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3．1.2　表示函数的方法
最新课程标准 学科核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．理解函数图象的作用． 1.会用解析法、列表法、图象法表示函数．(数学建模) 2．会求函数的解析式．(逻辑推理、数学运算) 3．能作出函数的图象．(直观想象)
教材要点
要点　函数的表示法
表示法 定义
解析法 用________来表示函数的方法
列表法 用________来表示两个变量之间的对应关系的方法
图象法 用________来表示两个变量之间的对应关系的方法
状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示出来．(　　)
(3)任何一个函数都可以用解析法表示出来．(　　)
(4)函数的图象一定是连续不断的曲线．(　　)
2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是(　　)
A．直线 B．射线
C．线段 D．离散的点
3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0)
C．y＝(x＞0) D．y＝(x＞0)
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为______．当g(f(x))＝2时，x＝________．
题型1　函数的表示法
例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求收款y(元)与台数x(台)之间的函数关系，分别用列表法、解析法和图象法表示出来．
方法归纳
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
题型2　函数图象的画法
例2　作出下列函数的图象
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
方法归纳
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
跟踪训练2　作出下列函数的图象．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)
(2)y＝2x2－4x－3，(x∈[0，3))．
题型3　求函数的解析式
角度1　已知函数类型求函数解析式
例3　求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)．
角度2　已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
例4　(1)若f＝，则当x≠0，且x≠1时，函数的解析式f(x)＝________；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________．
角度3　已知式中含f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的式子，求f(x)的解析式
例5　已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，则f(x)＝________．
方法归纳
1．待定系数法求解析式
根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法：
正比例函数 y＝kx，k≠0
反比例函数 y＝，k≠0
一元一次函数 y＝kx＋b，k≠0
一元二次函数 一般式：y＝ax2＋bx＋c，a≠0
顶点式：y＝a(x－h)2＋k，a≠0
两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，a≠0
2.换元法求函数的解析式
已知复合函数f(g(x))的解析式，令t＝g(x)，
当x比较容易解出时，可以解出x换元代入；
当x不容易解出时，可以考虑先构造，
如f＝x2＋＝－2，令t＝x＋，换元代入．
换元法还要注意换元t的范围．
3．解方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x).
跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，则f(x)＝______．
(2)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝________．
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
易错辨析　换元时忽略函数的定义域致误
例6　已知函数f(＋2)＝x＋4＋5，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2＋1　　B．f(x)＝x2＋1(x≥2)
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2)
解析：∵f(＋2)＝x＋4＋5
令＋2＝t≥2，则＝t－2，
∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋5＝t2＋1(t≥2)
∴f(x)＝x2＋1(x≥2)，故选B.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
换元时，令＋2＝t，忽略了t的范围，错选A. 已知函数y＝f(g(x))的解析式，求函数y＝f(x)的解析式时，若函数y＝g(x)的值域不是全体实数，则所求得的函数y＝f(x)的解析式必须带有定义域(即函数y＝g(x)的值域)．
课堂十分钟
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　)
x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20
f(x) 2 3 4 5
A.2 B．3
C．4 D．5
2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函数f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，则x0＝________．
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
3．1.2　表示函数的方法
新知初探·课前预习
要点
解析式　表格　图象
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时的图象为线段．故选C.
答案：C
3．解析：由题意知，×y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)，故选C.
答案：C
4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)列表法：
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
跟踪训练1　解析：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示：
用列表法表示如下：
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
例2　解析：(1)列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．
(2)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
跟踪训练2　解析：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0，1，2}，
所以该函数图象为直线y＝1－x上的孤立点(如图①)．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线(如图②)．
例3　解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以
因为f(0)＝f(4)
所以4a＋b＝0.①
因为图象过点(0，3)，所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝10.
即b2－2ac＝10a2③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
例4　解析：(1)设t＝(t≠0，且t≠1)，则x＝，
∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝(x≠0，且x≠1)．
(2)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2≥0，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：(1)(x≠0且x≠1)　(2)x2－1(x≥1)
例5　解析：用替换式子中的x，
可得f＋2f(x)＝.
于是有
∴消去f得f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)
跟踪训练3　解析：(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)
则[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)
＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b
＝4x2－10x＋4，
所以解得或
∴f(x)＝－2x＋4或f(x)＝2x－1.
(3)用－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
由
消去f(－x)得f(x)＝x－1.
答案：(1)x2－5x＋6　(2)－2x＋4或2x－1　(3)x－1
[课堂十分钟]
1．解析：由图表可知f(11)＝4.故选C.
答案：C
2．解析：设y＝(k≠0)，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.故选C.
答案：C
3．解析：方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1.
∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；
方法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
故选A.
答案：A
4．解析：令t＝2x－1，则x＝，f(t)＝－5＝t－.所以f(x)＝x－.
因为f(x0)＝4，所以x0－＝4，解得x0＝5.
答案：5
5．解析：(1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].

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