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专题七 概率与统计
10 离散型随机变量及其分布列均值、方差
考纲对本模块内容的具体要求如下：
离散型随机变量及其分布列及其分布列 ( http: / / www.21cnjy.com )均值、方差是近几年高考常考知识点，出题上多与实际想联系，重点在与考查分析问题和计算问题的能力，多与其它知识相结合，要求比较高，出题方向上选择、填空或解答都有可能涉及.【来源：21cnj*y.co*m】
数学抽象：能从教材实例中抽象出离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
数学运算：1.掌握常见的离散型随机变量分布列的求解.
2. 会求分布列的方差、均值.
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.所有取值可以________的随机变量，称为离散型随机变量. 【版权所有：21教育】
2.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不 ( http: / / www.21cnjy.com )同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
将上表称为离散型随机变量 ( http: / / www.21cnjy.com )X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的分布列.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
① pi≥0(i=1，2，…，n);
② pi=1.
3.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
则称E(X)＝____________＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的________.
(2)方差
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
为随机变量X的______，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的______，记为σ(X).
4.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝______.
(2)D(aX＋b)＝______(a，b为常数).
5.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝______.
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝______.
【常用结论】
1.若X，Y相互独立，则E(XY)＝E(X)·E(Y).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝＝np.
考点一　离散型随机变量及其分布列的性质
(1) （2021·全国·高二课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
(2)）(2020四川仁寿县仁寿一中高三月考（理）)已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．21*cnjy*com
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
(2)（2021·全国·高二课时练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
考点二 求离散型随机变量的分布列
已知2件次品和3件正品混放在一起 ( http: / / www.21cnjy.com )，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
【规律方法】
求离散型随机变量分布列的步骤
（1）找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)；
（2）求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；
（3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.21cnjy.com
【跟踪练习】一个盒子里装有7张卡 ( http: / / www.21cnjy.com )片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
考点三 离散型随机变量的均值与方差
(2020·郑州二检)某市为了解本市1 ( http: / / www.21cnjy.com )万名小学生的普通话水平，对全市范围内的小学生进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)．
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90]内的概率．
(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：
50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.
从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．
参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－ ( http: / / www.21cnjy.com )σ【规律方法】
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
【跟踪练习】（2021·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.
考点四 两点分布、二项分布的均值和方差
（1）（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0（2）（2021·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·北京大兴·高二期末）随机变量的分布列如图所示，则_________.
0 1
（4）（2021·浙江·学军中学高三期中）甲 乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.设甲嬴的局数为，则___________，___________.
【规律方法】
二项分布的均值与方差．
(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之 ( http: / / www.21cnjy.com )具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b)．
【跟踪练习】（2021·山东师范大学附中高三月考）某部门在同一上班高峰时段对甲 乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
假设乘客乘车等待时间相互独立.
（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率；
（2）在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.
考点四 均值和方差在决策问题中的应用
(2021·重庆联考)某中学是走 ( http: / / www.21cnjy.com )读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：
非优良 优良 总计
未设立自习室 25 15 40
设立自习室 10 30 40
总计 35 45 80
(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效？
(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取 ( http: / / www.21cnjy.com )两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义．
下面的临界值表供参考：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)
【规律方法】
随机变量的均值反映了随机 ( http: / / www.21cnjy.com )变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．www-2-1-cnjy-com
【跟踪练习】（2021·江苏高邮· ( http: / / www.21cnjy.com )高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：【出处：21教育名师】
日需求量 14 15 16 17 18 19
频数 10 20 25 20 15 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
1．(2020·全国Ⅲ卷)在一组样 ( http: / / www.21cnjy.com )本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
2. (2021·浙江卷) 袋 ( http: / / www.21cnjy.com )中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=　　　　　,E(ξ)=　　　　　.
3.（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A． B． C． D．4
4．（2021·全国·高二课时练习）袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江·模拟预测）随机变量满足分布列如下：
0 1 2
P
则随着的增大（ ）
A．增大，越来越大 B．增大，先增大后减小
C．减小，先减小后增大 D．增大，先减小后增大
6．（2021·全国·高二课时练习）若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）21教育网
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ）21·cn·jy·com
A．0 B．1
C．4 D．2
9．（2021·四川成都·高三月考（理））已知随机变量，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a
若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·江苏·苏州中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，则
C．已知随机变量X服从正态分布，且，则
D．已知随机变量X服从两点分布，且，令，则
13．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三月考）随机变量的概率分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
则___________.
14．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.21世纪教育网版权所有
15．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．21教育名师原创作品
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
16．（2021·北京·高考真题） ( http: / / www.21cnjy.com )在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.21*cnjy*com
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20 ( http: / / www.21cnjy.com )组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
17．（2021·全国·高考真题）某学校 ( http: / / www.21cnjy.com )组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
18．（2021·湖南·高考真题 ( http: / / www.21cnjy.com )）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
19．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求；
（3）求“点数和大于9”的概率．
20．（2021·福建省建瓯市芝华中学高二月考）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为．www.21-cn-jy.com
（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；
（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．
21．（2021·江西柴桑·高三月考（理））学习强国APP是中宣部主管的一个网络学习平台，内容丰富，免费学习且无广告干扰，深受广大干部群众喜爱．某县教育局为了解本县教师在学习强国APP上的学习情况，随机抽取了30名男教师与30名女教师，统计这些教师在某一天的学习积分．得到如下茎叶图，把得分不低于30分的教师称为学习活跃教师，否则称为学习不活跃教师． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）指出这30名男教师学习积分的中位数；
（2）由茎叶图完成下面列联表，并回答是否有90％的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”；
男教师 女教师 合计
活跃
不活跃
合计
（3）把这60名教师中学习活跃教师的频率作为全县教师（人数很多）学习活跃的概率，从全县教师中随机抽取100人，记学习活跃教师的人数为，求．
参考公式：
临界值表：
22．（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立．现有5位体检人的血液有待检査，有以下两种化验方案：2·1·c·n·j·y
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结朿．21·世纪*教育网
（1）哪种化验方案更好？
（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用．
23.（2021·北京市第 ( http: / / www.21cnjy.com )十三中学高三期中）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（规定成绩不低于90分为“优秀”）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；
（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差，的大小关系．（只需写出结论）
24.（2021·全国·高二课时练习）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
（1）求出，；
（2）已知人体体温为时，相当于，求，．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例4
真题演练
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专题七 概率与统计
10 离散型随机变量及其分布列均值、方差
考纲对本模块内容的具体要求如下：
离散型随机变量及其分布列及其分布列均值、 ( http: / / www.21cnjy.com )方差是近几年高考常考知识点，出题上多与实际想联系，重点在与考查分析问题和计算问题的能力，多与其它知识相结合，要求比较高，出题方向上选择、填空或解答都有可能涉及.21·世纪*教育网
数学抽象：能从教材实例中抽象出离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
数学运算：1.掌握常见的离散型随机变量分布列的求解.
2. 会求分布列的方差、均值.
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 21*cnjy*com
2.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地，若离散型随机变量X ( http: / / www.21cnjy.com )可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
将上表称为离散型随机变量X的概率分布列 ( http: / / www.21cnjy.com )，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
① pi≥0(i=1，2，…，n);
② pi=1.
3.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
则称E(X)＝x1p1＋x ( http: / / www.21cnjy.com )2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
(2)方差
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).
4.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
5.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【常用结论】
1.若X，Y相互独立，则E(XY)＝E(X)·E(Y).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝＝np.
考点一　离散型随机变量及其分布列的性质
(1) （2021·全国·高二课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】
根据离散型随机变量的概念逐一判断即可.
【详解】
①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.
故选：C.
(2)）(2020四川仁寿县仁寿一中高三月考（理）)已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】随机变量的分布列为，
可得，解得，
所以
故选：A
【规律方法】
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
【答案】0.2
【分析】
根据离散型随机变量及其分布列的概率和为1，得到，然后与联立求得，的值求解.
【详解】
由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，因此．
故答案为：0.2.
(2)（2021·全国·高二课时练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
【答案】BD
【分析】
本题根据等差数列性质得出a，b，c之间的关系，再利用分布列的性质即可求解.
【详解】
解：由题意得：
∵a，b，c成等差数列
∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1
∴
∴
.
故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD
考点二 求离散型随机变量的分布列
已知2件次品和3件正品混放 ( http: / / www.21cnjy.com )在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
【解析】　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
【规律方法】
求离散型随机变量分布列的步骤
（1）找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)；
（2）求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；
（3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.
【跟踪练习】一个盒子里装有7张卡片， ( http: / / www.21cnjy.com )其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
【解析】(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.
(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X 1 2 3 4
P
考点三 离散型随机变量的均值与方差
(2020·郑州二检)某市为了解本市 ( http: / / www.21cnjy.com )1万名小学生的普通话水平，对全市范围内的小学生进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)．21*cnjy*com
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90]内的概率．
(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：
50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.
从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．
参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ ( http: / / www.21cnjy.com )－σ【解析】　(1)因为这些小学生的普通话测试成绩t服从正态分布N(69，49)，所以μ＝69，σ＝7.
所以P(62(2)因为总体平均分μ＝69，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，
可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝3)＝eq \f(CC,C)＝.
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，
方差D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝.
【规律方法】
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
【跟踪练习】（2021·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.
【答案】(1)；(2)的分布列见解析，期望为，方差为.
【分析】
(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)结合题意写出可能的取值，分别求出相应的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.
【详解】
(1)从袋中任取3个球，共有种情况，若从袋中任取3个球中，恰好取到2个黄球共有种，
故从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率为；
(2)由题意可知，可能取值为，0，1，2，
，，，
故的分布列如下表：
0 1 2
从而期望，
方差.
考点四 两点分布、二项分布的均值和方差
（1）（2021·全国·高二课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0【答案】
【分析】
根据题意，结合两点分布的方差计算公式，结合二次函数的最值问题，即可求解.
【详解】
随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且，.
从而，
.
∵0故答案为：；.
（2）（2021·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】
因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【点睛】
本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
（3）（2021·北京大兴·高二期末）随机变量的分布列如图所示，则_________.
0 1
【答案】
【分析】
先利用分布列的性质求出，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．
【详解】
解：由题意可得，，则，
所以，
．
故答案为：．
（4）（2021·浙江·学军中学高三期中）甲 乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.设甲嬴的局数为，则___________，___________.21教育网
【答案】
【分析】
由已知得，根据二项分布的期望和方差公式可求得答案.
【详解】
解：由已知得，所以，，
故答案为：；.
【规律方法】
二项分布的均值与方差．
(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具 ( http: / / www.21cnjy.com )有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b)．
【跟踪练习】（2021·山东师范大学附中高三月考）某部门在同一上班高峰时段对甲 乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
假设乘客乘车等待时间相互独立.
（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率；
（2）在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公式，计算出“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率.
（2）根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式，求得的分布列和数学期望.
（1）
设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，
表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，
表示事件“乘客，乘车等待时间都小于20分钟”.
由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为
，
故的估计值为.
乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为
，
故的估计值为.
又.
故事件的概率为.
（2）由（1）可知，甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，
所以甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.
显然，的可能取值为0，1，2，3且.
所以；；
；.
故随机变量的分布列为
0 1 2 3
.
考点四 均值和方差在决策问题中的应用
(2021·重庆联考)某中 ( http: / / www.21cnjy.com )学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：www-2-1-cnjy-com
非优良 优良 总计
未设立自习室 25 15 40
设立自习室 10 30 40
总计 35 45 80
(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效？
(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取 ( http: / / www.21cnjy.com )两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义．21教育名师原创作品
下面的临界值表供参考：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)
【解析】　(1)零假设为H0：设立自习室对提高学生成绩无效，
χ2＝≈11.43>7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们推断H0不成立，所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(C,C)＝，
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
Y的所有可能取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(Y＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(Y＝2)＝eq \f(C,C)＝，
Y 0 1 2
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝，
即E(X)【规律方法】
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， ( http: / / www.21cnjy.com )方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【跟踪练习】（2021· ( http: / / www.21cnjy.com )江苏高邮·高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19
频数 10 20 25 20 15 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）购进16件更合理，理由见解析.
【分析】
（1）根据题意可知的可能取值为44 54 64，并由表格分别计算出各自对应的概率，得到分布列，求出数学期望；【版权所有：21教育】
（2）计算出购进17件时利润的数学期望，与比较即可得出．
【详解】
（1）的可能取值为44 54 64，
，，，
的分布列为：
44 54 64
0.1 0.2 0.7
.
（2）若当天购进17件，则利润为：
，
因为，所以购进16件更合理.
1．(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本 ( http: / / www.21cnjy.com )数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
【答案】　B
【解析】　X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，
方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，
标准差为.
A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.
可知选项B的情形对应样本的标准差最大．故选B.
2. (2021·浙江卷) 袋中有4个红球, ( http: / / www.21cnjy.com )m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=　　　　　,E(ξ)=　　　　　.
【答案】1　　
【解析】 因为取出的两个 ( http: / / www.21cnjy.com )球都是红球的概率为,所以=,则(m+n+4)(m+n+3)=72,解得m+n=5.又因为一红一黄的概率为,所以=,解得m=3,则n=5-3=2,所以m-n=1.所以袋中有4个红球,3个黄球,2个绿球.则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,由此作出ξ的分布列:
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)=+2×=.
3.（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】
列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.
【详解】
根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
4．（2021·全国·高二课时练习）袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.
【详解】
根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.
故选：B.
5．（2021·浙江·模拟预测）随机变量满足分布列如下：
0 1 2
P
则随着的增大（ ）
A．增大，越来越大 B．增大，先增大后减小
C．减小，先减小后增大 D．增大，先减小后增大
【答案】B
【分析】
结合分布列的性质求出的值以及的范围，然后根据期望与方差的概念表示出期望与方差，结合函数的性质即可得出结论.21世纪教育网版权所有
【详解】
因为，所以，
又因为，解得，
所以，随着的增大，增大；
，
因为，所以先增大后减小.
故选：B.
6．（2021·全国·高二课时练习）若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
由题分布列的性质，求得，再结合期望的公式，即可求解.
【详解】
由题分布列的性质，可得且，解得，
又由，
所以的最大值为.
故选：B.
7．（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题知a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，进而得共有种不同的情况．再根据随机变量求解即可得答案.
【详解】
由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
8．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ）
A．0 B．1
C．4 D．2
【答案】A
【分析】
由分布列的性质求出，进而根据期望的概念得到m＝6－2n，然后结合方差的概念得到D(X)，进而可以求出结果.
【详解】
由分布列的性质，得，.
∵E(X)＝2，∴.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝
∴n＝2时，D(X)取最小值0.
故选：A.
9．（2021·四川成都·高三月考（理））已知随机变量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，，可得，然后简单计算即可.
【详解】
由题可知: ,，所以
所以
故选：A
10．（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用二项分布的方差公式即可得到答案.
【详解】
因为，所以.
故选：D.
11．（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a
若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
根据分布列的性质求解即可.
【详解】
由分布列的性质可知，，所以，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误．
故选：AC．
12．（2021·江苏·苏州中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，则
C．已知随机变量X服从正态分布，且，则
D．已知随机变量X服从两点分布，且，令，则
【答案】ACD
【分析】
由正态分布和期望的性质判断A；由二项分布判断B；由正态分布的对称性判断C；由两点分布判断D.
【详解】
对于选项A：由得，由得，所以，故A正确；
对于选项B：由得，故B错误；
对于选项C：由，且可得，故C正确；
对于选项D：由得，所以，故D正确.
故选：ACD.
13．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三月考）随机变量的概率分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
则___________.
【答案】64
【分析】
根据概率和为1列式求解即可.
【详解】
解：根据概率分布列的概率性质可知，
所以，即，解得.
故答案为：
14．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
【答案】
【分析】
设随机变量，可求得随机变量两个取值所对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到，由可求得结果.
【详解】
由题意知：大楼共层，
设随机变量，则，
，，
则的分布列如下：
，
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯 ( http: / / www.21cnjy.com )不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.2·1·c·n·j·y
15．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
16．（2021·北京·高考 ( http: / / www.21cnjy.com )真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成2 ( http: / / www.21cnjy.com )0组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【分析】
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
17．（2021·全国·高考真题）某学校 ( http: / / www.21cnjy.com )组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】
（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】
（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
18．（2021·湖南·高考真题）端午节吃 ( http: / / www.21cnjy.com )粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
【答案】（1）分布列见解析；（2）.
【分析】
（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率；
（2）根据（1）的结果求概率.
【详解】
（1）由条件可知，
，，，
所以的分布列，如下表，
（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
19．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求；
（3）求“点数和大于9”的概率．
【答案】
（1）答案见解析
（2）
（3）．
【分析】
（1）的可能值为，分别计算出概率后可得分布列；
（2）由可得；
（3）由可得．
（1）
由题意的可能值依次为，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表可得
，，
，，
，，
的分布列如下：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
（2）；
（3）
．
20．（2021·福建省建瓯市芝华中学高二月考）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为．21·cn·jy·com
（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；
（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意服从两点分布，写出方差的式子转化为二次函数求最值.
（2）由（1）知，投5次蓝得分为，则，再利用二项分布公式求出即可.
【详解】
解：（1）依题意，的分布列为
0 1
当时，取最大值，且最大值为.
（2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则
那么
则运动员甲投5次篮得分为4分概率为．
21．（2021·江西柴桑·高三月考（理））学习强国APP是中宣部主管的一个网络学习平台，内容丰富，免费学习且无广告干扰，深受广大干部群众喜爱．某县教育局为了解本县教师在学习强国APP上的学习情况，随机抽取了30名男教师与30名女教师，统计这些教师在某一天的学习积分．得到如下茎叶图，把得分不低于30分的教师称为学习活跃教师，否则称为学习不活跃教师． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）指出这30名男教师学习积分的中位数；
（2）由茎叶图完成下面列联表，并回答是否有90％的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”；
男教师 女教师 合计
活跃
不活跃
合计
（3）把这60名教师中学习活跃教师的频率作为全县教师（人数很多）学习活跃的概率，从全县教师中随机抽取100人，记学习活跃教师的人数为，求．
参考公式：
临界值表：
【答案】
（1）36
（2）填表见解析；没有
（3）60
【分析】
（1）根据中位数的定义，结合茎叶图中的数据，计算即可；
（2）根据茎叶图分析数据，补全列联表，根据公式计算，并与临界值比较，即得解；
（3）由题意，服从二项分布，即，利用二项分布的期望公式，即得解
（1）
这30名男教师学习积分的中位数为．
（2）
列联表如下：
男教师 女教师 合计
活跃 20 16 36
不活跃 10 14 24
合计 30 30 60
∵，
∴没有90％的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”．
（3）
全县教师学习活跃的概率为，
从全县教师中随机抽取100人，，
故．
22．（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二课时练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立．现有5位体检人的血液有待检査，有以下两种化验方案：21cnjy.com
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结朿．www.21-cn-jy.com
（1）哪种化验方案更好？
（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用．
【答案】
（1）方案乙
（2）304.755元
【分析】
（1）求得方案甲、方案乙化验次数，由此作出判断.
（2）根据方案乙化验次数的均值，求得方案乙的平均化验费用.
（1）
方案甲中，化验的次数一定为5次．
方案乙中，若记化验次数为X，则X的取值范围是．
5人都不患病的概率为，
因此，．
从而．
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好．
（2）
若记方案乙中，检查费用为Y元，则，从而可知，即方案乙的平均化验费用为304.755元．
23.（2021·北京市第十三中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )三期中）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（规定成绩不低于90分为“优秀”）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；
（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差，的大小关系．（只需写出结论）
【答案】
（1）
（2）分布列见解析
（3）
【分析】
（1）计算频率分别直方图最后两个小矩形的面积即可得出优秀率；
（2）分别计算两年级的优秀率，利用相互独立事件的概率公式得出的分布列；
（3）计算，得出结论．
（1）
解：由频率分布直方图可得高一年级知识竞赛的优秀率为．
所以高一年级知识竞赛的优秀率为．
（2）
解：在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为．
的所有可能取值为0，1，2；
；；．
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
0.42 0.46 0.12
（3）解：显然，均符合两点分布，且，，
，，
，，
．
24.（2021·全国·高二课时练习）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
（1）求出，；
（2）已知人体体温为时，相当于，求，．
【答案】
（1）38.4，0.64.
（2）101.12，2.0736.
【分析】
（1）利用期望及方差公式即求；
（2）由可得,即求.
（1）
由题可得，
.
（2）
由可知，，
.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例4
真题演练
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