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3．2.2　函数的奇偶性
最新课程标准 学科核心素养
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 1.了解函数奇偶性的概念．(数学抽象) 2．会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(逻辑推理) 3．会利用奇、偶函数的图象．(直观想象) 4．能利用函数的奇偶性解决简单问题．(逻辑推理)
教材要点
要点
1．偶函数的概念
如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝________成立，则称F(x)为偶函数．
2．奇函数的概念
如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝________成立，则称F(x)为奇函数．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
状元随笔　奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知f(x)是定义在R上的函数．若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　)
(2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数．(　　)
(3)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.(　　)
(4)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数．(　　)
2．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x|　 B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．不能确定
4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
题型1　函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
方法归纳
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．
跟踪训练1　(1)(多选)下列函数中，是偶函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝x2＋ D．y＝x＋x2
(2)函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题型2　函数奇偶性的图象特征
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已知画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．
(3)根据图象写出使y＝f(x)＜0的x的取值范围．
方法归纳
1．巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
跟踪训练2　设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．
题型3　函数奇偶性的应用
角度1　利用函数的奇偶性求参数
例3　(1)已知函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
方法归纳
已知函数的奇偶性求参数值的三种思路
(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．
(2)一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．
(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．
角度2　利用函数的奇偶性求函数值
例4　(1)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋3，且f(－2)＝10，则函数f(2)的值是________．
方法归纳
利用函数的奇偶性求函数值的方法
已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值．
角度3　利用函数的奇偶性求函数解析式
例5　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝x(x－1)，求f(x)．
方法归纳
利用奇偶性求函数解析式的方法
已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可．具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)将－x代入已知区间上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出对应区间上的f(x)．
角度4　奇偶性与单调性的简单应用
例6　(1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f＜f(－1)＜f(2)
B．f(2)＜f＜f(－1)
C．f(2)＜f(－1)＜f
D．f(－1)＜f＜f(2)
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
方法归纳
利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________．
(3)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________．
(4)已知偶函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x2)－f(x1)]＜0成立，令a＝f(－5)，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是________(用“＞”连接)．
易错辨析　忽视函数的定义域致误
例7　关于函数f(x)＝与h(x)＝的奇偶性，下列说法正确的是(　　)
A．两函数均为偶函数
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
解析：函数f(x)＝的定义域满足即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，而函数h(x)＝的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了C. 根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)判断函数的奇偶性．若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数．
课堂十分钟
1．(多选)下列函数是奇函数的有(　　)
A．y＝x3＋ B．y＝(x＞0)
C．y＝x3＋1 D．y＝
2．函数y＝的图象大致为(　　)
3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)
A．(－1，0)
C．(－∞，－1)
4．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________．
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(x－1)，求函数f(x)的解析式．
抽象函数
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
题型1　抽象函数的定义域
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围．
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围．
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同．
例1　已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x －m)(m＞0)的定义域．
思路分析：由f(x)的定义域为[0，1]可知对应关系f作用的范围为[0，1]，而f(x＋m)＋f(x －m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x＋m，x －m都在[0，1]这个区间内，从而使f(x＋m)＋f(x －m)有意义．
解析：由题意得
∵－m＜m，1－m＜1＋m，而m与1 －m的大小不确定，
∴对m与1－m的大小讨论．
①若m＝1－m，即m＝，则x＝m＝；
②若m＜1－m，即m＜，则m≤x≤1－m；
③若m＞1－m，即m＞，则x∈ .
综上所述，当0＜m≤时，函数g(x)的定义域为{x|m≤x≤1－m}，当m＞时，函数g(x)的定义域为 .
题型2　抽象函数的奇偶性
对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．其解题策略为
(1)要善于对所给的关系式进行赋值．
(2)变形要有目的性，要以“f(－x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形．
例2　函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．
证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，
得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．
即f(－x)＋f(x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
题型3　抽象函数的单调性
判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系．
常见思路：先在所证区间上任取两数x1，x2(x1＜x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．
例3　已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，对定义域内任意的x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
思路分析：(1)利用赋值法证明f(－x) ＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较大小．
解析：(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称．
∵对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
即f(1)＝2f(－1)，即2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，
∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f，
∵x2＞x1＞0，∴＞1，又∵当x＞1时，f(x)＞0，∴f＞0，
即f(x2)－f(x1)＞0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f＝f.
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
则f＞f，
∴f＞f.
3．2.2　函数的奇偶性
新知初探·课前预习
要点
1．F(x)　2.－F(x)　3.原点　y轴
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
故选C.
答案：C
3．解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
故选B.
答案：B
4．解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
答案：(2)(4)　(1)(3)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)函数f(x)＝的定义域为{－1，1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，所以函数f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)关于原点对称．又因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数．
(4)方法一：∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数．
跟踪训练1　解析：(1)由偶函数的定义可知AC是偶函数．故选AC.
(2)函数的定义域为(－∞，0)关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．
综上可知，函数f(x)＝
是奇函数．故选A.
答案：(1)AC　(2)A
例2　解析：(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值范围为(－2，0)
跟踪训练2　解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－2例3　解析：(1)f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.故选B.
(2)由题意f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，∴a＝－.此时f(x)＝为奇函数．
故选C.
答案：(1)B　(2)C
例4　解析：(1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，
由－x代入x得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋2
由题意知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋2，
所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋2＝2.故选D.
(2)令g(x)＝ax3＋bx
∵g(－x)＝a(－x3)＋b(－x)＝－ax3－bx＝－(ax3＋bx)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．∴f(－x)＝g(－x)＋3＝－g(x)＋3，
∵f(－2)＝10，
∴g(2)＝－7，∴f(2)＝g(2)＋3＝－7＋3＝－4.
答案：(1)D　(2)－4
例5　解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
所以f(x)＝.
例6　解析：(1)∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1，∴f(2)故选B.
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)方法一(定义法)　由已知
f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)
方法二(特值法)　由f(x)为奇函数得
f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
(2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又因为f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，
即－＝0，解得b＝0.
(3)令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
则g(x)是定义在R上的奇函数．
从而g(－2)＝－g(2)．
又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10.
∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
解析：(4)∵当x∈[0，＋∞)时都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]<0成立，∴f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增．又f(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图．
由图可知，当自变量与y轴距离越近，则函数值越小，即<|－2|<|－5|，则fc>b.
答案：(1)－1　(2)　0　(3)－26　(4)a>c>b
[课堂十分钟]
1．解析：A中函数的定义域为R，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；B中函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；C中函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；D中函数的定义域为(－∞，0)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．故选AD.
答案：AD
2．解析：函数的定义域为R.由函数的解析式可得：f(－x)＝＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当x＝1时，y＝＝2>0，选项B错误．故选A.
答案：A
3．解析：由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0故选D.
答案：D
4．解析：因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
5．解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x(x＋1)，
又∵f(0)＝0.
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝

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