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湖南省常德市汉寿县2021年数学中考模拟试卷
一、单选题
1．-2的相反数是（　　）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2021·汉寿模拟）不等式 的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
移项得： ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
3．（2020·大东模拟）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，共6种情况，其中“梅花”有3张，所以抽到“梅花”的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】根据概率等于所求情况数与总数之比计算即可.
4．（2021·汉寿模拟）分解因式： （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】首先提取公因式x2，然后利用平方差公式进行分解.
5．（2021·汉寿模拟）如图所示的正六棱柱的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的.
故答案为：D.
【分析】主视图就是从正面看得到的图形，从而结合正六棱柱的特点进行判断.
6．（2021·汉寿模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，记 ，那么三角形的面积为 .如图，在 中， ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（　　）
A．14 B．20 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为：C.
【分析】首先根据a、b、c的值求出p，然后根据进行计算.
7．（2020·邯郸模拟）已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限， 、 两点在该图象上，下列命题：①过点 作 轴， 为垂足，连接 .若 的面积为3，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 其中真命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，
∴k<0，
∵ 、 两点在该图象上，
∴y1= ，y2= ，
∴x1y1=k，x2y2=k，
①过点 作 轴， 为垂足，
∴S△AOC= = ，
∴ ，故①符合题意；
②若 ，则点A在第二象限，点B在第四象限，所以 ，故②符合题意；
③∵ ，
∴ ，故③符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k＜0，y1= ，y2= ，然后根据反比例函数k的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案.
8．（2020·邯郸模拟）观察等式： ； ； 已知按一定规律排列的一组数： 、 、 、 、 、 ．若 ，用含 的式子表示这组数的和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋（2＋22＋…＋250）a，
∵ ，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋（2＋22＋…＋250）a
＝a＋（251－2）a
＝a＋（2 a－2）a
＝2a2－a ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，一组数： 、 、 、 、 、 的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋（2＋22＋…＋250）a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
二、填空题
9．（2021·汉寿模拟）计算 的结果是　 　
【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】根据绝对值的性质以及算术平方根的概念进行求解.
10．（2021·汉寿模拟）分式方程 的解为 　 　
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解
故答案为： .
【分析】方程两边同乘以(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
11．（2020八上·赫山期末）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9．
故答案为： ．
【分析】根据科学记数法的含义，表示即可。
12．（2021·汉寿模拟）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的取值为　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程化为一般形式为： ，
∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得△=b2-4ac=0，据此解答即可.
13．（2021·汉寿模拟）要使二次根式 有意义，则 的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：二次根式 被开方数为
∴
又∵
∴ ，解得
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再结合特殊角三角函数值解答即可.
14．（2021·汉寿模拟）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ，连结 .若 ，则 的度数为　 　
【答案】70°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°，
又∵∠C=55°，
∴∠B=90°-55°=35°，
由圆周角定理得，∠AOD=2∠B=70°，
故答案为：70°.
【分析】根据切线的性质可得∠CAB=90°，利用三角形内角和求出∠B的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOD=2∠B，据此即可得出答案.
15．（2021·汉寿模拟）如图所示，在 中， ， 是斜边 上的中线， 、 分别为 、 的中点，若 ，则 　 　
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ， 是斜边 上的中线，
∴CM=AM=BM= ，
∵ 、 分别为 、 的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵ ，
∴CM=2EF=4，
∴CM= =4，
∴AB=8，
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM= ，三角形的中位线定理得CM=2EF=4，从而求出AB的长.
16．（2021·汉寿模拟）对于一个函数，自变量 取 时，函数值 也等于 ，我们称 为这个函数的不动点.如果二次函数 有两个相异的不动点 ， ，则 　 　
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点，
当 时，a称为不动点，
即 时，方程有两个相等的实数根
∵
∴
由根与系数的关系可知：
将其代入上式中可得
故答案为：1.
【分析】根据函数不动点的定义可得方程有两个相等的实数根，即得方程为 ，根据根与系数的关系可得，将利用配方法变形为，再将代入计算即可.
三、解答题
17．（2021·汉寿模拟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方分别进行化简，同时代入特殊角三角函数值，然后进行有理数的加减及合并同类二次根式即可.
18．（2021·汉寿模拟）求不等式组 的解集.
【答案】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
19．（2021·汉寿模拟）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：
.
当 时，原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
20．（2020九上·长春月考）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【答案】（1）解： a=40，b=94，c=99
（2）解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）解：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝720× ＝468人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣ ）×100＝40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b＝ ＝94；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴c＝99；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出b和c的值，根据扇形统计图可求出a的值；（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；（3）利用样本估计总体思想求解可得．
21．（2019·岳阳）如图，双曲线 经过点P(2，1)，且与直线y＝kx﹣4(k＜0)有两个不同的交点.
（1）求m的值.
（2）求k的取值范围.
【答案】（1）解：∵双曲线 经过点P(2，1)，
∴m＝2×1＝2
（2）解：∵双曲线 与直线y＝kx﹣4(k＜0)有两个不同的交点，
∴ ，
整理得：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝(﹣4)2﹣4k (﹣2)＞0，
∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线的解析式中，即可求出m的值。
（2）将直线的解析式与双曲线的解析式联立，得到关于x的二元一次方程，根据方程拥有两个不同的根，利用求根公式进行计算，得到k的值即可。
22．（2021·汉寿模拟）已知如图：AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点.
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵ 和 是它的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ 切 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（2）证明：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1） 由切线的性质可得，，从而得出AM∥BN，可得∠ADE+∠BCE
=180°，由DC与⊙O相切于点E，根据切线长定理可得，， 从而得出，根据三角形内角和可得即可得出结论；
（2）证明 ，可得，结合OA=OB=AB即得结论.
23．（2019·毕节）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元） 15 20 30 …
y（袋） 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】（1）解：依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得
，解得 ，
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2）解：依题意，设利润为w元，得
w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，
整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出 日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式 ；
（2） 设利润为w元 ，根据每袋的利润乘以日销售数量=每日的总利润，即可建立出W与x的函数关系式，根据所得函数的性质就可解决问题。
24．（2019·邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且 ；支架BC与水平线AD垂直． ， ， ，另一支架AB与水平线夹角 ，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示： ， ， ）
【答案】解：设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ .8≈19 cm
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】设OE=OB=x，即可表示出OD为190+2x，根据直角三角形的性质得到OC的长度，表示出BC，即可根据∠BAD的正切值得到x，继而求出OB。
25．（2021·汉寿模拟）如图，抛物线 过点 ，且与直线 交于 、 两点，点 的坐标为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上位于直线 上方的一点，过点 作 轴交直线 于点 ，点 为对称轴上一动点，当线段 的长度最大时，求 的最小值；
（3）设点 为抛物线的顶点，在 轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点 的坐标为 代入
，
，
∴ 的坐标为 ，
将 ， 代入
，
解得 ， ，
∴抛物线的解析式
（2）解：设 ，
则 ，
，
∴当 时， 有最大值为2
此时 ，
作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于点 .
，
此时 最小，
∵ ，
∴ ，
，
即 的最小值为
（3）解：作 轴于点 ，连接 、 、 、 、 ，
∵抛物线的解析式 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
可知 外接圆的圆心为 ，
∴
设 ，则 ，
或
∴符合题意的点 的坐标： 、
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点B（4，m）代入直线中求出m值，即得B坐标，然后将A、B坐标代入 中，求出b、c值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）设，可得，求出 =，利用二次函数的性质求出线段 的长度最大时 ，作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于点 ，可得 ，此时 最小，利用两点间的距离公式求出此时A'D的长即可；
（3） 作 轴于点 ，连接 、 、 、 、 ，可得外接圆的圆心为 ，可得，设 ，由于QH=2，根据两点间的距离公式可得方程，求出t值即可.
26．（2021·汉寿模拟）如图，正方形 的边长为2， 为 的中点， 是 延长线上的一点，连接 交 于点 ， .
（1）求 的值；
（2）如图1，连接 ，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ，求证： ；
（3）如图2，过点 作 于点 ，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， .将 绕点 旋转，使点 旋转后的对应点 落在边 上.请判断点 旋转后的对应点 是否落在线段 上，并说明理由.
【答案】（1）解：设 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：在 上截取 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：若点 在 上，如图，以 原点， 为 轴， 为 建立平面直角坐标系，
∵ ， ，
∴ .
由旋转的性质可得 ， ， ，
∵点 ，点 ，
∴直线 解析式为： ，
设点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∵点 ，
∴ .
∴点 旋转后的对应点 不落在线段 上.
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 （1）设，可得，证明，可得，据此求出a值，即得AP，利用AF=AD-DF求出AF，从而求出 的值；
（2）在CD上截取DH=AF，证明△PAF≌△HDF ，可得PF=FH，再证明△FCM≌△FCH，可得FM=FH，从而得出；
（3）若点 在 上，如图，以 原点， 为 轴， 为 建立平面直角坐标系，由旋转的性质可得 ， ， ，利用待定系数法求出直线 解析式，可求出B'坐标，然后求出B'Q'的长度，再与比较，即可判断结论.
1 / 1湖南省常德市汉寿县2021年数学中考模拟试卷
一、单选题
1．-2的相反数是（　　）
A．2 B．-2 C． D．
2．（2021·汉寿模拟）不等式 的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020·大东模拟）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·汉寿模拟）分解因式： （　　）
A． B．
C． D．
5．（2021·汉寿模拟）如图所示的正六棱柱的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021·汉寿模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，记 ，那么三角形的面积为 .如图，在 中， ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（　　）
A．14 B．20 C． D．
7．（2020·邯郸模拟）已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限， 、 两点在该图象上，下列命题：①过点 作 轴， 为垂足，连接 .若 的面积为3，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 其中真命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2020·邯郸模拟）观察等式： ； ； 已知按一定规律排列的一组数： 、 、 、 、 、 ．若 ，用含 的式子表示这组数的和是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·汉寿模拟）计算 的结果是　 　
10．（2021·汉寿模拟）分式方程 的解为 　 　
11．（2020八上·赫山期末）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为　 　．
12．（2021·汉寿模拟）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的取值为　 　
13．（2021·汉寿模拟）要使二次根式 有意义，则 的取值范围为　 　
14．（2021·汉寿模拟）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ，连结 .若 ，则 的度数为　 　
15．（2021·汉寿模拟）如图所示，在 中， ， 是斜边 上的中线， 、 分别为 、 的中点，若 ，则 　 　
16．（2021·汉寿模拟）对于一个函数，自变量 取 时，函数值 也等于 ，我们称 为这个函数的不动点.如果二次函数 有两个相异的不动点 ， ，则 　 　
三、解答题
17．（2021·汉寿模拟）计算：
18．（2021·汉寿模拟）求不等式组 的解集.
19．（2021·汉寿模拟）先化简，再求值： ，其中 .
20．（2020九上·长春月考）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
21．（2019·岳阳）如图，双曲线 经过点P(2，1)，且与直线y＝kx﹣4(k＜0)有两个不同的交点.
（1）求m的值.
（2）求k的取值范围.
22．（2021·汉寿模拟）已知如图：AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点.
（1）求证：
（2）求证：
23．（2019·毕节）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元） 15 20 30 …
y（袋） 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
24．（2019·邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且 ；支架BC与水平线AD垂直． ， ， ，另一支架AB与水平线夹角 ，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示： ， ， ）
25．（2021·汉寿模拟）如图，抛物线 过点 ，且与直线 交于 、 两点，点 的坐标为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上位于直线 上方的一点，过点 作 轴交直线 于点 ，点 为对称轴上一动点，当线段 的长度最大时，求 的最小值；
（3）设点 为抛物线的顶点，在 轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（2021·汉寿模拟）如图，正方形 的边长为2， 为 的中点， 是 延长线上的一点，连接 交 于点 ， .
（1）求 的值；
（2）如图1，连接 ，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ，求证： ；
（3）如图2，过点 作 于点 ，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， .将 绕点 旋转，使点 旋转后的对应点 落在边 上.请判断点 旋转后的对应点 是否落在线段 上，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
移项得： ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
3．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，共6种情况，其中“梅花”有3张，所以抽到“梅花”的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】根据概率等于所求情况数与总数之比计算即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】首先提取公因式x2，然后利用平方差公式进行分解.
5．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的.
故答案为：D.
【分析】主视图就是从正面看得到的图形，从而结合正六棱柱的特点进行判断.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为：C.
【分析】首先根据a、b、c的值求出p，然后根据进行计算.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，
∴k<0，
∵ 、 两点在该图象上，
∴y1= ，y2= ，
∴x1y1=k，x2y2=k，
①过点 作 轴， 为垂足，
∴S△AOC= = ，
∴ ，故①符合题意；
②若 ，则点A在第二象限，点B在第四象限，所以 ，故②符合题意；
③∵ ，
∴ ，故③符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k＜0，y1= ，y2= ，然后根据反比例函数k的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案.
8．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋（2＋22＋…＋250）a，
∵ ，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋（2＋22＋…＋250）a
＝a＋（251－2）a
＝a＋（2 a－2）a
＝2a2－a ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，一组数： 、 、 、 、 、 的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋（2＋22＋…＋250）a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
9．【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】根据绝对值的性质以及算术平方根的概念进行求解.
10．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解
故答案为： .
【分析】方程两边同乘以(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9．
故答案为： ．
【分析】根据科学记数法的含义，表示即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程化为一般形式为： ，
∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得△=b2-4ac=0，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：二次根式 被开方数为
∴
又∵
∴ ，解得
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再结合特殊角三角函数值解答即可.
14．【答案】70°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°，
又∵∠C=55°，
∴∠B=90°-55°=35°，
由圆周角定理得，∠AOD=2∠B=70°，
故答案为：70°.
【分析】根据切线的性质可得∠CAB=90°，利用三角形内角和求出∠B的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOD=2∠B，据此即可得出答案.
15．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ， 是斜边 上的中线，
∴CM=AM=BM= ，
∵ 、 分别为 、 的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵ ，
∴CM=2EF=4，
∴CM= =4，
∴AB=8，
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM= ，三角形的中位线定理得CM=2EF=4，从而求出AB的长.
16．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点，
当 时，a称为不动点，
即 时，方程有两个相等的实数根
∵
∴
由根与系数的关系可知：
将其代入上式中可得
故答案为：1.
【分析】根据函数不动点的定义可得方程有两个相等的实数根，即得方程为 ，根据根与系数的关系可得，将利用配方法变形为，再将代入计算即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方分别进行化简，同时代入特殊角三角函数值，然后进行有理数的加减及合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
19．【答案】解：
.
当 时，原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
20．【答案】（1）解： a=40，b=94，c=99
（2）解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）解：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝720× ＝468人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣ ）×100＝40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b＝ ＝94；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴c＝99；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出b和c的值，根据扇形统计图可求出a的值；（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；（3）利用样本估计总体思想求解可得．
21．【答案】（1）解：∵双曲线 经过点P(2，1)，
∴m＝2×1＝2
（2）解：∵双曲线 与直线y＝kx﹣4(k＜0)有两个不同的交点，
∴ ，
整理得：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝(﹣4)2﹣4k (﹣2)＞0，
∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线的解析式中，即可求出m的值。
（2）将直线的解析式与双曲线的解析式联立，得到关于x的二元一次方程，根据方程拥有两个不同的根，利用求根公式进行计算，得到k的值即可。
22．【答案】（1）证明：∵ 和 是它的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ 切 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（2）证明：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1） 由切线的性质可得，，从而得出AM∥BN，可得∠ADE+∠BCE
=180°，由DC与⊙O相切于点E，根据切线长定理可得，， 从而得出，根据三角形内角和可得即可得出结论；
（2）证明 ，可得，结合OA=OB=AB即得结论.
23．【答案】（1）解：依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得
，解得 ，
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2）解：依题意，设利润为w元，得
w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，
整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出 日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式 ；
（2） 设利润为w元 ，根据每袋的利润乘以日销售数量=每日的总利润，即可建立出W与x的函数关系式，根据所得函数的性质就可解决问题。
24．【答案】解：设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ .8≈19 cm
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】设OE=OB=x，即可表示出OD为190+2x，根据直角三角形的性质得到OC的长度，表示出BC，即可根据∠BAD的正切值得到x，继而求出OB。
25．【答案】（1）解：将点 的坐标为 代入
，
，
∴ 的坐标为 ，
将 ， 代入
，
解得 ， ，
∴抛物线的解析式
（2）解：设 ，
则 ，
，
∴当 时， 有最大值为2
此时 ，
作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于点 .
，
此时 最小，
∵ ，
∴ ，
，
即 的最小值为
（3）解：作 轴于点 ，连接 、 、 、 、 ，
∵抛物线的解析式 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
可知 外接圆的圆心为 ，
∴
设 ，则 ，
或
∴符合题意的点 的坐标： 、
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点B（4，m）代入直线中求出m值，即得B坐标，然后将A、B坐标代入 中，求出b、c值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）设，可得，求出 =，利用二次函数的性质求出线段 的长度最大时 ，作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于点 ，可得 ，此时 最小，利用两点间的距离公式求出此时A'D的长即可；
（3） 作 轴于点 ，连接 、 、 、 、 ，可得外接圆的圆心为 ，可得，设 ，由于QH=2，根据两点间的距离公式可得方程，求出t值即可.
26．【答案】（1）解：设 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：在 上截取 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：若点 在 上，如图，以 原点， 为 轴， 为 建立平面直角坐标系，
∵ ， ，
∴ .
由旋转的性质可得 ， ， ，
∵点 ，点 ，
∴直线 解析式为： ，
设点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∵点 ，
∴ .
∴点 旋转后的对应点 不落在线段 上.
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 （1）设，可得，证明，可得，据此求出a值，即得AP，利用AF=AD-DF求出AF，从而求出 的值；
（2）在CD上截取DH=AF，证明△PAF≌△HDF ，可得PF=FH，再证明△FCM≌△FCH，可得FM=FH，从而得出；
（3）若点 在 上，如图，以 原点， 为 轴， 为 建立平面直角坐标系，由旋转的性质可得 ， ， ，利用待定系数法求出直线 解析式，可求出B'坐标，然后求出B'Q'的长度，再与比较，即可判断结论.
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