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基于数学整体性的单元-课时教学设计与实施
一、对数学整体性的认识
1.同一主题内容中体现的数学整体性
主要包括一个内容的不同认识层次、不同角度的认识之间内在的一致性、关联性，以及认识不同方面内容所采用的类似过程与思想方法。例如：
数系扩充、数的运算及运算律，代数式的定义和运算，其内容、研究架构、过程和方法都有一致性。
“变量说”、“集合与对应说”、图像所呈现的自变量与因变量之间的对应关系（依赖关系），它们从不同角度描述了函数概念，具有内在的一致性，由此构成了函数的内涵与外延的整体性；对各种函数性质的认识，具有类似的主题、过程与思想方法，“变化中的规律性、不变性”就是它们的共性。
2.整合具有内在联系的不同内容所体现的数学整体性
例如一元一次方程、不等式与一次函数，一元二次方程、不等式与二次函数中，以函数为主线，分别把三者“编织”成一个整体，把方程、不等式看成函数的某种（类）特定状态下特性。
3.不同领域之间的融合所体现的整体性
主要是几何与代数之间的融合，体现了不同数学思想与方法之间相互融合，形成具有统一性、内在一致性的数学一般观念，这是在最高层面上体现的数学整体性，其统摄性最强、适用性最广。
几何直观与代数运算的融合，通过代数运算研究图形的性质（如锐角三角函数），利用直角坐标系表示几何元素，通过坐标的关系研究几何图形等，蕴含着综合性的数学新思想，其结果是在更高层次上体现了数学的整体性。
4.学科知识整体架构图
哲学思考
学科 应用广泛、统摄性强
一般观念 能揭示学科本质，形成方法论
学科视角 从四基、四能通向核心素养的桥梁
核心概念与思想方法 形成数学知识的自我生长能力
统摄性较低的 发展数学学科核心素养的载体
基本事实、概念、定理……
二、基于数学整体性的单元教学设计要关注的几个主要问题
（一）明确基本套路，增强教学的整体性
（二）加强一般观念的指导发展理性思维
（三）加强获得数学对象的过程发展数学抽象素养
（四）在探究数学性质的过程中发展逻辑推理、数学运算素养
（五）加强综合实践活动发展数学建模、数据分析素养
（六）创设情境提出问题引导学生开展系列化数学学习活动
（一）明确基本套路，增强教学的整体性
1.函数的基本套路
集合（概念、关系、运算）——函数的一般概念与基本性质——基本初等函数；
函数的一般概念：背景——概念——性质——应用；
基本初等函数：背景——概念——图象与性质——应用；
导数：物理背景、几何背景——概念——运算及运算法则——应用。
2.几何的基本套路
背景——概念——判定、性质——结构（联系）——应用。
3.向量的基本套路
背景——概念——运算及其性质（运算的几何性质、运算律）——联系（向量基本定理及坐标表示）——应用。
4.概率的基本路径
预备知识：样本点、样本空间，随机事件，事件的关系和运算．
随机现象——概率的定义及表示——概率的性质、运算法则——古典概型、频率的稳定性等——概率的计算、随机模拟试验……
归纳以上各条主线的研究路径，其基本要点都是：
背景（一类事物的实例）——概念（研究对象）——性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律等）——结构（相关知识的联系）——应用。
（二）加强一般观念的指导发展理性思维
所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用。
能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”跨越的表现，也是理性思维得到良好发展的表现。
例 “运算”是代数学的一般观念
“代数学的根源在于代数运算”，因此“运算”是一般观念。数系扩充中的核心问题就是为了解决加法、乘法和乘方逆运算的需要。“引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究运算律”是代数的核心思想。同时，运算也是解决代数问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理……
等式的性质与不等式的性质
通过运算研究函数
指数函数概念的抽象：
探究：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次作减法得到的。能否通过对B地景区每年的游客人次作其他运算发现游客人次的变化规律呢？
通过计算年增长率得出规律后，教材在边空中给出了一个总结，明示了运算在发现规律中的重要作用：作减法可以得到游客人次的年增加量，作除法可以得到游客人次的年增长率。增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。
通过运算发现和证明函数性质：
与初中通过图象直观定性描述函数性质比较，高中阶段要在图象直观的基础上，通过代数运算研究函数性质。在指数函数的研究中，要特别注意引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律；而具体函数变化规律的研究则更要借助运算来实现。
以“运算”贯穿“数列”一章的始终
在求数列通项公式的过程中，教材在显著位置提示学生：“当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律．如逐次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，对差或商加以观察”；
通过“思考”栏目，引导学生通过运算探究等差数列的取值规律：“在代数的学习中，我们总是通过运算来发现规律。例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律。类似的，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？”
在等比数列节引言中提出：“等差数列的特征是‘从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数’，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？”在分析等比数列的具体实例后，通过“探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？”引导学生抽象等比数列概念。
（三）加强获得数学对象的过程发展数学抽象、直观想象素养
抽象研究对象是数学研究的首要任务，是把握数学对象的第一步。抽象研究对象的过程就是学生获得数学核心概念的过程，对数学学习具有奠基性作用，也是发展学生数学抽象素养的主要契机。
抽象过程不充分，数学对象不明确，后续研究就无法展开。
采取“一个定义，三项注意”的“告诉式”教学，致使学生对将要研究的对象不甚了了，是导致学生数学学习困难的主因之一。
获得研究对象的过程就是使学生经历“从事实到概念”的数学化过程，即通过数学抽象而明确概念的内涵、要素，并用数学语言予以表征（下定义），再通过分类（划分）而明确概念的外延。显然，这对发展学生的数学素养意义重大。
例 几何对象的抽象过程
抽象一个（类）几何图形的逻辑顺序是：定义—表示—分类。
定义给出了几何图形本质特征的确切而简要的陈述。一个几何图形的本质特征是指其组成要素的形状及位置关系（如相交、平行、垂直等）。以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再抽象、概括出几何图形的组成要素的形状及位置关系，然后用严谨的数学术语作出表述，就得到了几何图形的定义。
教学中，一定要让学生在明确“几何图形的要素、要素之间的关系各指什么”的基础上，对“这类图形的组成要素是什么”、“要素的形状如何”、“要素之间有什么位置关系”等展开分析、归纳、类比的思维活动，这样才能做到有的放矢。
第二，几何对象的表示与众不同，有符号语言、文字语言和图形语言等多种方式。
几何教学中，首先要重视作图，在一张纸（二维平面）上画立体图形就是在培养学生的空间想象力。
符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、明确性、抽象性、逻辑性等融为一体的特点，可以极大地缩减数学思维过程，减轻大脑的负担，更有利于我们认识和表达数学对象的本质。所以，在抽象研究对象阶段，要重视数学对象的符号表示。
第三，以要素的特征与关系为标准对几何图形进行分类。
分类是理解数学对象的重要一环。
一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们分类，就使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种分类研究的路径，使后续研究顺序展开。
分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的“子类”系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物之间的逻辑关系，由此可以极大地增强“子类特征”的可预见性，从而也就有利于我们发现数学对象的性质。
（四）在探究数学对象性质的过程中发展逻辑推理、数学运算素养
1.数学性质指什么
探究一个数学对象的性质，一方面是为了更深入地认识这个对象，另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学与现实问题。这里，首先要清楚数学性质的表现方式，明确“性质”所要研究的问题是什么，这样才能使探究活动有的放矢、富有成效，使性质的发现成为必然而不是“撞大运”。
函数性质
“变化中的规律性”、“变化中的不变性”是它们的共性，这是函数性质的基本表现形式。
函数性质的研究，更加关键的是对刻画变量关系、变化规律的数学方法的研究，即通过直角坐标系建立函数的不同表示之间的联系，通过数形结合（代数运算和图像直观相结合）的方法展开研究，最终结果是用精确的代数语言、微积分的语言表达。事实上，要实现对函数性质的精确研究，必须使用导数工具，通过极限运算才能完成。
几何性质
几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学。由此，图形的形状特征、大小度量及位置关系就是几何性质的基本问题。
几何性质所研究的主题是与相应的几何对象相关的几何元素之间的相互关系——位置关系、（定性或定量的）大小关系。
高中阶段的几何，重点在以向量、直角坐标系为工具，用代数方法研究几何图形的性质。例如，在直角坐标系中，我们利用确定椭圆的几何要素（焦距和长轴），建立椭圆的方程，再通过方程研究其性质。因此，熟悉代数工具的性质又是前提。
代数性质
代数性质比几何性质要庞杂得多。我们知道，代数的研究对象是数量关系。“代数学的根源在于代数运算，也即加、减、乘、除、乘方、开方等等”，因此代数性质也是与运算紧密关联的。
代数性质总是与运算相关，通过归纳发现和证明“运算中的规律性，运算中的不变性”是代数性质的研究主题。
概率的性质
概率是对随机事件发生可能性大小的度量，度量的对象是样本空间。度量问题在几何中是核心问题，而且是学生熟悉的，所以我们可以从几何度量的性质中得到概率性质的启发。
概率的性质基于随机事件的关系与运算，而事件的关系和运算实际上是集合的关系和运算。
从函数的角度看，设随机试验的样本空间为Ω，因为对于每个事件AΩ，都有唯一确定的实数P(A)与之对应，所以概率是从样本空间的子集（包括，Ω）到区间上的“集函数”。这样，我们可以从函数性质的内容、过程和方法中得到概率性质的启发。
（五）加强综合实践活动提升数学建模、数据分析素养
新课程特别强调了学生综合实践能力的培养，由此来推动整个育人模式的改革。
高中专门设置数学建模活动和数学探究活动主线，目的就是加强综合实践活动。
义务教育阶段数学课标修订中，专门要求增加综合实践活动的课程内容设置。
中学数学课程中的数学对象一般都对应着明确的现实背景
线性函数、等差数列与均匀变化现象；
二次函数与匀加速变化现象；
反比例函数与反比例关系；
指数函数、等比数列与固定增长率的变化现象（更精确的描述是：指数函数刻画了事物的量在每一时刻的变化率与此刻的量的数值成比例的规律）；
对数函数与“对数增长”现象（这个描述有点自我循环的味道，但明确了指数函数所刻画的现实背景，对数函数其实也就随之确定了，因为它们互为反函数）；
三角函数与周期运动现象；
导数与瞬时变化率问题；
向量与物理学中的矢量，向量加法与位移的合成、力的合成，向量减法与物体受力平衡，向量的数量积与物体受力做功等；
圆锥曲线与行星运动、抛物运动、光学性质等；
概率与随机现象，二项分布与产品质检，正态分布与测量误差等；
统计与数据分析，独立性检验、回归分析与现实问题等；
……
（六）创设情境提出问题引导学生开展系列化数学学习活动发展理性思维科学精神
“情境与问题”专指教材或教学中创设的教学情境及其相伴相随的数学问题。无论是教材还是教学，情境与问题的设计都具有关键的意义，如何提高教学情境的质量，使学生能够在情境的引导下发现和提出问题，是一个值得下大力气研究的问题。
衡量情境与问题质量的八个指标
（1）目的明确，围绕当前的教学任务，能将学生的注意力吸引到教学任务上来；
（2）反映本质，情境中蕴含着新知识的要素，反映所学新知识的本质，能引导学生从情境中提出数学问题、发现数学规律，能有效促进学生领悟知识所蕴含的数学思想和解决问题的方法；
（3）系统连贯，以数学知识的发生发展过程为基本线索，形成一个循序渐进、具有内在逻辑关联的“情境与问题链”，其中，第一个问题要有统摄性、贯通性，起到先行组织者的作用，随后的一系列问题要能引导学生的思维逐步走向所学知识的本质；
（4）自然而然，从知识的发生发展过程和相互联系中提出问题，使问题具有逻辑的必然性；
（5）难易适度，与学生认知水平相适应，在学生思维最近发展区内提出问题，对学生的思维形成适度的挑战性，为学生创造独立思考空间，满足“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的要求，让学生自己“捅破窗户纸”；
（6）简明易懂，问题清晰、明确且有启发性，语言准确、无歧义且有条理性，学生不会因为情境与问题的字面意思难懂而发生理解困难；
（7）恰时恰点，与学生的学习进程相协调，准确把握提问的时机，“想学生所想，问学生所问”；
（8）启迪创新，“看过问题三百个，不会解题也会问”，使学生逐渐学会自主提问。
例 向量的数量积教学设计中的系列化情境与问题
问题1 前面学习了向量的加、减和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算。你能总结一下我们是如何研究这些运算的吗？
追问1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？
追问2：如果向量能够做乘法运算，那么你认为应按怎样的路径研究这种运算？
问题2 向量及其线性运算有明确的物理背景，在你学过的物理知识中，你认为哪一个概念可以作为“向量乘法”的物理背景？
追问1：你能分析一下功的定义中所涉及的要素吗？
追问2：受此启发，你觉得要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？
教师引导学生讨论，得出向量夹角的概念后，提出
问题3 有了上述准备，你能给出向量乘法的定义吗？
问题4 为了进一步理解数量积概念，我们回过头来再
看一下功的定义。结合图1，你能解释一下|F|cos的物理意义吗？
追问1：类比|F|cos的物理意义，结合向量数量积的定
义，观察图2，你能说说|b|cos的几何意义吗？
追问2：|b|cos就是向量b在向量a所在直线上投影的长
度。对于任意两个向量（如图3），如何得到一个向量向
另一个向量的投影？
追问3：如图4，设与向量b方向相同的单位向
量为e，向量a与b的夹角为，那么与e，a，
之间有怎样的关系？
图1
图2
问题5 接下来我们要研究数量积运算的性质。根据已有的研究经验，你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？
追问1：因为向量既是几何对象也是代数对象，所以向量运算的性质一定既有几何性质也有代数性质。你认为应该怎样入手研究几何性质？
在学生思考的基础上，提出如下“探究”任务：
从投影向量的探究中我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时的投影具有特殊性。这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？
追问2：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几何性质时所采用的思想方法吗？
问题6前面从特殊向量及两个向量的特殊几何关系入手研究了数量积的性质，你认为从代数角度应研究数量积的什么性质？
追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
问题7 （课堂小结）：
（1）你能归纳一下本节课我们是如何研究向量的数量积运算的吗？
（2）你认为定义向量的数量积时，应注意哪些问题？
（3）你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题？
（4）向量数量积的性质要研究的问题是什么？我们是如何发现这些性质的？
三、基于数学整体性的单元-课时教学设计框架结构
（一）数学学科核心素养的阶段性、连续性、整体性
学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标。所以，整体把握教学内容对促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展具有重要意义。这就是提倡单元整体设计教学的理由。
防止碎片化教学现象的延续
老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、解题能力不过关。
受应试的困扰，大家习惯于“当堂巩固”，学一个知识点就要进行大量巩固性练习。这样的教学，结果必然是：知识碎片化，而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，学生综合运用知识的能力不强。
（二）单元整体设计追求什么？
数学的整体性
逻辑的连贯性
思想的一致性
方法的普适性
思维的系统性
单元-课时教学设计的要素
研究对象；
逻辑连贯的学习内容；
连续的、环环相扣的问题链；
教学过程：系列化数学活动，基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式；
结果诉求：核心知识、思想方法、思维能力、问题解决能力；注重学习结果的可迁移性，举一反三、触类旁通。
四、单元-课时教学设计框架
第n单元（k课时）
一、单元内容及其解析（含单元教学重点）
二、单元目标及其解析
三、单元教学问题诊断（含单元教学难点）
四、单元教学支持条件
第1课时~第k课时
1.课时教学内容
2.课时教学目标
3.课时重点、难点
4.教学过程设计
课时教学设计前先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元的主要学习难点等作出全面分析，并将课标规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程（从概念、原理等的学习到练习再到目标检测等）分解到课时，同时将相应的“内容要求”（即单元目标）分解为课时目标．
（一）单元内容和内容解析
1．内容：对单元教学内容的内涵和外延作简要说明．在此基础上，给出课时和对应的内容。
2．内容解析：重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心，分析概念的地位及其蕴含的数学思想和方法．在此基础上阐明教学重点．
这里要在章节整体知识结构中，对教学内容进行深入分析．
“内容”部分，只要列举课程标准中相应单元的内容即可．
“内容解析”的基本结构：
①内容的本质；
②内容蕴含的数学思想和方法；
③知识的上下位关系；
④内容的育人价值；
⑤阐明本单元教学重点．
例：“向量的运算”内容解析
对向量运算在整体提升数学学科核心素养上的作用，可以从如下几个方面来分析：
（1）运算对象：与实数、集合等运算对象不同，向量是集数与形于一身的一个量，因此它的运算自然有代数和几何两种意义，运算的性质也要从代数、几何两个角度进行研究；向量来源于物理，每一种运算都有明确的物理背景，因此在定义其运算时要强调物理背景。
（2）研究路径：建立向量运算体系，首先要遵循代数运算的一般套路，即背景——运算法则——运算律——应用，因此可以类比实数运算的研究过程展开向量运算的研究；其次，向量是几何对象，因此要从几何角度考虑运算法则和运算律的意义；再次，向量的概念源自物理学，每一种向量运算都有相应的物理背景，这就能使向量运算的定义建立在明确的现实背景上，当然数学中的向量运算已经脱离了现实背景的束缚，是一种抽象的结果。综合以上三个方面，形成如下基本路径：物理背景——运算法则及几何意义——运算性质及几何意义——联系与应用。
（3）运算法则及其几何意义：与实数的运算类比，可以提出向量运算的问题；向量运算是“带方向的量的运算”，因此如何进行方向的运算是定义向量运算法则的关键，我们可以从物理学的矢量的合成、力做功等得到启发。虽然每一种向量运算都有明确的物理背景，但数学中的向量运算法则是一种规定，而且这种规定是和谐的。（与现实规律一致，与数学运算法则、几何定理的一致性）
（4）运算性质及其几何意义：由运算对象的特征所决定，向量的运算性质表现在代数和几何两个方面。类比实数运算的运算律，可以获得向量运算的运算律。线性运算的运算律有明确的几何意义，例如向量加法的交换律与平行四边形的性质、数乘向量的分配律(a+b)=a+b与相似三角形性质；数量积运算的运算律与关于长度、角度的勾股定理、余弦定理等。
（5）联系与应用：研究向量及其运算的目的是为了利用向量的语言和方法描述并解决一维、二维、三维……空间中的数学问题以及有关实际问题。在此过程中，我们可以领悟到有关数学思想和方法，例如向量代数中的数学运算与平面几何中的逻辑推理之间的关系。
在平面向量运算的研究中，从物理、几何、代数等多角度理解向量运算法则，通过类比探索向量运算与实数运算的共性和差异性，通过对向量运算、运算律的几何意义的探索建立与平面几何的联系等，都是向量运算的应有之义。
（二）单元目标和目标解析
1．目标：用“了解”“理解”“掌握”以及有关行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标．
2．目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析．
教学目标是教学设计的“灵魂”。应注意单元教学目标与课时教学目标的内在一致性。单元教学目标是通过一个阶段教学要达到的，而课时教学目标是一个课时要达成的目标；课时目标的积累就成为单元目标的达成。
单元教学目标解析应基于教学内容及其解析，着重解析课标中的“内容与要求”的具体涵义。具体操作时，可以与单元教学内容解析相对应，给出学生在学完本单元后在知识、技能、思想方法等方面达到的要求（会做哪些以往不会做的事情）。
“平面向量及其应用”的单元目标
单元目标是“中观目标”，由课程标准给定，以“单元整体目标+内容与要求+学业要求”的结构呈现：
单元整体目标：理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
内容与要求：为了实现上述目标，选择向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用与解三角形等内容，并提出相应的学习要求，例如“通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义”。
学业要求：给出通过学习要达到的结果，能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系。
“平面向量运算”的“内容要求”及其解析
①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
解析：能借助位移的合成、力的合成、力的平衡和向量的几何表示，类比数的加减运算，解释向量的加法法则、减法法则；能画图表示两个向量的和向量、差向量；能类比数的加法运算律提出向量加法的运算律，并能通过作图进行证明。
②通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。
解析：能类比数的乘法与加法的关系，解释向量数乘的运算法则及其几何意义；能类比数的乘法运算律提出向量数乘运算的运算律，并能通过作图进行证明；能从向量概念和向量数乘运算的定义出发，解释两个向量共线的充要条件。
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
解析：能将向量的加、减、数乘的运算性质概括为统一的表达形式，得出向量线性运算的性质。
④通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
解析：能以物理中的“功”为背景，解释平面向量数量积的内涵，会计算平面向量的数量积。
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
解析：能作出向量a向向量b上的投影，并能结合图形直观解释向量a在向量b上的投影向量；能根据向量投影的概念得出向量a在向量b上的投影向量的表达式。
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
解析：能类比数的乘法运算律和向量线性运算的运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明；能根据平面向量数量积的定义发现数量积的几何意义（向量的长度、向量的夹角），会用数量积判断两个向量的垂直关系。
⑦能不断加深对运算对象的理解，能总结定义向量运算法则的数学思想、研究向量运算性质的数学方法，能说出定义向量运算的基本套路，能举例说明数学运算与逻辑推理的关系。
以上①~⑥与内容紧密结合，⑦是从基本思想、基本活动经验角度作出解析，在整个向量运算教学中要经历渗透、明确和应用的过程才能实现。
（三）单元教学问题诊断
根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在分析基础上指出教学难点。
可以从认知分析入手，即分析学生已具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标，发现已有基础和目标之间的差距，分析学生学习中可能出现的障碍，然后给出教学难点。
“平面向量的运算”教学问题诊断
（1）从一般观念的角度看，学生对运算的认知往往停留在“按规则操作”层面，对于建立运算法则所要完成的“事情”有哪些、过程中需要遵循的一般原则等理解并不深刻，这就会造成学生的被动学习。
（2）向量用有向线段表示；物理背景中力、位移、速度等的数学表达就是向量，但它们有“三要素”。向量的“自由性”和物理背景及向量几何表示的“限定性”之间的“矛盾”，会给向量运算的学习带来困扰。例如，在运算律的证明中，学生往往不理解“在平面内任取一点O”的含义，因此也就很不习惯这种做法。
（3）向量的线性运算是封闭的，运算结果是向量，含大小和方向两个要素。这样，如何进行方向的加减，带有方向的量进行加减后其大小和方向该如何规定才是和谐的，这些都是学生没有经验的。通过作图的方式定义向量线性运算，从代数、几何两个方面考虑运算和运算性质，用几何方法证明运算性质（运算性质以平面几何的有关定理为逻辑基础），这些都是学生不习惯的，他们甚至没有这方面的意识。
（4）两个平面向量共线的充要条件，形式简单但含义深刻，其中的数学思想并不容易理解。其实它就是一维向量基本定理，直线上的非零向量就是基底，其基本思想对于任意n维向量都是一脉相承的。基的概念和向量基本定理是向量内容中贯穿始终的结果，是几何与代数之间的桥梁。也正因为此，它被冠以“基本定理”之名。这里，“存在唯一一个实数”到底意味着什么？在实际应用中，将“给定一点和一个方向就唯一确定一条直线”（几何）转化为“给定一个点和一个非零向量，可以唯一确定过此点且与向量平行的直线”，再进一步与数轴联系起来，得到“数轴上向量的坐标表示”（代数），其中体现的数学思想、用联系的观点看待和认识问题的方法等，都属于一般观念层次，需要教师加强引导。
（5）数量积运算是不封闭的，两个向量做点乘的结果是一个实数，这是学生以往经历中没有的，教学时可以引导学生思考物理中学过的力做功公式，从中获得启发而引入数量积定义。数量积的运算性质非常丰富，“这些性质是如何想到的？”是学生困惑的问题。教学时要在“数量积的运算性质到底指什么”、“如何发现”等方面加强引导，与数的乘法运算律类比是一方面，更重要的是利用研究几何性质通过“特殊化”发现性质的经验，例如：有一个向量是单位向量，两个向量的方向相同或相反，更特殊的是两个向量相等，还有是两个向量相互垂直等等，由此就能得到数量积的运算性质，发现数量积与向量的长度、两个向量夹角的关系也就成了必然。
（6）尽管平面几何中学过线段向投影面的正投影，但向量的投影变换需要考虑投影向量与其所在直线的方向，要在分类讨论的基础上进行抽象，这个过程需要较强的几何直观和归纳抽象能力，对数学抽象、逻辑推理的要求也较高。教学时应根据投影变换的定义，在“如何确定投影向量的大小和方向”、“影响投影向量大小和方向的因素有哪些”、“如何根据这些影响因素对投影向量进行分类”等问题上加强引导。
（7）向量投影与数量积没有本质联系，向量投影源于距离。正因为如此，课程标准对传统的定义进行了修改。
向量投影与高维空间问题向低维空间问题转化有关。向量投影是指高维线性空间的一个向量向其子空间做投影，其结果是子空间上的向量。向量投影是高维空间到其子空间的最短距离。
投影与向量的分解之间的关系，这是向量投影的一个重要应用。这时就要和数量积联系起来，最重要的是正交分解。其实，这就是用线性空间的基底将向量进行线性表出，这样就沟通了向量空间与线性代数。
在平面中，如果取基底为标准正交基{i，j}，对于平面内的任意一个向量a，a=xi+yj，这时就有x=a·i，y=a·j。也就是说，向量对应的有序数对就是这个向量在x轴、y轴上的投影向量的系数，而且这种对应是一对一的。
（四）单元教学支持条件
为了有效实现教学目标，要根据问题诊断分析的结果，决定采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地开展数学活动，进行有数学含金量的探究，使他们更好地发现数学规律。
（五）课时教学设计
第i课时
1.课时教学内容
指本课的数学内容。
2.课时教学目标
课时教学目标要注意过程与结果的融合、内隐性目标与表现性目标的融合。具体写作时，可以考虑以下格式：
通过（经历）X，能（会）Y，发展（提高、体会）Z。
其中，X表示数学活动过程，Y表示应会解决的问题（显性目标，主要是具体知识点目标），Z表示数学思想和方法、数学关键能力（隐性目标）
数学教学目标包括推理、运算、作图等可观察的表现性目标和基本思想、基本活动经验、关键能力等难以观察的内隐性目标。
表现性目标给出了教学后学生应出现的行为变化的精确陈述。这一类目标所回答的问题是：学生有怎样的行为表现就可以认定他已经达成了目标。例如：学生会用平面向量共线定理判别两个向量是否共线。
数学教学目标中更大量的是归纳、类比、抽象、概括等分析性思维所涉及的高级学习的具体目标，这些学习的出现是内隐性的，并不表现为外在的可测行为。对于这类教学目标的描述，通常的做法是先把学生应该学到什么描述出来，再设计具有测量信度和效度的问题情境，通过观察学生在解决问题过程中的行为表现去推测学生是否已经达成了目标。
“理解两个平面向量共线的含义”，“理解”是一种理性认识，将其转化为：“能通过具体例子说明平面向量共线定理，能解释其几何意义，会用于判断两个向量是否共线”，这样就把理性认识转化为一种行为描述，再据此设计出相应的问题，通过观察学生解决问题的行为表现、作业成绩来判断学生是否达到“理解”，这就是课时教学目标。
撰写课时目标的注意事项
（1）目标指向学生的变化。
（2）与教师教的任务和学生学的任务相区别。
（3）与内容紧密结合，避免抽象、空洞。
（4）目标表述要明确。
例如：
通过物理中功等实例，能给出平面向量数量积概念，能解释其物理意义，会计算平面向量的数量积，体会向量数量积的定义方式。
通过类比向量线性运算的运算性质和数的乘法运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明；能根据平面向量数量积的定义发现数量积的几何意义（向量的长度、向量的夹角）；会用数量积判断两个向量的垂直关系；领悟研究向量运算性质的数学思想，体会数学运算与逻辑推理的关系。
3.教学重点与难点
“重点”是指本课中的核心概念及其蕴含的数学思想和方法。
“难点”主要指学生在学习过程中可能遇到的困难和问题。可以根据以往的教学经验，指出学生在学习本课内容时可能出现的困难，特别是在理解概念（原理）的过程中可能出现的问题。
重点、难点要落在“点”上，特别是“难点”要与学生的普遍情况相吻合（不能主观臆测），主要以知识点的方式来表现（根据需要也有思想方法、研究方法），直接列出条目即可。
4.教学过程设计
要强调教学过程的内在逻辑线索，这一线索应从数学概念和思想方法的发生发展过程（基于内容解析）、学生数学思维过程两方面的融合来构建．学生数学思维过程以认知分析为依据，即在对学生应该做什么、能够做什么和怎样做才能实现教学目标进行分析的基础上得出思维过程的描述．可以利用问题诊断分析中得出的结论，基于自己以往教学中观察到的学生学习状况，通过分析学生学习本内容的思维活动过程，给出学生学习过程的具体描述．其中，应突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出数学基本思想的领悟过程，突出数学基本活动经验的积累过程．
教学过程设计以“问题串”为主，而且“问题串”就是整节课的教学主线．
要特别注意对如何渗透、概括和应用数学思想和方法作出明确表述。
以“问题——设计意图——师生活动预设”的顺序呈现．
要特别注意对如何渗透、概括和应用数学思想和方法作出明确表述．
例如，概念教学的过程设计可按如下环节安排：
创设情境，提出问题；
抽象概念，内涵辨析；
例题练习，巩固理解；
小结提升，形成结构；
目标检测，检验效果；
布置作业，应用迁移。
5.目标检测设计
课堂教学目标是否达成，需要以一定的习题、练习进行检测．对每一个（组）习题或练习都要写明检测目标，以加强检测的针对性、有效性．
注意目标检测与布置作业的区别．布置作业应在上面教学过程设计中，主要是通过习题巩固概念，提高学生的知识技能、综合能力；目标检测设计重在通过题目检测本课目标完成情况，此步也可以使用教科书中的习题或同类问题，数量一般在1～3个。
结束语
数学育人——使学生在数学学习中
树立自信，坚定正念，
增强定力，激励精进，
启迪智慧，净化心灵。
谢谢倾听
请提宝贵意见

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