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2．2　从函数观点看一元二次方程
最新课程标准 1.理解函数零点的概念． 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点． 学科核心素养 通过二次函数图象会求二次函数的零点及一元二次方程根的相关问题．(数学抽象、数学运算)
教材要点
要点一　二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．
状元随笔　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时实数x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．
要点二　
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点____________ 有一个零点____________ 无零点
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a>0时二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．(　　)
(2)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点，则此二次函数没有零点．(　　)
2．函数y＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上(　　)
A．没有零点 B．有无数个零点
C．有两个零点 D．有一个零点
3．函数y＝x2＋6x＋8的零点是(　　)
A．2，4 B．－2，－4
C．1，2 D．不存在
4．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
题型1　求函数的零点
例1　求下列函数的零点．
(1)y＝2x2－3x－2；
(2)y＝ax2－x－1.
方法归纳
(1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．
(2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
(3)求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤：
①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；
②若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点．
③若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．
跟踪训练1　求下列函数的零点．
(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝－2x2＋4.
题型2　求二次函数的表达式
例2　已知关于x的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件：
①对称轴为x＝1；②y的最大值为15；③ax2＋bx＋c＝0的两根立方和为17.求函数表达式．
方法归纳
二次函数解析式的求法，注意两根式的设法，常见还有一般式，顶点式，要熟练掌握二次函数的相关性质．
跟踪训练2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝时，y的最小值为－，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根之差为7，求此二次函数的解析式．
题型3　二次函数零点与方程的根的转化
例3　已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)的图象与x轴有两个不同的交点．
(1)求m的取值范围；
(2)若二次函数的图象与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3，0)，求出点A的坐标、二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
方法归纳
(1)二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
(2)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法，密切联系其图象是探求解题思路的有效方法．
跟踪训练3　已知二次函数y＝x2－4x＋2k.
(1)若二次函数y＝x2－4x＋2k有零点，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点，求m的值及二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点．
课堂十分钟
1．函数y＝3x2＋x－2的零点为(　　)
A．1，－ B．－1,
C．2，－ D．－2,
2．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，0)，(2，5)两点，则二次函数的解析式为(　　)
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6
3．关于x的一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2则x1＋x2－x1·x2的值为(　　)
A．－5 B．－1
C．1 D．5
4．若二次函数y＝ax2＋2x＋3(a≠0)没有零点，则实数a的取值范围为________．
5.已知二次函数的图象经过点A(－1，6)，B(1，2)，C(2，3)，求该二次函数的解析式．
2．2　从函数观点看一元二次方程
要点一
实数x　横坐标
要点二
x1，2＝　x＝－
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√
2．解析：当x2＋4x＋4＝0时，即(x＋2)2＝0，x＝－2.
∵－2∈[－4，－1]，
∴－2是函数y＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上的一个零点．
答案：D
3．解析：令y＝x2＋6x＋8＝0 (x＋2)(x＋4)＝0，解得x＝－2或－4，所以函数y＝x2＋6x＋8的零点是－2，－4.
答案：B
4．解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为2和－.
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，
当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；
当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2.
②当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1，2＝，
函数有两个零点和.
综上：当a＝0时，函数的零点为－1；
当a＝－时，函数的零点为－2；
当a>－时，函数有两个零点和；
当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．
跟踪训练1　解析：(1)由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＝0，解得二次方程x2－3x＋2＝0的两个实数根分别为x1＝1，x2＝2，
所以二次函数y＝x2－3x＋2的零点分别为1，2.
(2)解得二次方程－2x2＋4＝0的两个实数根分别为x1＝－，x2＝，所以二次函数y＝－2x2＋4的零点分别为－.
例2　解析：根据条件①②设二次函数的表达式为
y＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋a＋15(a<0)．
设方程ax2－2ax＋a＋15＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.
由＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝17，
可得2＝17，解得a＝－6.
∴所求表达式为y＝－6x2＋12x＋9.
跟踪训练2　解析：依题意，设y＝a－(a>0)，即y＝ax2－ax＋a－，设其两个零点为x1，x2，则x1＋x2＝1，x1·x2＝，依题意|x1－x2|＝7，两边平方并化简得(x1＋x2)2－4x1x2＝49，所以12－4＝＝49，解得a＝1.所以二次函数解析式为y＝－.
例3　解析：(1)∵二次函数y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴方程x2－2(m－1)x＋(m2－7)＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝4(m－1)2－4(m2－7)＝－8m＋32>0，
∴m<4.
(2)∵二次函数y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)经过点B(3，0)，
∴9－6(m－1)＋m2－7＝0，m2－6m＋8＝0，
解得m＝2或m＝4.由(1)知m<4，∴m＝2.
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴点A的坐标为(－1，0)．
又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1.
跟踪训练3　解析：(1)由题意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2.
(2)由(1)可知k＝2，
所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2，二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是2，
∴二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点是2，
∴方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2，
∴4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3，
∴x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
所以二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点为4.
[课堂十分钟]
1．解析：解方程3x2＋x－2＝0，得x1＝－1，x2＝，所以－1，是函数y＝3x2＋x－2的零点．
答案：B
2．解析：(1)把点(1，0)，(2，5)代入y＝x2＋bx＋c，
得，解得，
所以这个二次函数的解析式为：y＝x2＋2x－3.
答案：A
3．解析：因为关于x的一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，
则x1＋x2－x1·x2＝3－(－2)＝5.
答案：D
4．解析：由题意，方程ax2＋2x＋3＝0(a≠0)没有实数根，所以Δ＝4－12a<0，所以a>.
答案：
5．解析：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，a≠0，
∵二次函数的图象经过点A(－1，－6)，B(1，－2)，C(2，3)，
∴a－b＋c＝－6，a＋b＋c＝－2，4a＋2b＋c＝3,
解得：a＝1，b＝2，c＝－5，
∴该二次函数的解析式是：y＝x2＋2x－5.

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