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3．1　函数
3．1.1　对函数概念的再认识
最新课程标准 学科核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的要素． 4．能求简单函数的定义域． 1.了解函数的有关概念．(数学抽象) 2．会求函数的定义域和简单的值域．(数学运算) 3．会判断函数是否是同一个函数．(数学运算)
教材要点
要点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是两个非空的________，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有________的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数．
三 要 素 对应关系 y＝f(x)，(x∈A，y∈B)
定义域 ________的取值范围
值域 与x∈A对应的函数值组成的集合{f(x)|x∈A}
状元随笔　对函数概念的4点说明：
(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．
(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．
(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．
(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．
要点二　两个函数相等
两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．
状元随笔　由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．
要点三　常见函数的定义域和值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　)
(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)
(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)
(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．(　　)
2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＜1}
4．若f(x)＝x－，则f(3)＝________．
题型1　函数关系的判断
例1　(1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是(　　)
方法归纳
(1)判断所给对应是否为函数的方法
①首先观察两个数集A，B是否非空；
②其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x.
(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1　(1)(多选)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.其中不能构成从M到N的函数的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
(2)图中所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题型2　求函数的定义域
例2　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|－3＜x≤0}
B．{x|－3＜x≤1}
C．{x|x＜－3或－3＜x≤0}
D．{x|x＜－3或－3＜x≤1}
(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．
B．{x|x≥－2}
C．
D．{x|x＞－2}
方法归纳
求给出解析式的函数的定义域的基本步骤
常见函数的定义域
(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；
(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；
(4)函数y＝x0中的x不为0；
(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≤0}
B．
C．
D．
(2)函数y＝的定义域为________．
题型3　两个函数是相等函数的判断
例3　(多选)下列各组函数是相等函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝x·
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝x0与g(x)＝
D．f(x)＝x2－x＋1与g(t)＝t2－t＋1
方法归纳
判断相等函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断相等函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3　下列函数中与函数y＝x2是相等函数的是(　　)
A．u＝v2 B．y＝x·|x|
C．y＝ D．y＝()4
题型4　函数值与函数的值域
例4　(1)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，求：
①f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)；
②g(f(2))，f(g(2))．
(2)求下列函数的值域．
①y＝3－4x，x∈(－1，3]；
②y＝；
③y＝x－.
方法归纳
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
跟踪训练4　(1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
(2)已知函数f(x)＝.
求f(2)；f(f(1))．
易错辨析　忽略参数取值范围致误
例5　若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝的定义域为R，
即mx2－mx＋2＞0恒成立．
当m＝0时，易知成立，
当m≠0时，需满足
∴0＜m＜8，
综上所述，0≤m＜8.
答案：0≤m＜8
易错警示
易错原因 纠错心得
漏掉了m＝0的情况致误， 错误答案：0＜m＜8. 由函数的定义域求参数时，若二项系数含有参数，一定要分情况讨论，否则容易发生错误．
课堂十分钟
1．下列各图中，一定不是函数图象的是(　　)
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
3．下列各组函数中，表示相等函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝，g(x)＝|x|
C．f(x)＝1，g(x)＝x0
D．f(x)＝，g(x)＝
4．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________．
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)若a＞0，求f(a－1)的值．
第三章　函数的概念与性质
3．1　函数
3．1.1　对函数概念的再认识
新知初探·课前预习
要点一
实数集　唯一确定　x
要点三
1．R　R
2．R　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由函数的定义可知D正确．
答案：D
3．解析：要使函数y＝有意义，
则必须∴x>1，
故选C.
答案：C
4．解析：f(3)＝3－＝3－2＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.
(2)A中，函数的值域为{y|0≤y≤2}，不满足条件；B中，函数的值域为{y|0≤y≤2}，不满足条件；C中，在0≤x<2内，一个x有两个y与之对应，不满足条件；D中，每个x都有唯一确定的y与之对应，是函数关系．故选D.
答案：(1)A　(2)D
跟踪训练1　解析：(1)①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故不能构成函数．②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故构成函数．故选ABC.
(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B.
答案：(1)ABC　(2)B
例2　解析：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得x≤1且x≠－3，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠－3}，即{x|x＜－3或－3＜x≤1}．故选D.
(2)要使函数f(x)有意义，
则解得x≥－2且x≠，故选A.
答案：(1)D　(2)A
跟踪训练2　解析：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得x≤0且x≠－，故选C.
(2)∵函数解析式为y＝，
∴x＋3≥0且x≠2，
∴x≥－3且x≠2.
答案：(1)C　(2){x|x≥－3且x≠2}
例3　解析：A中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B中，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x解析式不同；C、D是相等函数．
答案：CD
跟踪训练3　解析：函数y＝x2的定义域为R，对于A项，u＝v2的定义域为R，对应法则与y＝x2一致，则A正确；对于B项，y＝x·|x|的对应法则与y＝x2不一致，则B错误；对于C项，y＝的定义域为{x|x≠0}，则C错误；对于D项，y＝()4的定义域为{x|x≥0}，则D错误；故选A.
答案：A
例4　解析：(1)①f(2)＝2×22＋2＝10；
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20；
g(a)＋g(0)＝；
②g(f(2))＝g(10)＝＝；
f(g(2))＝f＝2×＋2＝.
(2)①因为x∈(－1，3]，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，
所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．
②因为y＝＝＝2－≠2，
所以函数y＝的值域为{y|y≠2}．
③设＝t，则t≥0，x＝，
所以y＝－t＝(－t2－2t＋1)＝－(t＋1)2＋1，
因为t≥0，所以y≤，
所以函数y＝x－的值域为.
跟踪训练4　解析：(1)A中，由x≥0得y＝≥0，∴y＝(x≥0)的值域为[0，＋∞)，A不符合；B中，设＝t，由x>0得t＝>0，由y＝(t>0)的图象知其值域为(0，＋∞)，B符合；C中，由y＝(x≠0)的图象知，y＝的值域为(－∞，0)不符合；D中，y＝x2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．
(2)①f(2)＝＝；
②∵f(1)＝＝；
∴f(f(1))＝f＝＝.
答案：(1)B　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：对于A选项，由图象可知，存在x同时对应两个函数值y，A选项中的图象不是函数图象；对于B选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，B选项中的图象是函数图象；对于C选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，C选项中的图象是函数图象；对于D选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，D选项中的图象是函数图象．故选A.
答案：A
2．解析：要使f(x)有意义，只需满足
即x≤且x≠0.故选D.
答案：D
3．解析：对于选项A：f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A不正确；对于选项B：f(x)＝＝|x|，g(x)＝|x|是相等函数，故B正确；对于选项C：f(x)＝1定义域为R，g(x)＝x0＝1，定义域为{x|x≠0}，定义域不同不是相等函数，故C不正确；对于选项D：f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，定义域不同不是相等函数，故D不正确；故选B.
答案：B
4．解析：由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.
答案：－
5．解析：(1)由，解得x≥－2且x≠－1，
故f(x)的定义域为且；
(2)若a>0，f(a－1)＝＝.

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