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4．1.3　幂函数
最新课程标准 学科核心素养
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律． 2．了解幂函数． 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(数学抽象、数学运算) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(直观想象、逻辑推理) 3．能利用幂函数的单调性比较大小．(数学运算)
教材要点
要点一　幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非零实数时， 函数________叫做(α次)幂函数．
要点二　幂运算的基本不等式
对任意的正数r和两正数a>b，有＝ >1，即ar＞br.
对任意的负数r和两正数a>b，有＝<1，即ar要点三　实数次幂函数y＝xα(α≠0)的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非偶 函数 ________
单调性 在R上递增 在________ 上递减， 在________ 上递增 在R上递增 在________ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图象
过定点 ________ ________
　幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1).(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(　　)
2．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(多选)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．f(x)的图象一定经过点(1，1)
D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，则f(9)＝________．
题型1　幂函数的概念
例1　(1)(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x5
C．y＝4x2 D．y＝x
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
跟踪训练1　若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)
A．1　　　　B．－3 C．－1　　　　D．3
(2)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝________．
题型2　幂函数的图象及应用
例2　(1)函数y＝x的图象是(　　)
(2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是________．
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
跟踪训练2　
(1)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，三个值，则相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为(　　)
A．－2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
(2)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
题型3　幂函数的性质及其应用
角度1　比较大小
例3　把，，，按从小到大的顺序排列：____________________________．
角度2　解不等式
例4　已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范围．
方法归纳
1．比较幂的大小的策略
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．
2．利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　(1)下列两个数的大小正确的是(　　)
A．< B．<
C．0.20.6>0.30.6 D．9－>
(2)若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为________．
　忽视幂函数的图象特点致误例5　若函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·是幂函数，且其图象过原点，则m＝________．
解析：因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，应舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．
答案：－3
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了函数图象过原点，没有对所求m值进行检验，致使得到错误答案：0或－3 幂函数的图象过原点，则指数大于0；图象不过原点，则指数小于或等于0.
课堂十分钟
1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为(　　)
A．－1，3 B．－1，1
C．1，3 D．－1，1，3
2．在同一坐标系中，函数f(x)＝ax＋与g(x)＝ax2的图象可能是(　　)
3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝________．
5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式．
4．1.3　幂函数
新知初探·课前预习
要点一
　y＝xα
要点三
{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　偶函数　奇函数　奇函数　(－∞，0)　(0，＋∞)　(0，＋∞)　(0，0)，(1，1) 　(1，1)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：函数y＝＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B.
答案：B
3．解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，
∴＝3α，解得α＝，
∴f(x)＝，∴f(9)＝＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A不符合幂函数的特点，C中系数不是1，BD是幂函数．
故选BD.
(2)由幂函数的定义可知
解得m＝－3或1，n＝.
答案：(1)BD　(2)见解析
跟踪训练1　解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以所以m＝1.
故选A.
(2)设f(x)＝xα(α为常数)，所以＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)由幂函数的图象过点(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因为y＝xα中，0<α＝<1，所以图象在第一象限内上凸，排除C，故选B.
(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，01时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n答案：(1)B　(2)n跟踪训练2　解析：(1)对于函数y＝x－2，y＝x2，y＝x，令x＝4，得到的函数值依次为，16，2.函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x－2.因此相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为2，，－2.故选B.
(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限．
答案：(1)B　(2)四
例3　解析：＝1，>1，<1，<1，∵y＝x为增函数，∴<.综上，<<<.
答案：<<<
例4　解析：①当a＋1>0，且3－2a>0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，∴
解得②当a＋1<0，且3－2a>0时，
(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合题意．可得解得a<－1.
③当a＋1<0且3－2a<0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，
∴不等式组解集为 .
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1)∪.
跟踪训练3　解析：(1)∵函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，又>，∴>，A错；∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又>，∴<，B正确；由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6，C错；9－＝<<，∴9－<，D错．故选B.
(2)∵函数y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，
∴
解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为.
答案：(1)B　(2)
[课堂十分钟]
1．解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1，3.故选C.
答案：C
2．解析：因为当a>0时，f(x)＝ax＋是增函数，与y轴的交点在正半轴上，g(x)＝ax2的开口向上；当a<0时，f(x)＝ax＋是减函数，与y轴的交点在负半轴上，g(x)＝ax2的开口向下；所以只有A中的图象符合，故选A.
答案：A
3．解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b答案：A
4．解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数).
∵函数f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α，
∴α＝，∴f(x)＝，
∴f＝＝.
答案：
5．解析：∵幂函数y＝x3m－9在区间(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1，2.
又y＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数．∴m＝1.
∴f(x)＝x－6.

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