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4．2　指数函数
最新课程标准 学科核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义． 2．理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1.理解指数函数的概念．(数学抽象) 2．会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．掌握不同底数的指数函数、图象间的关系．(逻辑推理、直观想象) 4．能利用指数函数的图象和性质，解决简单的图象问题、比较大小、单调性、奇偶性、值域等相关问题．(逻辑推理、数学运算)
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
教材要点
要点一　指数函数的定义
在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数________(a＞0且a≠1)叫做指数函数．
状元随笔　(1)规定y ＝ax中a＞0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a＞0时，x可以取任何实数；③当a ＝1时，ax ＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y ＝ax中a＞0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
要点二　指数爆炸
(1)当底数a＞1时，指数函数值随自变量的增长而增大，________较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸．
(2)把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u＋T]中，指数函数y＝ax(a＞1)的值从au增长到au＋T，增长率为(au＋T－au)÷au＝aT－1，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长．
要点三　指数衰减
如果底数0基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．(　　)
(2)y＝xx(x＞0)是指数函数．(　　)
(3)y＝ax＋2(a＞0且a≠1)是指数函数．(　　)
(4)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　)
2．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
3．指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为(　　)
A．4　　　　　B．8 C．16　　　　　D．1
4．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________.
题型1　指数函数的概念及应用
例1　(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a＞0且a≠1)
(2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＞0且a≠1
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
跟踪训练1　(1)(多选)下列函数是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝2－x
C．y＝2x＋1 D．y＝ex
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是________．
题型2　指数函数的解析式及应用
例2　(1)若点(a，27)在指数函数y＝()x的图象上，则的值为(　　)
A． B．1
C．2 D．0
(2)指数函数y＝f的图象经过点，那么f(4)f(2)＝(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
方法归纳
求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式．
跟踪训练2　已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________．
题型3　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3　某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2020年年末，森林剩余面积为原来面积的，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的.
(1)求每年砍伐面积的百分比p%；
(2)到2020年年末，该森林已砍伐了多少年？
方法归纳
指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题．
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．
跟踪训练3　某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A．640　　　　B．1 280　　　C．2 560　　　D．5 120
课堂十分钟
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝(　　)
A．不确定 B．0 C．1 D．2
2．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(4)的值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．81
3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(　　)
A．10天 B．15天 C．19天 D．2天
4．若函数y＝－ax(其中a＞0且a≠1)的图象经过点(2，－16)，则a＝________．
5．已知f＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点P.
(1)求a的值；
(2)已知f－3f－4＝0，求x.
4．2　指数函数
4．2.1　指数爆炸和指数衰减
新知初探·课前预习
要点一
　y＝ax
要点二
　底数a
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
3．解析：设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．由题意知，a2＝4，解得a＝2(a>0)，所以f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8.
答案：B
4．解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)
则＝＝，∴a＝5，∴f(x)＝5x.
答案：5x
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由指数函数的定义可知，只有B符合．
(2)由指数函数的定义知解得a＝2.
答案：(1)B　(2)C
跟踪训练1　解析：(1)根据指数函数的定义可知B、D是指数函数，A、C不是．
(2)根据指数函数的定义可知：2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1，故a的取值范围是
答案：(1)BD　(2)
例2　解析：(1)由题意知()a＝27＝33，即＝33，∴＝3，∴a＝6，∴＝.故选A.
(2)设y＝f＝ax(a>0，且a≠1)，
则a－2＝，
所以a＝2，
y＝f＝2x，
所以f(4)f(2)＝64.
答案：(1)A　(2)D
跟踪训练2　解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f＝得＝，
所以a＝3，
所以f(x)＝3x，
所以f(－2)＝3－2＝.
答案：
例3　解析：(1)由题意可得，a(1－p%)10＝a，
解得p%＝1－，
∴每年砍伐面积的百分比p%为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a·(1－p%)m＝a，
∴(1－p%)m＝＝，
由(1)可得，1－p%＝，即＝，∴＝，解得m＝5，
故到2020年年末，该森林已砍伐了5年．
跟踪训练3　解析：设原来的细菌数为a，
由题意可得，在函数y＝10ekt中，
当t＝1时，y＝2a，
∴2a＝10ek即ek＝，
当a＝10时，ek＝2，
∴y＝10ekt＝10·2t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
答案：C
2．解析：由f(x)过点(2，1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确．
答案：C
3．解析：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N＋)，根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
答案：C
4．解析：因为当x＝2时，y＝－16，所以－16＝－a2，解得a＝±4，因为a>0，所以a＝4.
答案： 4
5．解析：(1)由f＝ax的图象经过点P得a2＝4，又∵a>0，所以a＝2.
(2)由(1)得f＝2x，由f－3f－4＝0，
得22x－3×2x－4＝0，解得2x＝4(2x＝－1<0舍去)
由2x＝4解得x＝2.

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