资源简介

第四章 幂函数、指数函数和对数函数
4．1　实数指数幂和幂函数
最新课程标准 学科核心素养
1.通过对有理数指数幂 (a＞0，且a≠1，m，n为整数，且n＞0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程． 2．掌握指数幂的运算性质． 1.了解根式及其性质．(数学抽象、数学运算) 2．了解分数指数幂的意义．(数学抽象) 3．能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算．(数学运算)
4．1.1　有理数指数幂
教材要点
要点一　根式
1．a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，且n≥2)等于a，即________．则称x是a的n次方根．
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根 的表示符号 a的取值范围
n为奇数 ________ a∈R
n为偶数 ________ ________
3.根式：式子__________叫作根式，n叫作__________，a叫作__________．
状元随笔　(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn ＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．
(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．
要点二　根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)________没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝________．
(3)()n＝________(n∈N*，且n＞1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
　与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时， ＝|a|＝
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
要点三　分数指数幂
分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数 指数幂 规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
性质 0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________
　分数指数幂是根式的一种表示形式，即a＝，分数指数不能随意约分，如(－3)约分后为(－3)＝，而在实数范围内是无意义的．
要点四　有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个．(　　)
(2)当n∈N*时，()n＝－2.(　　)
(3)()n中实数a的取值范围是任意实数．(　　)
(4)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.(　　)
2．下列各式正确的是(　　)
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
3．将根式化为分数指数幂是(　　)
A．a－　　 　B．a C．－a　　 　D．－a
4.的值是________．
题型1　根式的化简与求值
例1　(1)化简＋的结果是(　　)
A．1 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)计算下列各式
① ＋()5；
② ＋()6；
③ ＋.
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1　(1)下列各式正确的是(　　)
A．＝a B．a0＝1
C．＝－4 D．＝－5
(2)计算下列各式：
① ＝________．
② －－＝________．
　根式与分数指数幂的互化
例2　(1)将分数指数幂a－ (a＞0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·)÷(·)＝________．(用分数指数幂表示)
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·.
② (a＞0，b＞0).
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数←分数指数的分母，被开方数(式)的指数←分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
特别提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x) (x＞0) B．＝y(y＜0)
C．＝ (x＞0) D．＝－(x≠0)
题型3　指数幂的化简与求值
例3　(1)化简：
①ab·(－3ab)÷；
②(mn－)8；
③(－)÷.
(2)求值：
①＋2－2×－0.010.5；
②0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|.
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3　(1)计算：(－1.8)0＋·－＋；
(2)化简：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c).
　忽视根式中的变量条件致误
例4　式子a 经过计算可得(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：因为 成立，所以a＜0，所以a＝a＝＝－.
故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视a＜0这一条件，易错选A. 把一个完全平方式从二次根号内开方出来之后，要先加上绝对值号，再根据条件或分类讨论去掉绝对值符号得出最终结果．
课堂十分钟
1．将化为分数指数幂，其形式是(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
2．已知m＜，则化简的结果为(　　)
A． B．－
C． D．－
3．若2＜a＜3，化简＋的结果是(　　)
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
4．计算＝________．
5．计算：0.0001－＋27－－＋－1.5.
第四章　幂函数、指数函数和对数函数
4．1　实数指数幂和幂函数
4．1.1　有理数指数幂
新知初探·课前预习
要点一
1．xn＝a
2.　±　[0，＋∞)
3.　根指数　被开方数
要点二
(1)负数　(2)0　(3)a　(5)a　－a
要点三
0　无意义
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A、B、D错误，故选C.
答案：C
3．解析：＝a－.
答案：A
4．解析：＝＝＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝a＋|1－a|＝故选C.
(2)①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
②原式＝|－2|＋2＝4.
③原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2
答案：(1)C　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)①＝＝π－3.
②－－＝－－＝－－＝.
答案：(1)D　(2)①π－3　②
例2　解析：(1)a－＝＝.
(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.
(3)①a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
②＝＝＝＝a－·
答案：(1).　(2)a　(3)见解析
跟踪训练2　解析：－＝－x (x>0)；＝(y2)＝－y(y<0)；
x－＝(x－3)＝(x>0)；
x－＝ ＝(x≠0).
答案：C
例3　解析：(1)①原式＝×a＋－b＋－＝－9a.
②＝
＝m2n－3
＝.
③(－)÷＝÷
＝a÷a－a÷a
＝a－－a－
＝a－a
＝－a.
(2)①原式＝1＋×－＝1＋－＝；
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
跟踪训练3　解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－.
[课堂十分钟]
1．解析： = === -
答案：B
2．解析：∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C.
答案：C
3．解析：由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.
答案：C
4．解析：＝＝＝.
答案：
5．解析：原式＝－＋－2×＋2×＝0.1－1＋32－－1＋－3
＝10＋9－＋27＝.

展开更多......

收起↑