资源简介

3．2　函数的基本性质
3．2.1　函数的单调性与最值
最新课程标准 学科核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解单调性的作用和实际意义． 1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义．(数学抽象) 2．能用单调性的定义证明函数的单调性．(逻辑推理) 3．会利用函数的单调性求函数的最大(小)值．(数学运算)
教材要点
要点一　函数最大(小)值
设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．
(1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点；
(2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点．
状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
要点二　增函数与减函数的定义
状元随笔　定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1＜x2；
(3)属于同一个单调区间．
要点三　单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间I叫作y＝f(x)的________．
状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)上单调递减．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值是1.(　　)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　)
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．(　　)
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
C． D．
3．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)
D．f(x1)＞f(x2)
4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
　　
题型1　利用图象求函数的单调区间
例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间．
方法归纳
(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
跟踪训练1　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　)
A．(－3，1)
B．(－5，3)
C．(－3，－1)，(1，4)
D．(－5，－3)，(－1，1)
(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是__________，递减区间是__________________．
题型2　函数的单调性判断与证明
例2　用定义证明函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝，判断并用定义证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
题型3　函数单调性的应用
角度1　比较大小
例3　已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数 ，则(　　)
A．f＞f(a2－a＋1) B．f＜f(a2－a＋1)
C．f≥f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1)
状元随笔　利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2　解不等式
例4　f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＞0 B．0＜m＜
C．－1＜m＜3 D．－＜m＜
状元随笔　利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内．
角度3　利用函数的单调性求参数的取值范围
例5　若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(0，1]
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
角度4　求函数的最值
例6　已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
方法归纳
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是(　　)
A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1)
C．f(2)＜f(1)＜f(－1) D．f(1)＜f(－1)＜f(2)
(2)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
(4)已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
易错辨析　忽视函数的定义
例7　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)
A．－3≤a＜0 B．a≤－2
C．a＜0 D．－3≤a≤－2
解析：函数f(x)＝是R上的增函数，则f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)单调递增，故它的对称轴－≥1，即a≤－2，此时f(x)＝(x＞1)也单调递增，所以a＜0，要保证在R上是增函数．还需在x＝1处满足－12－a×1－5≤，即a≥－3.综上所述，－3≤a≤－2.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
只考虑f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)单调递增与f(x)＝(x＞1)单调递增，即 ∴a≤－2，忽视增函数的定义出错． 分段函数如果都能单调递增还需保证断点左侧的值小于或等于右侧的值． 本题中：－12－a×1－5≤.
课堂十分钟
1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
2．函数y＝的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)
C{x∈R|x≠1} D．R
3．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
4．设关于x的函数y＝(k－2)x＋1是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
5．已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
3．2　函数的基本性质
3．2.1　函数的单调性与最值
新知初探·课前预习
要点二
f(x1)f(x2)　增函数　减函数
要点三
单调性　单调区间
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是.
答案：D
3．解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB.
答案：AB
4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，
∴ymax＝2，ymin＝－1.
答案：－1，2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如图．
(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．
跟踪训练1　解析：(1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．
(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝
画出函数图象如图，由图可知函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是：(－∞，－1]，(0，1].递减区间是：[－1，0]，[1，＋∞)．
答案：(1)C　(2)(－∞，－1]，(0，1]　[－1，0]，[1，＋∞)
例2　证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋k·＝(x1－x2)－k·＝(x1－x2)·，
因为00.
当x1，x2∈(0，]时，x1x2－k<0 f(x1)－f(x2)>0，此时函数f(x)为减函数；
当x1，x2∈(，＋∞)时，x1x2－k>0 f(x1)－f(x2)<0，此时函数f(x)为增函数．
综上，函数f(x)＝x＋(k>0)在区间(0，]上为减函数，在区间(，＋∞)上为增函数．
跟踪训练2　解析：f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
证明如下： x1，x2∈(0，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝＝＝，
因为00.
当x>2时>0，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时f(x)单调递减．
当0所以，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
例3　解析：∵a2－a＋1＝＋.又∵函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f.故选C.
答案：C
例4　解析：由题意知解得0故选B.
答案：B
例5　解析：函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1，g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间[2，4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得m的取值范围是(0，1].故选D.
答案：D
例6　解析： x1，x2∈[2，6]，且x1f(x1)－f(x2)＝＝＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减．
因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.
跟踪训练3　解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，所以f(2)(2)因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故选C.
(3)f(x)＝|2x－a|＝，
所以f(x)＝|2x－a|的单调递减区间是，单调递增区间是，
若函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则＝3，解得a＝6.
(4)先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
答案：(1)C　(2)C　(3)6　(4)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
答案：A
3．解析：∵函数y＝在[2，3]上单调递减，
∴当x＝3时，y＝有最小值.
故选D.
答案：D
4．解析：f(x)为R上的增函数，则k－2>0，k>2.
答案：(2，＋∞)
5．解析：∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，
且f(x－2)∴
解得1≤x<，
所以x的取值范围为1≤x<.

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