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2．3　一元二次不等式
2．3.1　一元二次不等式及其解法
最新课程标准 学科核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象) 2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算) 3．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理)
第1课时　一元二次不等式及其解法(1)
教材要点
要点　一元二次不等式
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
状元随笔　一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(　　)
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)
A． B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1} D．
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．
题型1　不含参数的一元二次不等式的解法
例1　解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；
(2)4x2－4x＋1≤0.
方法归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
5．根据图象写出不等式的解集．
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
跟踪训练1　(1)不等式＜0的解集为(　　)
A．{x|x＜－1或x＞2}　　　B．
C．{x|x＜－2或x＞1} D．
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为(　　)
A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞4}
题型2　利用不等式解集求系数
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2　已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
题型3　解含参数的一元二次不等式
角度1　对判别式“Δ”进行讨论
例3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2　对根的大小进行讨论
例4　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
角度3　对二次项系数进行讨论
例5　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
方法归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练3　解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.
易错辨析　忽视二次项系数致误
例6　若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|0＜x＜3}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－＝－1＋2＝1，＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视a的范围致误，易错选C. 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则＝(　　)
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
5. 已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0.
2．3　一元二次不等式
2．3.1　一元二次不等式及其解法
第1课时　一元二次不等式及其解法(1)
新知初探·课前预习
要点
一个　2
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：原不等式化为(2x＋1)(x－1)>0，所以x<－或x>1.故选A.
答案：A
3．解析：由题意可知a>0，且－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝，解得a＝3.故选C.
答案：C
4．解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
答案：R
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－，x2＝1＋.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是.所以不等式－3x2＋6x－2＞0的解集是.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是.
跟踪训练1　解析：(1)因为<0，
所以对应的方程为(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以不等式<0的解集为，
故选B.
(2)原不等式变为x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．故选A.
答案：(1)B　(2)A
例2　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2跟踪训练2　解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得.
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2例3　解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；
当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为{x|x＜(－a－)，或x＞(－a＋)}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
例4　解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a＜－1＋a，
即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．
例5　解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2，
即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－＜a＜0时，解不等式得2＜x＜－，
即原不等式的解集为；
④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2
即原不等式的解集为.
跟踪训练3　解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
[课堂十分钟]
1．解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2答案：C
2．解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－3，1)，所以即不等式cx2＋bx＋a＞0等价于3x2－2x－1＞0，
解得x<－或x＞1.故选C.
答案：C
3．解析：∵2a＋1<0，∴a<－，∴－a>5a.由x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．故选A.
答案：A
4．解析：由题意知：k2－6k＋8≥0
解得k≥4或k≤2
∴k的取值范围是k≥4或k≤2.
答案：k≤2或k≥4
5．解析：(1)∵y<0的解集为{x|1由韦达定理知：，解得：.
(2)当b＝2时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0，
当a<2时，y>0的解集为{x|x2}；
当a＝2时，y>0的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>2时，y>0的解集为{x|x<2或x>a}．第2课时　一元二次不等式及其解法(2)
教材要点
要点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ________
状元随笔　一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x －p)(x －q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间\”．
要点二　分式不等式的解法
(1)≥0 ________；
(2)>0 ________．
基础自测
1.不等式<0的解集是(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0} D．{x|02．不等式>1的解集为(　　)
A．{x|x<1} B．{x|0C．{x|x>1} D．{x|x>0}
3．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是(　　)
A． B．
C． D．
4．若不等式x2－ax＋1＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
题型1　解分式不等式
例1　解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
方法归纳
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1　(1)不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－6≤x≤1} B．{x|x≥1或x≤－6}
C．{x|－6≤x＜1} D．{x|x＞1或x≤－6}
(2)不等式≤2的解集为________．
题型2　不等式恒成问题
角度1　在R上恒成立问题
例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．{k|－3＜k≤0} B．{k|－3≤k＜0}
C．{k|－3≤k≤0} D．{k|－3＜k＜0}
角度2　在给定范围内的恒成立问题
例3　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
方法归纳
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题．
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
(2)在给定区间上的恒成立问题．
方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
方法二：分离参数，转化为函数的最值问题．
跟踪训练2　(1)设a为常数， x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是(　　)
A．{x|0＜a＜4} B．{x|0≤a＜4}
C．{x|a＞0} D．{x|a＜4}
(2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是________．
题型3　简单的高次不等式的解法
例4　(1)不等式≥0的解集为(　　)
A．(1，2]
C．[－3，1)
(2)不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|－3B．{x|x<－3或1≤x≤2}
C．{x|x＝4或－3D．{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2}
方法归纳
简单高次不等式a(x－b1)(x－b2)…(x－bn)>0的解法：穿线法．
注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿，单独考虑孤立点．
跟踪训练3　(1)不等式x>的解集是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，0)
D．(－∞，－1)
(2)不等式＜0的解集为________．
易错辨析　解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误
例5　不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥－1且x≠1} D．{x|x≥1或x≤－1}
解析：∵(x－1)2≥0，
∴原不等式等价于，
解得x≥－1且x≠1.故选C.
答案：C
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了(x－1)2≠0，只认为(x－1)2≥0，原不等式等价于x＋1≥0，解得x≥－1，错选A. 解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”．
课堂十分钟
1．不等式＞0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－22．已知集合A＝，集合B＝{x|x>0}，则A＝(　　)
A．{x|x≥－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥0} D．{x|x>0}
3．不等式≤1的解集为(　　)
A． B．
C． D．
4．不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－8，0) B．(0，8)
C．(－∞，－8)
5．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)ax2＋bx＋3＞0的解集为R，求b的取值范围．
第2课时　一元二次不等式及其解法(2)
新知初探·课前预习
要点一
{x|xx2}　{x|x1要点二
　f(x)·g(x)>0
[基础自测]
1．解析：不等式<0等价于x(x－2)<0，0则不等式<0的解集是{x|0答案：D
2．解析：依题意>1 －1>0 >0 x(1－x)>0 x(x－1)<0 0答案：B
3．解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，则需满足
答案：B
4．解析：因为不等式x2－ax＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝a2－4<0，解得－2答案：(－2，2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原不等式可化为≤0，
∴
∴，即－3故原不等式的解集为{x|－3(2)原不等式可化为－1>0.
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
跟踪训练1　解析：(1)原不等式变为：≤0 (x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集为{x|－6≤x<1}．故选C.
(2)移项得－2≤0，即≥0，
此不等式等价于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0，
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
答案：(1)C　(2){x|x<2或x≥5}
例2　解析：∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有
解得－3答案：D
例3　解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为.
∴只需m<即可．
∴m的取值范围为.
跟踪训练2　解析：(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意；
②当a≠0时，则有，解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}．故选B.
(2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，
则
解得－答案：(1)B　(2)
例4　解析：(1)由≥0，
解得x≥－6且x≠1，
所以不等式的解集为[－6，1)
(2)∵≤0，
即，即，
当x＝4时不等式成立，又∵(x－4)2≥0恒成立，
不等式，
利用穿针引线画出y＝(x＋3)(x－1)(x－2)的简图如图所示：
解得此不等式的解集为{x|x<－3或1≤x≤2}，
故原不等式的解集为：{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} .
答案：(1)B　(2)D
跟踪训练3　解析：(1)因为x>，所以x－＝>0，
所以x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)>0.
画出示意图如图．
所以解集为(－1，0)故选C.
(2)∵(x－1)2≥0，
所以不等式<0，等价于，即，
解得：－所以不等式的解集为：.
答案：(1)C　(2)
[课堂十分钟]
1．解析：因为>0等价于(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，
即不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}．
答案：B
2．解析：≤0 －2∵A＝{x|－20}，∴A＝{x|x>－2}．
答案：B
3．解析：不等式≤1可化为≤0，
即
解得：x≤或x>2，
故不等式的解集为.
答案：D
4．解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，
∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，
得－8即k∈(－8，0)．
答案：A
5．解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集为{x|－3则(1－a)x2－4x＋6＝0的根为－3，1，
∴＝－3×1，解得a＝3，
(1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>，
即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为；
(2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0为3x2＋bx＋3>0，
∵3x2＋bx＋3>0的解集为R，
∴Δ＝b2－4×3×3<0，
解得－6

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