2σ ， μ－3σ，μ＋3σ 中的哪一个.
【跟踪练习】（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））某行业对本行业人员的身高有特殊要求，该行业人员的身高（单位：）服从正态分布.已知，.
（1）从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间的概率；
（2）从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间上的人数为，求的分布列和数学期望（分布列结果可以只列式不计算）.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析；.
【分析】
（1）根据正态分布曲线的对称性，得到，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到服从二项分布，结合独立重复试验的概率公式和二项分布期望公式，即可求解.
【解析】（1）解：由题意，该行业人员的身高（单位：）服从正态分布，
可得正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，可得
因为，，
可得.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：由，可得，
又由，可得，
则随机变量服从二项分布，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
可得随机变量的期望为.
1.（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【分析】
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2.（2021·河南·高三月考（理））已知随机变量X，Y，Z满足X～N(3，)，Y～N(1，)，Z=Y-1，且P(X>4)=0.1，则P(Z2<1)的值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【分析】
根据给定条件可得随机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，进而得出，再求出即可计算作答.
【详解】
因随机变量X，Y满足X～N(3，)，Y～N(1，)，则随机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别为和，
因此，，而Z=Y-1，则，
于是得，
所以P(Z2<1)的值为0.8.
故选：C
3.（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（ ）
A．用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好
B．已知随机变量，若，则
C．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量．则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】A
【分析】
对于判断个命题真假，只要对各选项逐个判断即可.对于A相关指数越大说明拟合效果越好，题中说法相反；对于B根据正态分布图像知概率与概率相同，即可判断的概率为；对于C可以根据二项分布得出从而求解；对于D根据独立性检验知识判断即可.
【详解】
对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；
对于B选项，正态分布图像关于对称，因为概率为，所以概率为，故的概率为，故B正确；
对于C选项，服从二项分布，因此，则，故C正确；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确．
故选:A
4．（2021·全国·高二专题练习）下列说法正确的个数是
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
利用独立重复试验的概念和二项分布的定义逐一分析判断每一个命题的真假即得解.
【详解】
①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误.
故选：C
5.（2021·全国·高二课时练习）一个袋 ( http: / / www.21cnjy.com )中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
6.（2021·河南洛阳·高二期末（理））已知随机变量服从两项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据二项分布概率公式求出p，再结合正态分布曲线的对称性求解即可．
【详解】
因为，
所以，
得，
又因为服从，
所以，
所以．
故选：A．
7.（2021·全国·高三专题练习（文））将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二项分布概率公式计算即得.
【详解】
由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以．
故选：C．
8.（2021·福建省永泰县第一中学高二月考）下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．若，且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【分析】
由已知结合正态分布的性质及期望方差的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】
解：对于A：设随机变量，则，正确；
对于B：因为，所以，所以，故B正确；
对于C：，，不正确；
对于D：因为随机变量满足，，所以，，
由一次函数及二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，正确．
故选：．
9．（2022·全国·高三专题练习）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
【答案】ACD
【分析】
分别计算概率，计算期望与方差.
【详解】
从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
10．（2021·全国·高二单元测 ( http: / / www.21cnjy.com )试）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，下列说法正确的是（ ）
A．这2台电脑中A品牌台数为1的概率是
B．这2台电脑中A品牌台数为2的概率是
C．这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是
D．这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率是
【答案】AC
【分析】
利用超几何分步的概率计算公式逐一判断即可.
【详解】
设挑选的2台电脑中A品牌的台数为，
的取值范围为，
则，，
，A正确，B错误．
这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是，C正确．
这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率为，D错误．
故选：AC．
11．（2021·全国·高二单元测试）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在一个袋中装有大小一样的个豆沙粽，个咸肉粽，现从中任取个粽子，设取出的个粽子中咸肉粽的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【分析】
根据服从超几何分布可判断BC选项的正误，利用超几何分布的概率公式可判断AD选项的正误.
【详解】
由题意知，随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
，，
所以，故AD正确．
故选：ACD．
12．（2021·全国·高二课时练习）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
【答案】ABD
【分析】
根据超几何分布的定义可以得出答案.
【详解】
解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
故选：ABD
13．（2021·江苏省镇江中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高二月考）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
【答案】ABD
【分析】
根据超几何分布的概率公式计算，逐项验证即可.
【详解】
解：两件都是一等品的概率为，
两件中有一件次品的概率为，
两件都是正品的概率为，
两件中至少有1件是一等品的概率为：．
故选：ABD．
14. （2021·全国·高二单元 ( http: / / www.21cnjy.com )测试）某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：
班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班
抽取人数 4 5 11 8 10 12
满意人数 3 2 8 5 6 6
现从一班和二班抽取的学生中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为______；若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名学生，记其中满意人数为，则______.
【答案】
【分析】
由超几何分布的知识可得选中的4人中恰有2人不满意的概率，在高一年级全体学生中随机抽取1名学生，其持满意态度的概率为，得到的取值范围为，求得相应的概率，即可求解.
【详解】
从一班和二班抽取的学生中随机选取4人进行追踪调查，
则选中的4人中恰有2人不满意的概率为，
在高一年级全体学生中随机抽取1名学生，
其持满意态度的概率为，
由题意，知的取值范围为，
且，，
，
所以.
故答案为：；.
15．（2022·浙江·高三专题练习）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为_________，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有篇，则随机变量的期望为_________．
【答案】
【分析】
依题意可以先求出随机变量的分布列，由此可以求出甲同学能及格的概率，也可求出随机变量的期望.
【详解】
依题意，可取0,1,2,3，且服从超几何分布.
所以，，
所以，的分布列为
0 1 2 3
所以，甲同学能及格的概率为；
随机变量的期望.
故答案为：①；②.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点在于先求出随机变量的分布列.
16．（2021·天津市宝坻区第一中学二模）一个盒子里有1个红1个绿4个黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X.（1）若取球过程是无放回的，则事件“”的概率为__________；（2）若取球过程是有放回的，则________.
【答案】 2
【分析】
（1）无放回取球时，利用组合计数求得总的取法数和其中黄球个数为2个的取法数，进而求得概率；（2）可以得到X服从二项分布,利用计算即可.
【详解】
（1）无放回取球时，6个球任取三个，有种不同的取法，其中黄球个数为2个的取法有，故;
（2）有放回取球时，每次取到黄球的概率都是,取到黄球的次数X服从二项分布，取到黄球的个数的期望值为,21教育网
故答案为：（1）；（2）2.
【点睛】
本题考查无放回取球和有放回取球的概率和概率分布的期望问题，利用组合计数可以求得（1），利用二项分布的期望公式可以得到（2）的结论.21·cn·jy·com
17．（2021·全国·高三专题练习）已知随机变量，若随机变量，则的数学期望______.
【答案】80
【分析】
根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解】
由题设随机变量，
知，
因为，
所以.
故答案为：80
18．（2021·全国·高二单元测试） ( http: / / www.21cnjy.com )为活跃校园文化，丰富学生的课余生活，某高校社团举办了“校园音乐节”，某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率；
（2）假设演唱1首摇滚歌曲， ( http: / / www.21cnjy.com )观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱1首校园民谣，观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【分析】
(1)根据给定条件求出没有1首摇滚歌曲被演唱的概率，再借助对立事件的概率公式计算即得；
(2)求出4首歌曲中演唱摇滚歌曲数Y的分布，再求互动指数之和X的分布列即可得解.
【详解】
（1）设“至少演唱1首摇滚歌曲”为事件A，则事件A的对立事件为“没有1首摇滚歌曲被演唱”，
所以；
（2）设乐队共演唱Y首摇滚歌曲，Y的所有可能值为0，1，2，3，则，()，
，，，，
因为，当时，对应，
即X的所有可能值为：5a，6a，7a，8a，
，，，
所以X的分布列为：
Y 5a 6a 7a 8a
P
19.（2021·全国·高二课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】
（1）结合频率分布直方图求解(1)；
（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．
【详解】
（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，www.21-cn-jy.com
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
20.（2021·全国·高二课时练习）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.21cnjy.com
（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.
（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【答案】（1），；（2）选择学生，理由见解析.
【分析】
（1）由古典概型概率公式求得的概率，由独立重复试验的概率公式计算出的概率；
（2）的可能取值为1，2，3，计算出概率后得概率分布列，求出期望与方差，而，也计算出均值与方差，比较可得．www-2-1-cnjy-com
【详解】
（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，.
易知，
所以，.
因为，，
所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生.
考纲解读
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题七 概率与统计
08 独立重复试验与二项分布、超几何分布和正态分布
考纲对本模块内容的具体要求如下：
二项分布与超几何分布、正态分布是高考出题的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些.
1.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.21世纪教育网版权所有
(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.21·cn·jy·com
2. 超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取 ( http: / / www.21cnjy.com )n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即【来源：21·世纪·教育·网】
X 0 1 … m
P …
其中m= min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.
3.正态分布
(1)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴_____，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线_____对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值_____；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越_____，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越_____，表示总体的分布越_____．21·世纪*教育网
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝_____；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝_____；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_____.
考点一　独立重复试验与二项分布
（1）（2021·福建龙岩市·上杭一中高三开学考试）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X～B，则P(X＝2)等于（ ）
A．2×3 B．2×3
C．×2×3 D． ×2×3
（3）（2021·全国·高二课时练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
（4）（2021·全国·高二课时练习）张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．设 为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列．
【规律方法】
独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.2·1·c·n·j·y
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.【来源：21cnj*y.co*m】
【跟踪练习】（2021·湖北·高三期中）小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望【出处：21教育名师】
考点二 超几何分布
（1）（2021·全国·高二课前预习）有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（ ）【版权所有：21教育】
A．n B．
C． D．
（2）（2021·全国·高二课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（ ）21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
（3）（2021·全国·高二课时练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【跟踪练习】（2021·全国·高二课时练习）袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．www-2-1-cnjy-com
（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列；
（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列．
考点三 正态分布
（1）（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（理））某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则的最小值为（ ）21*cnjy*com
A．7 B．6 C．5 D．4
（2）（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三月考）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
（3）（2021·全国·高二课时练习）某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100，1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．X～N(μ，)，有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
正态分布下的概率计算常见的两类问题
（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1的性质.
（2）利用3σ原则求概率问题时， ( http: / / www.21cnjy.com )要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于 μ－σ，μ＋σ ， μ－2σ，μ＋2σ ， μ－3σ，μ＋3σ 中的哪一个.
【跟踪练习】（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））某行业对本行业人员的身高有特殊要求，该行业人员的身高（单位：）服从正态分布.已知，.
（1）从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间的概率；
（2）从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间上的人数为，求的分布列和数学期望（分布列结果可以只列式不计算）.
1.（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
2.（2021·河南·高三月考（理））已知随机变量X，Y，Z满足X～N(3，)，Y～N(1，)，Z=Y-1，且P(X>4)=0.1，则P(Z2<1)的值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
3.（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（ ）
A．用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好
B．已知随机变量，若，则
C．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量．则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大
4．（2021·全国·高二专题练习）下列说法正确的个数是
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
6.（2021·河南洛阳·高二期末（理））已知随机变量服从两项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
7.（2021·全国·高三专题练习（文））将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
8.（2021·福建省永泰县第一中学高二月考）下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．若，且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
9．（2022·全国·高三专题练习）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
10．（2021·全国·高二单 ( http: / / www.21cnjy.com )元测试）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，下列说法正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．这2台电脑中A品牌台数为1的概率是
B．这2台电脑中A品牌台数为2的概率是
C．这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是
D．这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率是
11．（2021·全国·高二单元测试）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在一个袋中装有大小一样的个豆沙粽，个咸肉粽，现从中任取个粽子，设取出的个粽子中咸肉粽的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布 D．
12．（2021·全国·高二课时练习）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
13．（2021·江苏省镇江中学高二 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
14. （2021·全国·高二单元测试）某校在高一年 ( http: / / www.21cnjy.com )级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：21cnjy.com
班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班
抽取人数 4 5 11 8 10 12
满意人数 3 2 8 5 6 6
现从一班和二班抽取的学生中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为______；若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名学生，记其中满意人数为，则______.
15．（2022·浙江·高三专题练习）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为_________，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有篇，则随机变量的期望为_________．
16．（2021·天津市宝坻区第一中学二模）一个盒子里有1个红1个绿4个黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X.（1）若取球过程是无放回的，则事件“”的概率为__________；（2）若取球过程是有放回的，则________.
17．（2021·全国·高三专题练习）已知随机变量，若随机变量，则的数学期望______.
18．（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )单元测试）为活跃校园文化，丰富学生的课余生活，某高校社团举办了“校园音乐节”，某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率；
（2）假设演唱1首摇滚歌曲，观众与 ( http: / / www.21cnjy.com )乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱1首校园民谣，观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的分布列．
19.（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二课时练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
20.（2021·全国·高二课时练习）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.21教育网
（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.
（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
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高频考点
例1
例2
例3
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