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专题七 概率与统计
07 随机事件的概率、古典概型与几何概型
考纲对本模块内容的具体要求如下：
古典概型是高考中的常考知识点，其背 ( http: / / www.21cnjy.com )景一般较为新颖，常与排列、组合、统计知识交汇出题，多以选择或者填空为主，与现实结合较为紧密，难度以中低难度为主
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.
2..理解古典概型及其概率计算公式，了解几何概型的意义．
数学抽象：能够在及实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念.
逻辑推理：1.利用事件的关系将复杂事件转换为简单事件.
2.通过列举法的出事件包含的样本点个数和样本空间包含的样本点数，体现逻辑推理的素养.21世纪教育网版权所有
数学运算：1.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率..
2.能准确判断事件关系并进行概率运算.
1．频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验 ( http: / / www.21cnjy.com )时，随机事件A发生的频率fn(A)＝______会在某个常数附近摆动，则把这个______记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
2．事件的关系与运算
名称 定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等事件 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交(积)事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ 且A∪B＝U(U为全集)
3.概率的基本性质
(1)任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件 的概率为0，必然事件Ω的概率为1.21教育网
(2)如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝______．
(3)事件A与它的对立事件的概率满足P(A)＋P()＝______.
4．古典概型与几何概型
名称 古典概型 几何概型
相同点 基本事件发生的可能性相等
不同点 基本事件有有限个 基本事件有无限个
计算公式 P(A)＝______ P(A)＝_____.
[常用结论]
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称 ( http: / / www.21cnjy.com )这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．21·cn·jy·com
考点一　随机事件的频率与概率
（2021·广东·仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水【来源：21·世纪·教育·网】
【规律方法】
1.概率与频率的关系,概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.21·世纪*教育网
2.随机事件概率的求法,利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.21*cnjy*com
易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
【跟踪练习】（2021·全国·高一课时练习）下面是某批乒乓球质量检查结果表：
抽取球数 50 100 200 500 1000 2000
优等品数 45 92 194 470 954 1902
优等品出现的频率
（1）在上表中填上优等品出现的频率；
（2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少.
考点二 古典概型
(1)(2020全国高三（文）)2 ( http: / / www.21cnjy.com )020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.
(2)(2020全国高三专题练习)已知直线：，直线：，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为____．
(3) (2020全国高三其他模拟（理）)二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______.
【规律方法】
1.计算古典概型事件的概率可分三步：（1）计算基本事件总个数n；（2）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（3）代入公式求出概率P.2-1-c-n-j-y
2.（1）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.
（2）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.
【跟踪练习】(1)(2020全国高三专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com ))我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类 物理学类 力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).【来源：21cnj*y.co*m】
(2)（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）【出处：21教育名师】
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
考点三 几何概型
(1)（2021·全国·高考真题（文））在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
(2)（2021·广西南宁·高三月考（文） ( http: / / www.21cnjy.com )）若1路、2路公交车的站点均包括泉港一中，且1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，则某学生去坐这2趟公交车回家，等车不超过5分钟的概率是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【规律方法】
解答几何概型试题要善于根据题目特点寻找基本事 ( http: / / www.21cnjy.com )件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算.
（1）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.
（2）两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积.
【跟踪练习】（2021·江西·南城县第二中学高二月考）在一次商贸交易会上，某商家在柜台前开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有1个红球和5个白球的袋中无放回地取出个球，当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.
（1）求甲中奖的概率;
（2）若甲计划在9:00—9:45之间赶到，乙计划在9:15—10:00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.
1.（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·山东·高考真题 ( http: / / www.21cnjy.com )）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.（2021·全国·高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.（2020年高考江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
5.（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.（2021·广东·仲元中学高二 ( http: / / www.21cnjy.com )开学考试）天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 195 925 27 ( http: / / www.21cnjy.com )1 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20
7.（2021·河南·高二月考（文））如下图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则点落到阴影部分内的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8.（2021·河南·高三月考（文））如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，外部正六边形的边长为，里面圆的圆心为正六边形的中心，半径为.若向正六边形剪纸窗花的内部投掷一点，则恰好落在圆的内部的概率为___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
9.（2021·江苏·高考真题）已知关于的二次函数.
（1）若，，求事件在上是增函数}的概率;
（2）若，，求事件“方程没有实数根”的概率.
10.（2021·贵州·贵阳市第二十五中学高二月考）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．
（1）如果甲船和乙船停泊时间都是4h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率；
（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间是2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
11.（2020·云南·昭通市昭阳区第一中学高一月考（文））已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．
（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；
（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．
12．（2021·广西·玉林市育才中学高二期中（文））设函数 .
（1）若是从、、、、五个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，求函数无零点的概率；
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求函数无零点的概率.
13．（2021·广东·顺德一 ( http: / / www.21cnjy.com )中高二期中）在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色 3只白色的乒乓球（其体积 质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.
（1）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（2）假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
14．（2021·湖北荆州·高二期中）如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点， 在点出发处放一颗珠子，珠子只能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.
（2）求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.
15．（2021·全国·高一课时练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：21教育名师原创作品
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
16．（2020·全国·高一课时练习）为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了10批试验，油菜籽的发芽试验相关数据如下表：
批次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 5000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 4490
问题
（1）如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率？
（2）由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
（3）如何确定该油菜籽发芽的概率？
17．（2021·全国·高三月考（文）） ( http: / / www.21cnjy.com )2021年很多省份将进入“3+1+2”新高考模式，某校为给2020年秋季入学的新高一学生做好生涯规划，从本校2021届（2018年入学）的1500名学生中随机挑选了100名男同学和100名女同学，调查每位同学对自己的选科情况的满意或不满意的评价，得到如下表格：2·1·c·n·j·y
满意 不满意
男同学 85 15
女同学 65 35
（1）试估计该校2021届学生中对自己选科情况满意的人数；
（2）是否有99.5%的把握认为男、女同学对自己的选科情况的评价有差异
参考公式及数据：，其中.
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
18．（2021·全国·高一单元测试）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：21cnjy.com
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.
①写出对应的样本空间，并说出其中含有的样本点个数；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.
19．（2021·黑龙江 ( http: / / www.21cnjy.com )·哈九中高三月考（理））冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.
（2）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑 ( http: / / www.21cnjy.com )降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化 请说明理由.
20．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））2021年7月23日~8月8日，第32届夏季奧林匹克运动会在日本首都东京举行，中国乒乓球队在中国乒乓球协主席刘国梁的带领下，夺得了男女个人赛、团体赛共4枚金牌.已知某中学共有学生1800人，男女比例为，该中学体育协会为了解乒乓球运动和性别的关联性，通过调查统计，得到了如下数据：
男生 女生 合计
喜欢打乒乓球 52 34 86
不喜欢打乒乓球 48 66 114
合计 100 100 200
（1）以频率估计概率，请估计该校男生喜欢打乒乓球的概率和该校女生喜欢打乒乓球的人数；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“中学生喜欢打乒乓球与性别有关”？（计算结果保留到小数点后3位）www.21-cn-jy.com
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
21．（2021·全国·高二课时练习）大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示．
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．
（1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；
（2）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列．
22．（2021·全国·高三专题练习）梨树 ( http: / / www.21cnjy.com )绝大多数品种自花授粉，结实率很低，因此果农在栽培梨树的时候，必须在果园配置授粉树，并结合适当的辅助授粉方法，以便更顺利地完成梨树的授粉受精过程，以此达到果园丰产稳产、高品质的目的．某地区将梨树蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率进行比较，统计数据如下：
坐果 授粉方式 总计
自然授粉 蜜蜂授粉
花朵未坐果
花朵坐果
（1）自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果数的频率分别是多少？
（2）根据数据完成下列列联表，并据此判断能否有的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异？
坐果 授粉方式 总计
自然授粉 蜜蜂授粉
花朵未坐果
花朵坐果
总计
附：，
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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专题七 概率与统计
07 随机事件的概率、古典概型与几何概型
考纲对本模块内容的具体要求如下：
古典概型是高考中的常考知识点，其背景一般较 ( http: / / www.21cnjy.com )为新颖，常与排列、组合、统计知识交汇出题，多以选择或者填空为主，与现实结合较为紧密，难度以中低难度为主
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.
2..理解古典概型及其概率计算公式，了解几何概型的意义．
数学抽象：能够在及实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念.
逻辑推理：1.利用事件的关系将复杂事件转换为简单事件.
2.通过列举法的出事件包含的样本点个数和样本空间包含的样本点数，体现逻辑推理的素养.2·1·c·n·j·y
数学运算：1.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率..
2.能准确判断事件关系并进行概率运算.
1．频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随 ( http: / / www.21cnjy.com )机事件A发生的频率fn(A)＝会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
2．事件的关系与运算
名称 定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等事件 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交(积)事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ 且A∪B＝U(U为全集)
3.概率的基本性质
(1)任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件 的概率为0，必然事件Ω的概率为1.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)事件A与它的对立事件的概率满足P(A)＋P()＝1.
4．古典概型与几何概型
名称 古典概型 几何概型
相同点 基本事件发生的可能性相等
不同点 基本事件有有限个 基本事件有无限个
计算公式 P(A)＝ P(A)＝.
[常用结论]
如果事件A1，A2，…，An两 ( http: / / www.21cnjy.com )两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．21·cn·jy·com
考点一　随机事件的频率与概率
（2021·广东·仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水21·世纪*教育网
【答案】BCD
【分析】
根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.
【详解】
由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，21*cnjy*com
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
【规律方法】
1.概率与频率的关系,概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.21世纪教育网版权所有
2.随机事件概率的求法,利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【来源：21cnj*y.co*m】
易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
【跟踪练习】（2021·全国·高一课时练习）下面是某批乒乓球质量检查结果表：
抽取球数 50 100 200 500 1000 2000
优等品数 45 92 194 470 954 1902
优等品出现的频率
（1）在上表中填上优等品出现的频率；
（2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少.
【答案】（1）答案见解析；（2）0.95.
【分析】
（1）由如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则频率为求解；当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值.
（2）由如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值求解.
【详解】
（1）如下表所示：
抽取球数 50 100 200 500 1000 2000
优等品数 45 92 194 470 954 1902
优等品出现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
（2）由表中数据可估计，这批乒乓球优等品的概率是0.95
考点二 古典概型
(1)(2020全国高三（文）)2020 ( http: / / www.21cnjy.com )年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.
【答案】
【解析】某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,
基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.
甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,
∴甲被选中的概率为p.
故答案为：.
(2)(2020全国高三专题练习)已知直线：，直线：，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为____．
【答案】
【解析】由，，，
解得：，
解得：，
所以当时，b=3，4，5，6；
当时，b=5，6；共6种，
.
故答案为：.
(3) (2020全国高三其他模拟（理）)二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______.
【答案】
【解析】因为二项式系数的和为，解得，
所以二项式的展开式的通项为，
其中当，3，6时为有理项.
因为二项式的展开式中共有9项，所以全排列有种排法，
其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻，
可先将6项非有理项全排列，共种排法，
然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中，共种插法，
所以有理项都互不相邻的概率为.
故答案为：
【规律方法】
1.计算古典概型事件的概率可分三步：（1）计算基本事件总个数n；（2）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（3）代入公式求出概率P.
2.（1）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.
（2）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.
【跟踪练习】(1)(2020全国 ( http: / / www.21cnjy.com )高三专题练习)我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类 物理学类 力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】：将5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类 物理学类 力学类这三个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有种，
三个专业都有我校学生的情况有种不同分配方式，
三个专业都有我校学生的概率：，
故答案为：.
(2)（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】
利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】
解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
考点三 几何概型
(1)（2021·全国·高考真题（文））在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据几何概型的概率公式即可求出.
【详解】
设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，
“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．
(2)（2021·广西南宁·高三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考（文））若1路、2路公交车的站点均包括泉港一中，且1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，则某学生去坐这2趟公交车回家，等车不超过5分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出图形，结合几何概型公式求解.
【详解】
设1路公交车到达时间为，2路公交车到达时间为，看作平面内的点，则可设，如图所示，整个长方形区域面积为，等车时间不超过5分钟的部分应为阴影部分区域面积，故所求概率为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C
【规律方法】
解答几何概型试题要善于根据题目特点寻找基本 ( http: / / www.21cnjy.com )事件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算.
（1）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.
（2）两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积.
【跟踪练习】（2021·江西·南城县第二中学高二月考）在一次商贸交易会上，某商家在柜台前开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有1个红球和5个白球的袋中无放回地取出个球，当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.
（1）求甲中奖的概率;
（2）若甲计划在9:00—9:45之间赶到，乙计划在9:15—10:00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出从6个球中抽3球的总数及3个球都是白球的方法数后计算概率．
（2）设甲是时刻到达，乙是时刻到达，列出的范围，由构成一个矩形区域，面积，然后再求出其中满足的区域的面积后可得概率．
【详解】
（1）甲中奖概率为．
（2）甲是时刻到达，乙是时刻到达，则（用小时表示时刻），满足此条件的构成一个正方形，如图，面积为，其中满足的区域是五方形部分（不含直线上的部分），面积为，
所以所求概率为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
2.（2021·山东·高考真题）甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
【详解】
甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．
故选：D
3.（2021·全国·高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】
如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com / )
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
4.（2020年高考江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
5.（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】
5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
6.（2021·广东·仲 ( http: / / www.21cnjy.com )元中学高二开学考试）天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 195 925 ( http: / / www.21cnjy.com )271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20
【答案】D
【分析】
由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.
【详解】
由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数
所求概率为
故选：D
7.（2021·河南·高二月考（文））如下图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则点落到阴影部分内的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用几何概型的面积类型求解.
【详解】
设圆的半径为，阴影部分的面积为，
圆的面积为.
所以该点落到阴影部分的概率为，
故选：A.
8.（2021·河南·高三月考（文））如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，外部正六边形的边长为，里面圆的圆心为正六边形的中心，半径为.若向正六边形剪纸窗花的内部投掷一点，则恰好落在圆的内部的概率为___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
本题属于几何概型，只用求圆的面积和正六边形的面积之比即可.
【详解】
根据题意，正六边形的面积为，内部圆的面积为，所以点恰好落在圆的内部的概率为.
故答案为：
9.（2021·江苏·高考真题）已知关于的二次函数.
（1）若，，求事件在上是增函数}的概率;
（2）若，，求事件“方程没有实数根”的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意有：，且对称轴，求出基本事件总数，再求出满足事件的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；
（2）方程无实根，则，，，，且，画出图形，由测度比是面积比得答案．
【详解】
（1）根据题意有：，且对称轴．
基本事件总数为，
满足事件的事件数为，，，，共有5个，
（A）；
（2）方程无实根，则，
，
又，，，，，
如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
．
10.（2021·贵州·贵阳市第二十五中学高二月考）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．www-2-1-cnjy-com
（1）如果甲船和乙船停泊时间都是4h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率；
（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间是2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
设甲、乙两船到达时间分别为x，y，
（1）列出x，y满足的线性约束条件，再作出可行域，利用几何概型的概率公式求解；
（2）列出x，y满足的线性约束条件，再作出可行域，利用几何概型的概率公式求解.
【详解】
解：（1）如图所示，设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则，，
且，作出区域如图所示，
设“两船无需等待码头空出”为事件A，则．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）甲船的停泊时间是4h，两船不需要等待码头空出，则满足；乙船的停泊时间是2h，两船不需等待码头空出，则满足．
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，则有
画出区域如图所示 ，
所以．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11.（2020·云南·昭通市昭阳区第一中学高一月考（文））已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．
（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；
（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用古典概型计算出所求概率.
（2）利用几何概型计算出所求概率.
【详解】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则
,.
；，
故可能的取值有，共种，满足的有，共种，所以方程有两个不相等实根的概率为.
（2）一元二次方程有实数根，则
,.
，
则符合题意的的取值范围如下图阴影部分所示，
故方程有实数根的概率为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2021·广西·玉林市育才中学高二期中（文））设函数 .
（1）若是从、、、、五个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，求函数无零点的概率；
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求函数无零点的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根据函数无零点等价于方程无实根，得出，再求基本事件的总数和事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解；
（2）求出全部的基本事件构成的面积以及事件发生构成的面积，由几何概型概率公式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）函数无零点
等价于方程无实根，
可得，
可得，
记事件为函数无零点，
总的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，
事件包含的基本事件有：，，，，，共有个，
所以
（Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）
，
事件所构成的区域为且即图中的阴影部分，
所以
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2021·广东·顺德 ( http: / / www.21cnjy.com )一中高二期中）在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色 3只白色的乒乓球（其体积 质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.
（1）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（2）假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【答案】
（1）
（2）6000元
【分析】
（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）先求得摸得同一颜色的概率，从而估计500人次中摸得同一颜色和非同一颜色的次数求解；
（1）
解：把3只黄色乒乓球标记为A B C，3只白色的乒乓球标记为1 2 3，
从6个球中随机摸出3个的基本事件为：
123，共20个，
设事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，
则
（2）
设事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，
则，
假定一天中有500人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有50次，不发生450次.
则一天可赚450×1-50×5=200，每月可赚6000元.
14．（2021·湖北荆州·高二期中）如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点， 在点出发处放一颗珠子，珠子只能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.
（2）求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）首先分别求出掷出3的倍数的概率以及 ( http: / / www.21cnjy.com )掷出不是3的倍数的概率，进而分为三种情况，结合概率的乘法公式分别求出概率，进而结合概率的加法公式即可求出结果；
（2）珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤，然后分别求出三步的概率，进而结合概率的乘法公式即可求出结果.www.21-cn-jy.com
（1）
设掷出3的倍数为事件， 掷出不是3的倍数记为事件，
则
珠子恰好转一周回到A点包含的事件为且这三种情况互斥
故所求概率为
（2）
珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③
①A至C：此时概率为
②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为
③B至A:概率与①相同
又以上三个步骤相互独立，故所求概率为
15．（2021·全国·高一课时练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【分析】
（1）根据频率与概率的关系求解；
（2）利用频率与频数的关系求解；
（3）根据概率的意义求解；
（4）根据概率的意义求解.
【详解】
（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.【出处：21教育名师】
（4）由概率的意义知，不一定.
16．（2020·全国·高一课时练习）为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了10批试验，油菜籽的发芽试验相关数据如下表：21*cnjy*com
批次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 5000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 4490
问题
（1）如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率？
（2）由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
（3）如何确定该油菜籽发芽的概率？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽的频率;
（2）频率具有随机性，每次试验所得的频率都是随机变化的，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数，并且在这个常数附近波动.
（3）由（2）可知频率趋于的常数就是发芽的概率.
【详解】
（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽的频率.
（2）提示：批次1的频率，批次2的频率 ，批次3的频率，批次4的频率，批次5的频率，批次6的频率 ，批次7的频率，批次8的频率，批次9的频率，批次10的频率 ，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数.
（3） 由（2）可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
【点睛】
本题考查频率和概率，意在考查基础概念的辨析，属于基础题型.
17．（2021·全国·高三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )（文））2021年很多省份将进入“3+1+2”新高考模式，某校为给2020年秋季入学的新高一学生做好生涯规划，从本校2021届（2018年入学）的1500名学生中随机挑选了100名男同学和100名女同学，调查每位同学对自己的选科情况的满意或不满意的评价，得到如下表格：
满意 不满意
男同学 85 15
女同学 65 35
（1）试估计该校2021届学生中对自己选科情况满意的人数；
（2）是否有99.5%的把握认为男、女同学对自己的选科情况的评价有差异
参考公式及数据：，其中.
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
【答案】
（1）1125人
（2）有
【分析】
（1）先求出该校2021届学生中对自己选科情况的满意率，再估计该校2021届学生中对自己选科情况满意的人数；
（2）计算，再作出判断.
（1）
随机挑选的200人中，有（人）对自己的选科情况比较满意，
估计该校2021届学生中对自己选科情况的满意率为，
故估计该校2021届学生中对自己选科情况满意的人数为（人）
（2）
列出2×2列联表如下：
满意 不满意 合计
男同学 85 15 100
女同学 65 35 100
合计 150 50 200
，
故有99.5%的把握认为男、女同学对自己的选科情况的评价有差异.
18．（2021·全国·高一单元测试）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.
①写出对应的样本空间，并说出其中含有的样本点个数；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.
【答案】（1）0.6；（2）①样本空间为，15个样本点；②.
【分析】
（1）用综合指标计算出10件产品的综合指标并列表表示,求出一等品率即可;
（2）利用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能的结果和在取出的2件产品中，每件产品的综合指标都等于4的所有情况,代入古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】
（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中的有，，，，，，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，则样本空间，共包含15个样本点.
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为，，，，则事件B包含的样本点为，，，，，，共6个.
所以.
19．（2021·黑龙江·哈九中高 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考（理））冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.
（2）某校聘请了一名越野滑 ( http: / / www.21cnjy.com )轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化 请说明理由.
【答案】（1）；（2）答案不唯一，答案见解析.
【分析】
（1）参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，计算从6所中选取2所和从10所中选取2所的事件数，由随机事件的概率公式计算概率；
（2）计算甲同学指导前考核“优”的概率，推断甲同学考核时“优”发生可能性的大小，得出结论，理由充分即可.
【详解】
（1）记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件，
参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共种，
所以.
因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为.
（2）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.
理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.…
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.…
虽然概率非常小，但是也可能发生，
所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
20．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））2021年7月23日~8月8日，第32届夏季奧林匹克运动会在日本首都东京举行，中国乒乓球队在中国乒乓球协主席刘国梁的带领下，夺得了男女个人赛、团体赛共4枚金牌.已知某中学共有学生1800人，男女比例为，该中学体育协会为了解乒乓球运动和性别的关联性，通过调查统计，得到了如下数据：
男生 女生 合计
喜欢打乒乓球 52 34 86
不喜欢打乒乓球 48 66 114
合计 100 100 200
（1）以频率估计概率，请估计该校男生喜欢打乒乓球的概率和该校女生喜欢打乒乓球的人数；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“中学生喜欢打乒乓球与性别有关”？（计算结果保留到小数点后3位）【版权所有：21教育】
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1），人；（2）不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“中学生喜欢打乒乓球与性别有关”.
【分析】
(1)利用给定统计数据，求出该校男生、女生喜欢打乒乓球的频率，即可估计对应的概率，再进行计算作答；
(2)由给定的列联表，计算的观测值，再与临界值表比对即可作答.
【详解】
（1）由表中数据知，男生样本数为100人，其中喜欢打乒乓球的有52人，
所以该校男生喜欢打乒乓球的概率的估计值为，
同理，该校女生喜欢打乒乓球的概率的估计值为，
又该校共有1800人，男女比例为，则该校共有女生人，
所以该校女生喜欢打乒乓球的人数为人；
（2）由统计表中数据得：的观测值，
显然，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“中学生喜欢打乒乓球与性别有关”.
21．（2021·全国·高二课时练习）大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示．
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．
（1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；
（2）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列．
【答案】（1）答案见解析 ；（2） 答案见解析．
【分析】
（1）根据日需求量的频数求对应的概率，写出的分布列即可.
（2）将水果日需求量分为140千克、不小于150千克，确定利润的可能值，结合（1）求各可能值的概率，进而写出的分布列．
【详解】
（1）由表格知：总频数为，
∴的分布列为
140 150 160 170 180 190 200
0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
（2）若水果日需求量为140千克，则（元），
∴．
若水果日需求量不小于150千克，则（元），
∴．
故的所有可能取值为680，750，则的分布列为
680 750
0.1 0.9
22．（2021·全国·高三专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）梨树绝大多数品种自花授粉，结实率很低，因此果农在栽培梨树的时候，必须在果园配置授粉树，并结合适当的辅助授粉方法，以便更顺利地完成梨树的授粉受精过程，以此达到果园丰产稳产、高品质的目的．某地区将梨树蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率进行比较，统计数据如下：21教育名师原创作品
坐果 授粉方式 总计
自然授粉 蜜蜂授粉
花朵未坐果
花朵坐果
（1）自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果数的频率分别是多少？
（2）根据数据完成下列列联表，并据此判断能否有的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异？
坐果 授粉方式 总计
自然授粉 蜜蜂授粉
花朵未坐果
花朵坐果
总计
附：，
【答案】（1）；；（2）列联表见解析；有的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异．
【分析】
（1）根据题设中的数据，由频率等于对应授粉方式的花朵坐果数与花朵总数的比值，求频率即可；
（2）由已知数据完善列联表，进而应用卡方检验公式求卡方值，比照参考值确定自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异的把握程度.21教育网
【详解】
（1）自然授粉的花朵坐果数为，花朵总数为，则频率为．
蜜蜂授粉的花朵坐果数为，花朵总数为，则频率为．
（2）列联表如下：
坐果 授粉方式 总计
自然授粉 蜜蜂授粉
花朵未坐果
花朵坐果
总计
∴，又，
∴有的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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