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专题七 概率与统计
01 随机抽样
考纲对本模块内容的具体要求如下：
随机抽样是统计的基础，基本的抽样方法在高考中时有出现，且比较简单，大家都可以掌握.
（1）理解随机抽样的必要性和重要性．
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．
数据分析：1.在简单随机抽样的实施过程中，掌握抽签法和随机数法的抽样步骤，发展学生数据分析素养.
2.在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发展学生数据分析素养.
数学抽象：通过分层抽样的特点判断抽样的方法，体现数学抽象素养.
1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个 ( http: / / www.21cnjy.com )体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号．
(2)确定分段间隔k，对编号进行分 ( http: / / www.21cnjy.com )段，当是整数时，取k＝，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝(N′为从总体中剔除余数后的总数)．21·世纪*教育网
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．
(4)按照一定的规则抽取样 ( http: / / www.21cnjy.com )本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．21*cnjy*com
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分 ( http: / / www.21cnjy.com )成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
4. 三种抽样方法的比较
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等 从总体中逐个抽取 — 总体中的个数较少
系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样 总体中的个数比较多
将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
[常用结论]
1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．
3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
考点一　简单随机抽样
（1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖21cnjy.com
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
【答案】D
【解析】A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D.
【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．www.21-cn-jy.com
（2）(多选)要考察某种品牌的850颗种子的 ( http: / / www.21cnjy.com )发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验．先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行)．(　　)【出处：21教育名师】
03 47 43 73 86 36 ( http: / / www.21cnjy.com )96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 ( http: / / www.21cnjy.com )74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 ( http: / / www.21cnjy.com )66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A．774 B．946 C．428 D．572
【答案】　ACD
【解析】　依据题意可知：向右读数依次 ( http: / / www.21cnjy.com )为：774，946，774，428，114，572，042，533，…所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572，结合选项知选ACD.
【规律方法】
抽签法与随机数法的适用情况
（1）抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
【跟踪练习】（1）（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高二月考）下列说法正确的个数是（ ）.
②总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；
②在对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
③西货商场的抽奖活动是抽签法；
④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据简单随机抽样方法的特征，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】
解：对于①，总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，命题正确；
对于②，系统抽样在总体均分以后的第一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样，②错误；
对于③，百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阄，命题正确；
对于④，系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时概率也相等），④错误；
综上，正确的命题有2个．
故选：B
（2）（2021·黑龙江·哈尔滨市第六 ( http: / / www.21cnjy.com )中学校高二月考）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．27 B．26 C．25 D．19
【答案】D
【分析】
根据随机数表，依次进行选择符合条件的即可．
【详解】
从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，
第一个数为23，符合条件，
第二个数为20，符合条件，
第三个数为80，不符合条件，
以下符合条件（重复的去掉）依次为：26，24，25，19
故第6个数为19．
故选：．
考点二 系统抽样
（1）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为
A．12 B．11 C．14 D．13
【答案】A
【解析】由于抽取的样本为42人，所以840人要分成42组，每组的样本容量为20人，
所以在区间共抽24人，在共抽36人，
所以编号落入区间的人数为人.
故选A.
（2）（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学 ( http: / / www.21cnjy.com )高一期中）某学校为调查学生的学习情况，对学生的课堂笔记进行了抽样调查，已知某班级一共有56名学生，根据学号（001～056），用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知007号、021号、049号在样本中，那么样本中还有一个学生的学号为（ ）21*cnjy*com
A．014 B．028 C．035 D．042
【答案】C
【分析】
根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可.
【详解】
用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大:007号、 号，021号、049号成等差数列,
因此，另一学生编号为7＋49-21=35.
故选:C.
【规律方法】
1.如果总体容量N能被样本容量n整除， ( http: / / www.21cnjy.com )则抽样间隔为，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一 ( http: / / www.21cnjy.com )个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【跟踪练习】（1）（2019· ( http: / / www.21cnjy.com )新疆·新源县第二中学高二期末（文））现有以下两项调查：①某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查.完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．简单随机抽样法，分层抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．分层抽样法，系统抽样法
D．系统抽样法，分层抽样法
【答案】D
【分析】
利用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义直接求解.
【详解】
在①中，某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，
检查其装订质量状况，因为时间间隔相等，都是1小时，故应该利用系统抽样；
在②中，某市有大型、中型、小型的商店共1500家，三者数量之比为1:5:9，
为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查.因为大型、中型、小型的商店层次分明，故应该采用分层抽样.2·1·c·n·j·y
故选：D
（2）（2021·江西·南城县第二 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高二月考）在总体中含有1650个个体，现要采用系统抽样从中抽取一个容量为27的样本，分段时应从总体中随机剔除____个个体，编号后应均分为______段．
【答案】3 27
【分析】
根据系统抽样的相关知识求解即可.
【详解】
，所以应剔除3个个体，编号后应分为27段
故答案为：3；27
考点三 分层抽样
(1)（2021·新疆· ( http: / / www.21cnjy.com )巴楚县第一中学高二月考）为了解某地区的中小学视力情况，从该地区的中小学中用分层抽样的方法抽取了30位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为120、100、80，则从高中抽取的学生人数为 _____．
【答案】
【分析】
根据高中学生人数所占比例计算出抽取的人数.
【详解】
依题意，从高中抽取的学生人数为.
故答案为：
（2）(2021·重庆调研)甲、乙两套设备生 ( http: / / www.21cnjy.com )产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
【答案】　1800
【解析】由题设，抽样比为＝.
设甲设备生产的产品为x件，则＝50，∴x＝3000.
故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.
【规律方法】
分层抽样问题类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
（3）分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝
【跟踪练习】 (1)(2020·郴州二模) ( http: / / www.21cnjy.com )已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.240，18 B.200，20
C.240，20 D.200，18
【答案】　A　
【解析】样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.
(2)（2021·山西·大同市平城中学校高一 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层简单抽样的方法），则北面共有多少人（ ）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
【答案】　B
【解析】解：设北面人数为，根据题意知，，
解得，所以北面共有8100人．
故选：B
（3）（2021·山东莱西·高 ( http: / / www.21cnjy.com )一期末）一支田径队有男运动56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么男、女运动员各应抽取的人数依次为______．
【答案】16，12
【分析】
根据分层抽样的定义按比例计算可得．
【详解】
设男运动员有个，则，解得，，
故答案为：16，12．
1.（2021·湖南·高考真题）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1000 B．40 C．27 D．20
【答案】D
【分析】
根据高中生的总人数乘以抽样比可得所抽的高中生人数，再由近视率为即可求解.
【详解】
由图（1）知高中生的总人数为人，
所以应抽取的高中生为人，
抽取的高中生中，近视人数约为人，
故选：D
2.（2021·全国·高一课时练习）对于简单随机抽样，下列说法中正确的是（ ）
①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；
②它是从总体中逐个进行抽取的；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据简单随机抽样的定义和特点，对①②③④一一验证即可.
【详解】
①简单随机抽样要求样本的总体个数有项，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以①正确．
②由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作，所以②正确．
③在抽样过程中，为了保证抽取的公平性，样本数据是一种不放回的抽样，所以③正确．
④在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，所以④正确．
故选：D．
3．（2021·全国·高一课时练习）某班有30位同学，他们依次编号为01，02，，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．08 B．21 C．09 D．29
【答案】D
【分析】
利用随机数表的选取方法选出有效的编号，即可得解.
【详解】
依次从数表中读出的有效编号为：16，08，21，09，21，09，29，去掉重复的，得到选出来的第5位同学的编号为29．21教育网
故选：D．
4．一个总体中有100个个体，随机编号为0, ( http: / / www.21cnjy.com )1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是(　　)
A．63 B．64 C．65 D．66
【答案】A　
【解析】若m＝6，则在第7 ( http: / / www.21cnjy.com )组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.
5.（2021·全国·高一 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）2020年新冠肺炎全面爆发，武汉以平均一天一座方舱医院的速度，集中改建了16座方舱医院，抽调8000多名医护人员参与救治，从2月5日到3月10日，16家方舱医院共收治1.2万多名患者，实现了从“人等床”到“床等人”的转变，彻底扭转了“一床难求”的被动局面.全部病人出院后，某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，则从中年人中抽取的人数为（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】D
【分析】
利用分层抽样的定义，结合题干数据即得解
【详解】
某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，
则从中年人中抽取的人数为：
17080.
故选：D
6．（2021·全国·高一专题练习）简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中（ ）
A．每个个体被抽到的可能性相同
B．把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取
C．将总体分成几层，按比例分层抽取
D．都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取
【答案】A
【分析】
根据简单随机抽样、分层抽样的特点判断.
【详解】
由简单随机抽样、分层抽样的特点知：
简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中
每个个体被抽到的可能性相同，
故选：A
7．（2021·北京房山·高三开学考 ( http: / / www.21cnjy.com )试）某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）21教育名师原创作品
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 m
合计 1500
A．16 B．18 C．22 D．40
【答案】B
【分析】
先求出高三学生人数和样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可
【详解】
由题意得高三学生人数为
，
因为在抽取的样本中，高二年级有20人，
所以样本容量满足，得
所以样本中高三年级的人数为，
故选：B
8．（2021·陕西·千阳县中学高一月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）某单位有老年人28人，中年人36人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为16的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）21世纪教育网版权所有
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样
【答案】D
【分析】
由于总体由具有明显不同特征的三部分 ( http: / / www.21cnjy.com )构成，故应采用分层抽样的方法，若直接采用分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样．
【详解】
解：∵老年人、中年人、青年人的身体状况有明显的差异，∴应选用分层抽样．
∵分层抽样是按比例抽取，∴分的层应成比例27∶36∶81＝3∶4∶9，
∴先从老年人中剔除一人后，再用分层抽样抽取样本．
故选：D.
9．（2021·全国·高一课时练习）从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．50名学生是总体
B．每个被调查的学生是个体
C．抽取的6名学生的视力是一个样本
D．抽取的6名学生的视力是样本容量
【答案】C
【分析】
根据总体、样本、个体、样本容量的概念判断.
【详解】
从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，则50个学生的视力状况是总体，抽取的6名学生的视力是一个样本，www-2-1-cnjy-com
每个被调查的学生的视力状况是个体，样本容量是6，结合所给的选项，只有C正确.
故选：C．
10．（2021·全国·高三专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习（文））福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第7列数字开始由左到右依次读取数据，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）2-1-c-n-j-y
49 54 43 54 15 37 17 93 39 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A．06 B．17 C．20 D．24
【答案】C
【分析】
从随机数表第1行的第7列数字5开始，按两位数连续向右读编号小于等于33的不重复号码即可
【详解】
从随机数表第1行的第7列数字5开始，按两位数连续向右读编号小于等于33的不重复号码依次为15，17，20，
故第3个红球的编号20
故选：C
11．（2021·黑龙江·哈 ( http: / / www.21cnjy.com )尔滨市第六中学校高二月考）某工厂生产A B C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为5：3：2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有24件，则（ ）
A．此样本的容量n为20 B．此样本的容量n为80
C．样本中A型号产品有40件 D．样本中A型号产品有16件
【答案】BC
【分析】
根据分层抽样的概念进行计算可得结果.
【详解】
依题意可得，解得，故A不正确，B正确；
所以样本中A型号产品有件，故C正确，D不正确.
故选：BC
12．某校高三(2)班现有64名 ( http: / / www.21cnjy.com )学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为_______．
【答案】45　
【解析】依题意，分组间隔为＝8，因为在第1组中随机抽取的号码为5，所以在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.
13．（2021·全国·高二单元测试 ( http: / / www.21cnjy.com )）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_______.
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
【答案】01
【分析】
结合随机数表法确定正确答案.
【详解】
从随机数表的第一行的第列和第列数字开始由左到右选取的编号依次为.
故答案为：
14．（2021·云南·昆明一中高三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考（文））某学校三个年级共有2760名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知一年级有1150名学生，那么从一年级抽取的学生人数是___________名.【版权所有：21教育】
【答案】
【分析】
利用分层抽样的定义进行计算即可.
【详解】
由分层抽样得从一年级抽取的学生人数是人.
故答案为：25.
15．（2020·山东·高考真题） ( http: / / www.21cnjy.com )某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______.
【答案】469
【分析】
先求得编号间隔为16以及样本容量，再由样本中所有数据编号为求解.
【详解】
间隔为021-005=16，
则样本容量为，
样本中所有数据编号为，
所以样本中的最后一个个体的编号为，
故答案为：469
16.（2021·山东·高考真题）打 ( http: / / www.21cnjy.com )算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】42
【分析】
由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可.
【详解】
从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10，
第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是.
故答案为：42
17．（2021·全国·高一课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70的样本，进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取多少人？
【答案】50
【分析】
根据要抽取的人数和全校教师的总数，求比值得到每个个体被抽到的概率，用不到40岁的教师的人数乘以被抽到的概率，得到结果．
【详解】
因为从全体490个教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,
所以每个个体被抽到的概率是，
所以不到40岁的教师中应抽取的人数为，
18．（2021·陕西·千阳县中学高一月考）奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族汽车品牌，该公司2016年生产的“旗云”“风云”“QQ”三类经济型轿车中，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量如下表：
车型 旗云 风云 QQ
舒适 200 300 x
标准 600 y 1 200
若按分层抽样的方法在这一月生产的轿车中抽取100辆进行检测，则应抽取“旗云”轿车20辆，“风云”轿车30辆，求x，y的值．
【答案】x=800，y=900.
【分析】
根据分层抽样中，各层中样本容量与总体容量的比例相等，我们易构造出关于x，y的方程组，解方程组，即可得到x、y的值.
【详解】
解：由题意得，
即，解得，
所以x的值为800，y的值为900．
19．（2021·山东菏泽·高一期末）某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男 女工人数如下表：
第一车间 第二车间 第三车间
女工 170 120
男工 180
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是，其中第三车间的男女比例为.
（1）求，，的值.
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
【答案】（1），，；（2）24名.
【分析】
（1）根据题意可得，可求出，再由第三车间的工人数是，以及男女比例即可求解.
（2）根据分层抽样比即可求解.
【详解】
解：（1）由，得.
因为第一车间的工人数是，
第二车间的工人数是，
所以第三车间的工人数是.
所以，.
（2）设应从第三车间抽取名工人，
共有男工人，
则由，得，
所以应在第三车间抽取24名男工人.
20．（2021·湖南·高一期中）某大学工商管理专业共有1000名大学生，其中男生有520名．为了解该专业大学生的身高情况，李明按男生，女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生，女生的平均身高分别为，．假设李明在各层中按比例分配样本．
（1）如果总样本量为200，那么李明在男生，女生中分别抽取了多少名
（2）请估计这1000名大学生的平均身高．（结果精确到0.01）
【答案】（1）男生104名，女生96名；（2）.
【分析】
（1）由分层抽样的定义求解即可；
（2）用男生的平均身高乘以所占比例，再加女生的平均身高乘以所占比例即可得答案
【详解】
解：（1）男生被抽取了名，
女生被抽取了名．
（2）这1000名大学生的平均身高的估计值为
．
21．（2021·全国·高一课时练习）下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？如果不是，说明理由.
（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
（2）盒子里共有零件80个，从中依次拿出5个零件进行质量检验.
【答案】（1）不是简单随机抽样，理由见解析.（2）是简单随机抽样，理由见解析.
【分析】
利用简单随机抽样的定义即可求解.
【详解】
（1）不是简单随机抽样，因为个体有无限多个；
（2）是简单随机抽样，因为总体中的个体数是80个，从中不放回地抽取了5个样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等.【来源：21·世纪·教育·网】
22．（2021·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )高一课时练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名甲 乙 丙地艺人演出，其中从30名丙地艺人中随机挑选10人，从18名甲地艺人中随机挑选6人，从10名乙地艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人.
【答案】答案见解析
【分析】
先编号制作号签，然后放入小筒摇匀后从中逐个不放回地抽取即可.
【详解】
解：（1）将30名丙地艺人 ( http: / / www.21cnjy.com )从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；
（2）运用相同的办法分别从10名乙地艺人中抽取4人，从18名甲地艺人中抽取6人.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题七 概率与统计
01 随机抽样
考纲对本模块内容的具体要求如下：
随机抽样是统计的基础，基本的抽样方法在高考中时有出现，且比较简单，大家都可以掌握.
（1）理解随机抽样的必要性和重要性．
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．
数据分析：1.在简单随机抽样的实施过程中，掌握抽签法和随机数法的抽样步骤，发展学生数据分析素养.
2.在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发展学生数据分析素养.
数学抽象：通过分层抽样的特点判断抽样的方法，体现数学抽象素养.
1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从_ ( http: / / www.21cnjy.com )_____抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都______，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：______和随机数法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体______．
(2)确定______，对编号进行____ ( http: / / www.21cnjy.com )__，当是整数时，取k＝，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝(N′为从总体中剔除余数后的总数)．21cnjy.com
(3)在第1段用______确定第一个个体编号l(l≤k)．
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加 ( http: / / www.21cnjy.com )上间隔k得到第2个个体编号______，再加k得到第3个个体编号______，依次进行下去，直到获取整个样本．2-1-c-n-j-y
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总 ( http: / / www.21cnjy.com )体分成______的层，然后按照______，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体由______的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
4. 三种抽样方法的比较
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等 从总体中逐个抽取 — 总体中的个数较少
系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样 总体中的个数比较多
将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
[常用结论]
1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．
3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
考点一　简单随机抽样
（1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖21教育网
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
（2）(多选)要考察某种品牌的850颗 ( http: / / www.21cnjy.com )种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验．先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行)．(　　)【出处：21教育名师】
03 47 43 73 86 36 ( http: / / www.21cnjy.com ) 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 ( http: / / www.21cnjy.com ) 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 2 ( http: / / www.21cnjy.com )6 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A．774 B．946 C．428 D．572
【规律方法】
抽签法与随机数法的适用情况
（1）抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
【跟踪练习】（1）（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高二月考）下列说法正确的个数是（ ）.
②总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；
②在对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
③西货商场的抽奖活动是抽签法；
④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）.
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（2021·黑龙江· ( http: / / www.21cnjy.com )哈尔滨市第六中学校高二月考）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．27 B．26 C．25 D．19
考点二 系统抽样
（1）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为
A．12 B．11 C．14 D．13
（2）（2021·甘肃· ( http: / / www.21cnjy.com )嘉峪关市第一中学高一期中）某学校为调查学生的学习情况，对学生的课堂笔记进行了抽样调查，已知某班级一共有56名学生，根据学号（001～056），用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知007号、021号、049号在样本中，那么样本中还有一个学生的学号为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．014 B．028 C．035 D．042
【规律方法】
1.如果总体容量N能被样本容量n整除， ( http: / / www.21cnjy.com )则抽样间隔为，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码 ( http: / / www.21cnjy.com )就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【跟踪练习】（1）（2019·新疆 ( http: / / www.21cnjy.com )·新源县第二中学高二期末（文））现有以下两项调查：①某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查.完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）21教育名师原创作品
A．简单随机抽样法，分层抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．分层抽样法，系统抽样法
D．系统抽样法，分层抽样法
（2）（2021·江西·南城县第二中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )二月考）在总体中含有1650个个体，现要采用系统抽样从中抽取一个容量为27的样本，分段时应从总体中随机剔除____个个体，编号后应均分为______段．21*cnjy*com
考点三 分层抽样
(1)（2021·新疆·巴楚县第 ( http: / / www.21cnjy.com )一中学高二月考）为了解某地区的中小学视力情况，从该地区的中小学中用分层抽样的方法抽取了30位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为120、100、80，则从高中抽取的学生人数为 _____．
（2）(2021·重庆调研)甲、乙两套 ( http: / / www.21cnjy.com )设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．【版权所有：21教育】
【规律方法】
分层抽样问题类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
（3）分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝
【跟踪练习】 (1)(2020 ( http: / / www.21cnjy.com )·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.240，18 B.200，20
C.240，20 D.200，18
(2)（2021·山西·大同市平城中学 ( http: / / www.21cnjy.com )校高一月考）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层简单抽样的方法），则北面共有多少人（ ）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
（3）（2021·山东莱西·高一期末）一支 ( http: / / www.21cnjy.com )田径队有男运动56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么男、女运动员各应抽取的人数依次为______．
1.（2021·湖南·高考真题）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1000 B．40 C．27 D．20
2.（2021·全国·高一课时练习）对于简单随机抽样，下列说法中正确的是（ ）
①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；
②它是从总体中逐个进行抽取的；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．（2021·全国·高一课时练习）某班有30位同学，他们依次编号为01，02，，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．08 B．21 C．09 D．29
4．一个总体中有100个个体 ( http: / / www.21cnjy.com )，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是(　　)
A．63 B．64 C．65 D．66
5.（2021·全国·高一课时练习）2 ( http: / / www.21cnjy.com )020年新冠肺炎全面爆发，武汉以平均一天一座方舱医院的速度，集中改建了16座方舱医院，抽调8000多名医护人员参与救治，从2月5日到3月10日，16家方舱医院共收治1.2万多名患者，实现了从“人等床”到“床等人”的转变，彻底扭转了“一床难求”的被动局面.全部病人出院后，某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，则从中年人中抽取的人数为（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
6．（2021·全国·高一专题练习）简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中（ ）
A．每个个体被抽到的可能性相同
B．把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取
C．将总体分成几层，按比例分层抽取
D．都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取
7．（2021·北京房山·高三开学考试 ( http: / / www.21cnjy.com )）某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）2·1·c·n·j·y
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 m
合计 1500
A．16 B．18 C．22 D．40
8．（2021·陕西·千阳县中学高一月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）某单位有老年人28人，中年人36人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为16的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）21·世纪*教育网
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样
9．（2021·全国·高一课时练习）从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．50名学生是总体
B．每个被调查的学生是个体
C．抽取的6名学生的视力是一个样本
D．抽取的6名学生的视力是样本容量
10．（2021·全国·高三专题练习（文）） ( http: / / www.21cnjy.com )福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第7列数字开始由左到右依次读取数据，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）21世纪教育网版权所有
49 54 43 54 15 37 17 93 39 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A．06 B．17 C．20 D．24
11．（2021·黑龙江·哈尔滨市第 ( http: / / www.21cnjy.com )六中学校高二月考）某工厂生产A B C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为5：3：2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有24件，则（ ）21·cn·jy·com
A．此样本的容量n为20 B．此样本的容量n为80
C．样本中A型号产品有40件 D．样本中A型号产品有16件
12．某校高三(2)班现有64名学生， ( http: / / www.21cnjy.com )随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为_______．【来源：21cnj*y.co*m】
13．（2021·全国·高二单元测试）总 ( http: / / www.21cnjy.com )体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_______.
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
14．（2021·云南·昆明一中高 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考（文））某学校三个年级共有2760名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知一年级有1150名学生，那么从一年级抽取的学生人数是___________名.
15．（2020·山东·高考真题）某 ( http: / / www.21cnjy.com )创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______.
16.（2021·山东·高考真题）打算 ( http: / / www.21cnjy.com )从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．
17．（2021·全国·高一 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70的样本，进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取多少人？
18．（2021·陕西·千 ( http: / / www.21cnjy.com )阳县中学高一月考）奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族汽车品牌，该公司2016年生产的“旗云”“风云”“QQ”三类经济型轿车中，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量如下表：
车型 旗云 风云 QQ
舒适 200 300 x
标准 600 y 1 200
若按分层抽样的方法在这一月生产的轿车中抽取100辆进行检测，则应抽取“旗云”轿车20辆，“风云”轿车30辆，求x，y的值．www.21-cn-jy.com
19．（2021·山东菏泽·高一期末）某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男 女工人数如下表：
第一车间 第二车间 第三车间
女工 170 120
男工 180
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是，其中第三车间的男女比例为.
（1）求，，的值.
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
20．（2021·湖南·高一期中）某大学工商管理专业共有1000名大学生，其中男生有520名．为了解该专业大学生的身高情况，李明按男生，女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生，女生的平均身高分别为，．假设李明在各层中按比例分配样本．
（1）如果总样本量为200，那么李明在男生，女生中分别抽取了多少名
（2）请估计这1000名大学生的平均身高．（结果精确到0.01）
21．（2021·全国·高一课时练习）下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？如果不是，说明理由.
（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
（2）盒子里共有零件80个，从中依次拿出5个零件进行质量检验.
22．（2021·全国·高一课时练习）某电 ( http: / / www.21cnjy.com )视台举行颁奖典礼，邀请20名甲 乙 丙地艺人演出，其中从30名丙地艺人中随机挑选10人，从18名甲地艺人中随机挑选6人，从10名乙地艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人.21*cnjy*com
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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