资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题七 概率与统计
09 条件概率与独立事件
考纲对本模块内容的具体要求如下：
事件的相互独立性、条件概率在高考中与其它知识点想结合出题，难度以中等难度为主，多出现在选择或填空，出题形式新颖多样.【来源：21·世纪·教育·网】
1.掌握概率的性质应用；
2.理解事件的相互独立性与条件概率.
数学运算：1.借助相互独立事件概率的计算，解决一些简单的实际问题，提升数学运算素养.
2. 会求相互独立事件、条件事件的概率.
逻辑推理：通过合理将复杂的事件分解成几个互斥事件，体现逻辑推理素养.
1. 事件的相互独立
事件A和事件B相互独立事件，P（AB）=P（A）P（B）.
2. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当，有，
3. 条件概率公式及乘法公式：
对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，
利用条件概率，有――乘法公式
考点一　事件的相互独立性的判断
一个家庭中有若干个小孩，假 ( http: / / www.21cnjy.com )定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：21*cnjy*com
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【解析】：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，www.21-cn-jy.com
它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A、B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小 ( http: / / www.21cnjy.com )孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时
A中含有6个基本事件，
B中含有4个基本事件，
AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
【规律方法】
相互独立事件的特点是：(1)对两个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
【跟踪练习】判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生、2名女生 ( http: / / www.21cnjy.com )；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．
【解析】　(1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出 ( http: / / www.21cnjy.com )1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为， 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
考点二 相互独立事件的概率
（1）（2021·安徽·高二月考）新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为，乙同学选择历史的概率为，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合对立事件和独立事件概率的求法即可解得答案.
【详解】
甲选历史的概率为，乙选历史的概率为，故至少有1人选择物理的概率为：.
故选：C.
（2）（2021·云南·昆明一中高三月考（理））某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．
【详解】
解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，
故选：D.
【规律方法】
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以 ( http: / / www.21cnjy.com )推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：① ( http: / / www.21cnjy.com )首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．21*cnjy*com
【跟踪练习】某田径队有三名短跑运动员，根据平 ( http: / / www.21cnjy.com )时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则【版权所有：21教育】
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大？
【解析】记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝P()＝P()P()P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
结合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大．
考点三 条件概率
（1）（2021·四川成都·高三月考（理））若随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据，计算得到，然后根据条件概率的计算公式计算即可.
【详解】
由题可知：
所以
所以
故选：D
（2）甲、乙两班共有70名同学，其中女同 ( http: / / www.21cnjy.com )学40名．设甲班有30名同学，其中女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为(　　)【出处：21教育名师】
A.　　　　　　　　　B. C. D.
【答案】　A
【解析】设“碰到甲班同学”为事件A，“碰到甲班女同学”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝×，所以P(B|A)＝＝，故选A.
【规律方法】
计算P(A|B)的两种方法
(1)利用条件概率的计算公式计算．分别计算P(AB)，P(B)，将它们相除即得．
(2)利用缩小基本事件范围的观 ( http: / / www.21cnjy.com )点计算．即将原来的基本事件空间Ω缩小为B，原来的事件A缩小为AB，每个基本事件发生的概率相等，从而利用古典概型的概率公式可得P(A|B)＝，其中n(B)，n(AB)分别表示事件B，事件AB所包含的基本事件个数．
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二单元测试）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
（2）（2021·全国·高二单 ( http: / / www.21cnjy.com )元测试）某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则已经使用了1年的元件，使用寿命超过2年的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．1
【答案】B
【分析】
利用条件概率的计算公式进行求解.
【详解】
设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则，．因为，所以，21教育网
所以．
故选：B．
1.（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有的条件下，方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
列举法列出先后掷两次骰子，其中出现点数有5的所有情况，再验证其中满足的情况数，由古典概型的概率公式，即得解
【详解】
由题意，若方程有实根，则
先后掷两次骰子，其中出现点数有5的情况有：
共11种情况，其中满足有7种
由古典概型的概率公式，所求的概率为
故选：D
2．（2021·广东·仲元中学高二开学考试）袋子中有4个大小和质地完全相同的球，其中2个红球，2个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球，设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，那么下列说法正确的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件
C．A、B相互独立 D．
【答案】D
【分析】
根据互斥事件、对立事件的概念以及相互独立事件的概念逐一判断即可求解.
【详解】
A，互斥事件是在同一试验中，不能同时发生的事件，故A错误；
B，对立事件是在同一试验中，不能同时发生的事件，
且至少有一个发生的事件，故B错误；
C，不放回地依次随机摸出2个球，
“第一次摸到红球”与“第二次摸到绿球”相互影响，故C错误；
D，，故D正确；
故选：D
3．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求.
【详解】
由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，
，
其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，
∴球回到A同学脚下的概率为.
故选：B.
4．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】AD
【分析】
首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.
【详解】
由题意知，，两两互斥，故D正确；
，，，，故A正确；
，，
，
所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
5．（2021·辽宁丹东·高三期中）假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌 乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD；
故选：ABD
6．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】BCD
【分析】
结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．
【详解】
选项A中：，故选项A错误, 选项B正确；选项C中：A，B独立，则，则，故选项C正确；
选项D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，
故选项D正确，
故选：BCD
7．（2021·全国·高二单元测试）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球后，第2次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为
【答案】AD
【分析】
A. 利用古典概型的概率求解判断；B.利用 ( http: / / www.21cnjy.com )独立重复实验求解判断； C. 利用古典概型的概率求解判断；D.利用独立重复实验结合对立事件的概率求解判断.
【详解】
一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，从中任取3个球，恰有1个白球的概率是，故A正确；
从中有放回地取球6次，每次任取1个球，每次抽到白球的概率为，则恰好有2个白球的概率为，故B错误；
从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球后，第2次再次取到红球的概率为，故C错误；
从中有放回地取球3次，每次任取1个球，每次抽到红球的概率为，则至少有1次取到红球的概率为，故D正确．
故选：AD．
8．（2021·河北石家庄·高一月考）将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ）21世纪教育网版权所有
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
【答案】BD
【分析】
利用互斥事件，对立事件的概念求解.
【详解】
事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；
事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确.
故选：BD
9.（2021·湖北武汉·高二期中）已知，是随机事件，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，是对立事件，则，是互斥事件
B．若事件，相互独立，则
C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥
D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立
【答案】AC
【分析】
利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的意义对各选项逐一分析判断作答.
【详解】
对于A，由对立事件定义知，，是对立事件，则，是互斥事件，A正确；
对于B，事件，相互独立，则，而不一定成立，B不正确；
对于C，因，，事件，相互独立，则，即与可以同时发生，它们不互斥，C正确；
对于D，因事件，互斥，则，而，，即，于是得与不相互独立，D不正确.
故选：AC
10.（2021·全国·高二单元测试）已知事件A，B，C相互独立，若，，，则______．
【答案】
【分析】
根据相互独立事件的概率公式，列出的等式，根据对立逐一求解，可求出的值.
【详解】
根据相互独立事件的概率公式，可得，所以．
故答案为：.
11．（2020·北京· ( http: / / www.21cnjy.com )牛栏山一中高二期中）某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，旦每个人的选择相互之间没有影响，任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是 ______．
【答案】0.9
【分析】
利用对立事件的概率的求法即得.
【详解】
设事件A为“参加过家政培训”，事件B为“参加过医院陪护工培训”，
则P（A）＝60%＝0.6，P（B）＝75%＝0.75，
任选1名女农民工，她参加过培训的对立事件是她既没有参加过家政培训，也没有参加过医院陪护工培训，
∴任选1名女农民工她参加过培训的概率是：
P＝1－(1－P(A))(1－P(B))
＝1－(1－0.6)(1－0.75)
＝0.9．
故答案为：0.9．
12.（2021·全国·高二课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．21·cn·jy·com
【答案】
【分析】
在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球，是一个条件概率，先求出第一次取到白球的概率和两次都取到白球的概率，然后根据条件概率公式求解即可，www-2-1-cnjy-com
【详解】
记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，
由题意可得,
所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是
故答案为：，
13．（2021·山东·广饶一中高三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“我的第三胎是双胞胎，共四个孩子”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这个是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为___________.
【答案】5
【分析】
记为乙的第个孩子是男性，列出所以的基本事件，然后即可求得结果.
【详解】
由题知前两小孩为一男一女，记为乙的第个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有，，，，，，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为.
故答案为：5；.
14．（2021·全国·高二课时练习）已知，，，则______，______．
【答案】
【分析】
根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.
【详解】
因为，
所以，因为，，
所以，
所以，
，
从而．
故答案为：；.
15．（2021·全国·高二课时练习）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率是．设事件为“该地区刮风”，事件为“该地区下雨”，则______，______．21cnjy.com
【答案】
【分析】
根据条件概率公式即求.
【详解】
，，，
，．
故答案为：；.
16.（2021·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )高二课时练习）在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由条件概率得公式求解即可；
（2）由条件概率得公式与对立事件的概率公式求解即可
（1）
（1）设表示甲中奖，表示乙中奖，
则，
因为抽完的奖券不放回，
所以甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样，
所以乙中奖的概率为，
所以甲中奖而且乙也中奖的概率为
；
（2）
，
因为抽完的奖券不放回，
所以甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样，
所以乙中奖的概率为，
所以甲没中奖而且乙中奖的概率为
17．（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二课时练习）已知某班级中，有女生15人，男生17人，而且女生中不戴眼镜的有6人，男生中戴眼镜的有5人．现从这个班级中随机抽出一名学生：
（1）求所抽到的学生戴眼镜的概率；
（2）若已知抽到的是女生，求所抽到的学生戴眼镜的概率．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）班级学生共有32人，戴眼镜的学生14人，从中随机抽出一人，根据古典概型求解即可；
（2）女生共有15人，戴眼镜的9人，故问题可转化为15名女生中抽取一人，抽得戴眼镜的女生的概率，利用古典概型求解.21·世纪*教育网
（1）
班级共有32人，其中男生戴眼镜的5人，女生戴眼镜的人，
所以班级中戴眼镜的共有14人，
所以从这个班级中随机抽出一名学生，抽到的学生戴眼镜的概率：
.
（2）
班级中女生共有15人，其中戴眼镜的9人，
所以已知抽到的是女生, 抽到的学生戴眼镜的概率：
.
18．（2021·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )高二课时练习）李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知李明乘坐公共汽车的概率为0.3，乘坐地铁的概率为0.7．而且乘坐公共汽车与地铁时，李明迟到的概率分别为0.2与0.05．
（1）求李明上学迟到的概率；
（2）如果某天早上李明上学迟到了，那么他乘公交车的概率为多少？
【答案】
（1）0.095
（2）．
【分析】
（1）记小明乘坐公共汽车为事件，乘坐地铁为事件，迟到为事件，由结合条件概率公式计算；
（2）由条件概率公式计算．
（1）
记小明乘坐公共汽车为事件，乘坐地铁为事件，迟到为事件，则，，，，所以
．
（2）
．
19．（2021·广东·仲元中学高二开学考试）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
（1）求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据独立事件的概率公式计算；
（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算．
（1）
设事件“甲学校回答正确这道题”，事件“乙学校回答正确这道题”，事件“丙学校回答正确这道题” ，
则，，，
∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
∴事件A，B，C相互独立.
∴，
∴ ；
（2）
设事件“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”且两两豆斥，
；
由于事件A，B，C相互独立.
所以
，
，
，
20．（2021·广东·顺德一中高二期中）溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
由对立事件的概率求法，结合独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求甲队总得分为1分的概率、甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率即可.
（1）
记“甲队总得分为1分”为事件B：甲队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，
其概率.
∴甲队总得分为1分的概率为.
（2）
记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D.
事件C即甲队三人中有2人答对，剩余1人答错，
∴
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
∴.
由题意，事件C与事件D相互独立，
∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
21．（2021·全国·高二课时练习）某班级的学生中，是否有外省市旅游经历的情况如下表所示．
男生/人 女生/人
有外省市旅游经历 6 9
无外省市旅游经历 9 8
从这个班级中随机抽取一名学生：
（1）求抽到的人是男生的概率；
（2）求抽到的人是女生且无外省市旅游经历的概率；
（3）若已知抽到的人是女生，求她有外省市旅游经历的概率；
（4）若已知抽到的人有外省市旅游经历，求其是男生的概率；
（5）判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有外省市旅游经历”是否独立．
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）,,不独立
【分析】
根据古典概型，逐项分析求解即可.
（1）
由表可知共有学生32人，其中男生15人，女生17人，
故从这个班级中随机抽取一名学生，
抽到的人是男生的概率.
（2）
由题意，班级32人中无外省旅游经历的女生8人，
所以抽到的人是女生且无外省市旅游经历的概率.
（3）
班级32人中女生17人，其中有外省旅游经历的9人，
所以抽到的人是女生，且她有外省市旅游经历的概率.
（4）
班级32人中，有外省旅游经历的共15人，其中男生6人，
所以抽到的人有外省市旅游经历，是男生的概率.
（5）
由表可知共有学生32人，其中男生15人，女生17人, 有外省市旅游经历的15人，
故从这个班级中随机抽取一名学生，抽到的人是女生的概率
抽到的人有外省市旅游经历的概率，
抽到的人是女生且抽到的人有外省市旅游经历的概率，
因为，
故“抽到的人是女生”与“抽到的人有外省市旅游经历”不独立.
22．（2021·湖北·高二月考）某校有 ( http: / / www.21cnjy.com )高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.21教育名师原创作品
身高（单位：cm）
频数 m p q 6 4
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据图表信息，求p，q并补充完整频率分布直方图.估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）【来源：21cnj*y.co*m】
（2）若身高在的6人中，男生有3人，女生有3人，选出2人参加团委活动，求选出的2人性别不同的概率.
【答案】（1），，频率分布直方图答案见解析，身高均值为167.2；（2）.
【分析】
（1）根据频率分布表，由已知项求样本容量，再结合频率的性质求m、p、q，进而补全频率分布图，最后根据频率分布表求均值.
（2）应用列举法求出2人全为男生或女生的概率，再由对立事件概率求法求选出的2人性别不同的概率.
【详解】
（1）∵身高在区间的频率为，频数为4，
∴样本容量为，则，，，
∴身高在的频率为，小矩形的高为0.032，
身高在的频率为，小矩形的高为0.012，
由此补全频率分布直方图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由频率分布直方图可知：样本的身高均值为，
∴由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为167.2.
（2）把男生样本记为：，，，把女生样本记为：，，，
从6人中选2人有15种：，，，，，，，，，，，，，，.
同为男生有3种：，，.
同为女生有3种：，，.
∴.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题七 概率与统计
09 条件概率与独立事件
考纲对本模块内容的具体要求如下：
事件的相互独立性、条件概率在高考中与其它知识点想结合出题，难度以中等难度为主，多出现在选择或填空，出题形式新颖多样.21教育网
1.掌握概率的性质应用；
2.理解事件的相互独立性与条件概率.
数学运算：1.借助相互独立事件概率的计算，解决一些简单的实际问题，提升数学运算素养.
2. 会求相互独立事件、条件事件的概率.
逻辑推理：通过合理将复杂的事件分解成几个互斥事件，体现逻辑推理素养.
1. 事件的相互独立
事件A和事件B相互独立事件，P（AB）=P（A）P（B）.
2. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当，有，
3. 条件概率公式及乘法公式：
对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，
利用条件概率，有――乘法公式
考点一　事件的相互独立性的判断
一个家庭中有若干个小孩，假定生 ( http: / / www.21cnjy.com )男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：www-2-1-cnjy-com
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【规律方法】
相互独立事件的特点是：(1)对两个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．21·世纪*教育网
【跟踪练习】判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生、2名女生；乙 ( http: / / www.21cnjy.com )组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；21*cnjy*com
(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．【来源：21cnj*y.co*m】
考点二 相互独立事件的概率
（1）（2021·安徽·高二月考）新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为，乙同学选择历史的概率为，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·云南·昆明一中高三月考（理））某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【规律方法】
(1)公式P(AB)＝P ( http: / / www.21cnjy.com )(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序 ( http: / / www.21cnjy.com )：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．
【跟踪练习】某田径队有三名短跑运动员，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大？
考点三 条件概率
（1）（2021·四川成都·高三月考（理））若随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）甲、乙两班共有70名同学，其中女同 ( http: / / www.21cnjy.com )学40名．设甲班有30名同学，其中女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A.　　　　　　　　　B. C. D.
【规律方法】
计算P(A|B)的两种方法
(1)利用条件概率的计算公式计算．分别计算P(AB)，P(B)，将它们相除即得．
(2)利用缩小基本事件范围的 ( http: / / www.21cnjy.com )观点计算．即将原来的基本事件空间Ω缩小为B，原来的事件A缩小为AB，每个基本事件发生的概率相等，从而利用古典概型的概率公式可得P(A|B)＝，其中n(B)，n(AB)分别表示事件B，事件AB所包含的基本事件个数．
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二单元测试）设，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二单元测试）某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则已经使用了1年的元件，使用寿命超过2年的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．1
1.（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有的条件下，方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东·仲元中学高二开学考试）袋子中有4个大小和质地完全相同的球，其中2个红球，2个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球，设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，那么下列说法正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件
C．A、B相互独立 D．
3．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
4．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
5．（2021·辽宁丹东·高三期中）假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌 乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
6．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
7．（2021·全国·高二单元测试）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球后，第2次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为
8．（2021·河北石家庄·高一月考）将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ）2·1·c·n·j·y
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
9.（2021·湖北武汉·高二期中）已知，是随机事件，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，是对立事件，则，是互斥事件
B．若事件，相互独立，则
C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥
D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立
10.（2021·全国·高二单元测试）已知事件A，B，C相互独立，若，，，则______．
11．（2020·北京· ( http: / / www.21cnjy.com )牛栏山一中高二期中）某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，旦每个人的选择相互之间没有影响，任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是 ______．
12.（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．21cnjy.com
13．（2021·山东·广 ( http: / / www.21cnjy.com )饶一中高三月考）甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“我的第三胎是双胞胎，共四个孩子”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这个是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为___________.21*cnjy*com
14．（2021·全国·高二课时练习）已知，，，则______，______．
15．（2021·全国·高二课时练习）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率是．设事件为“该地区刮风”，事件为“该地区下雨”，则______，______．
16.（2021·全国·高二课时练习）在某次 ( http: / / www.21cnjy.com )抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率．
17．（2021·全国·高二课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）已知某班级中，有女生15人，男生17人，而且女生中不戴眼镜的有6人，男生中戴眼镜的有5人．现从这个班级中随机抽出一名学生：
（1）求所抽到的学生戴眼镜的概率；
（2）若已知抽到的是女生，求所抽到的学生戴眼镜的概率．
18．（2021·全国·高二课时练习）李明早 ( http: / / www.21cnjy.com )上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知李明乘坐公共汽车的概率为0.3，乘坐地铁的概率为0.7．而且乘坐公共汽车与地铁时，李明迟到的概率分别为0.2与0.05．
（1）求李明上学迟到的概率；
（2）如果某天早上李明上学迟到了，那么他乘公交车的概率为多少？
19．（2021·广东·仲元中学高二开学考试）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
（1）求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.
20．（2021·广东·顺德一中高二期中）溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
21．（2021·全国·高二课时练习）某班级的学生中，是否有外省市旅游经历的情况如下表所示．
男生/人 女生/人
有外省市旅游经历 6 9
无外省市旅游经历 9 8
从这个班级中随机抽取一名学生：
（1）求抽到的人是男生的概率；
（2）求抽到的人是女生且无外省市旅游经历的概率；
（3）若已知抽到的人是女生，求她有外省市旅游经历的概率；
（4）若已知抽到的人有外省市旅游经历，求其是男生的概率；
（5）判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有外省市旅游经历”是否独立．
22．（2021·湖北·高二月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.www.21-cn-jy.com
身高（单位：cm）
频数 m p q 6 4
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据图表信息，求p，q并补充完整频率分布直方图.估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）21世纪教育网版权所有
（2）若身高在的6人中，男生有3人，女生有3人，选出2人参加团委活动，求选出的2人性别不同的概率.21·cn·jy·com
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑