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4．2.2　指数函数的图象与性质
第1课时　指数函数的图象与性质(1)
教材要点
要点　指数函数的图象与性质
表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1)
图象
定义域 R
值域 ________
性质 函数的图象过点________，即a0＝1
是R上的________ 是R上的________
状元随笔　底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a ＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数的图象都在y轴上方．(　　)
(2)因为a0＝1(a＞0且a≠1)，所以函数y＝ax恒过(0，1)点．(　　)
(3)若指数函数y＝mx是减函数，则0＜m＜1.(　　)
(4)函数y＝3x的图象在函数y＝2x图象的上方．(　　)
2．函数y＝2－x的图象是(　　)
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
4．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点，则定点坐标为________．
题型1　指数型函数的定义域和值域
例1　求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
方法归纳
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a＞0且a≠1)：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；
(2)求函数y＝af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af(x)的值域；
(3)求函数y＝f(ax)的定义域，需先确定y＝f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得y＝f(ax)的定义域；
(4)求函数y＝f(ax)的值域，需先利用函数u＝ax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y＝f(u)的值域，即为y＝f(ax)的值域．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－3，0] B．(－3，1]
C．(－∞，－3)
(2)函数f(x)＝的值域是________．
题型2　指数函数的图象
角度1　图象过定点
例2　已知函数f(x)＝a2x－1＋2(a为常数，且a＞0，a≠1)，无论a取何值，函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(0，1)　　　B．(1，2) C．(1，3)　　　D．
方法归纳
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a＞0，a≠1)的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
角度2　指数函数的底与其图象的关系
例3　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A.a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
方法归纳
设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
角度3　有关指数函数图象的识别
例4　二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可以是(　　)
方法归纳
识别与指数函数图象有关问题应把握三点：
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a＞1或0＜a＜1；
(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数．
跟踪训练2　(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是(　　)
(3)设函数f(x)＝3ax＋1－1(a＞0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________．
题型3　指数函数图象的综合应用
例5　若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围．
方法归纳
数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想，对于不易求解的方程解的个数问题，常构造函数，转化为函数图象的交点问题来解决．
跟踪训练3　若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
易错辨析　换元法求函数的值域时，忽略新元的取值范围致误例6　求函数f(x)＝＋＋1的值域．
解析：令＝t＞0，
则原函数可化为f(t)＝t2＋t＋1＝＋，
因为f(t)＝＋在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)＞1，即函数f(x)的值域是(1，＋∞)．
易错警示
易错原因 纠错心得
换元时，t＝＞0，而不是t∈R，若误认为t∈R，则有f(x)∈. 求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，最后转化为f(t)的值域．
课堂十分钟
1．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1，5) B．(－1，4)
C．(0，4) D．(4，0)
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　)
A．t≤－1 B．t＜－1
C．t≤－3 D．t≥－3
3．函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　)
4．函数y＝的定义域为________．
5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
4．2.2　指数函数的图象与性质
第1课时　指数函数的图象与性质(1)
新知初探·课前预习
要点
　(0，＋∞)　(0，1)　增函数　减函数
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：y＝2－x＝是(－∞，＋∞)上的单调递减函数．
答案：B
3．解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
答案：A
4．解析：令x－2＝0，即x＝2时，y＝1，∴函数y＝ax－2的图象恒过定点(2，1)．
答案：(2，1)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)要使函数有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝的定义域为{x|x≠4}．因为≠0，所以≠1，即函数y＝的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)要使函数有意义，则x2－2x≥0，
∴x≤0或x≥2，
∴函数的定义域为{x|x≤0或x≥2}，
由于≥30＝1，即y≥1，
∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1，
∴函数的定义域为{x|x≠1}，
由于＝＝1＋≠1，
≠2且>0，即y>0且y≠2.
∴函数的值域为(0，2)
跟踪训练1　解析：(1)由题意知解得－3(2)令t＝|x＋1|，则t≥0，∴0<≤1，故函数f(x)＝的值域是(0，1].
答案：(1)A　(2)(0，1]
例2　解析：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，1)，所以2x－1＝0，即x＝，此时y＝3.所以函数f(x)＝a2x－1＋2恒过定点.
答案：D
例3　解析：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1，0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1答案：B
例4　解析：根据指数函数的解析式为y＝可得>0，∴－<0，故二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴直线x＝－位于y轴的左侧，排除A，C选项，对于选项B，由二次函数图象可得a<0，且函数图象与x轴交点的横坐标－<－1，∴>1，则指数函数应该单调递增，故B不正确．故选D.
答案：D
跟踪训练2　解析：(1)由于0(2)需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0(3)令x＋1＝0，即x＝－1时，此时f(－1)＝2.∴m＝－1，n＝2，∴m＋n＝－1＋2＝1.
答案：(1)C　(2)B　(3)1
例5　解析：作出y＝2a和y＝|ax－1|的图象．当0当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图②所示．
由已知，得0<2a<1，所以01矛盾．综上可知，0跟踪训练3　解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可知：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案：[－1，1]
[课堂十分钟]
1．解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1，5)．
答案：A
2．解析：由指数函数的性质，可得函数g(x)＝3x＋t恒过点坐标为(0，1＋t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，∴1＋t≤0，解得t≤－1.
答案：A
3．解析：∵a>0，∴>0，∴函数y＝ax需向下平移个单位，不过(0，1)点，所以排除A，当a>1时，∴0<<1，所以排除B，当01，所以排除C.
答案：D
4．解析：由题意，函数y＝有意义，则满足10x－0.1≥0，即10x≥0.1，解得x≥－1，
所以函数的定义域为.
答案：
5．解析：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，
所以f(2)＝a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，
因为函数在[0，＋∞)上是减函数，
所以当x＝0时，函数取最大值2，
故f(x)∈(0，2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，3]
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3].第2课时　指数函数的图象与性质(2)
教材要点
要点一　比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用__________的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．
要点二　解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝ax的________求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
要点三　指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax(a＞0且a≠1)的最小值为0.(　　)
(2)y＝21－x是R上的增函数．(　　)
(3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.(　　)
(4)由于y＝ax(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．(　　)
2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
3．下列判断正确的是(　　)
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
4．函数y＝2|x|的单调递减区间是________．
题型1　指数函数单调性的应用
角度1　比较大小
例1　(1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是(　　)
A．1.52.5＜1.53.2 B．0.6－1.2＞0.6－1.5
C．1.50.3＞0.81.2 D．0.30.4＜0.20.5
(2)比较下列各值的大小：.
方法归纳
比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较．角度2　解简单的指数不等式
例2　(1)不等式3x－2＞1的解集为________．
(2)若ax＋1＞(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
方法归纳
解与指数相关的不等式的策略
底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．
跟踪训练1　(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
(2)解不等式≤3.
题型2　与指数函数有关的复合函数的单调性
例3　(1)函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
(2)求函数y＝的单调区间．
方法归纳
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝，判断函数f(x)的单调性．
题型3　指数函数性质的综合应用
例4　已知函数f(x)＝1－(2b－6＜x＜b)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数；
(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．
方法归纳
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)＞0.
易错辨析　忽视对指数函数的底数分类讨论致误
例5　若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　　)
A．　　　　B． C．或2　　　D．或
解析：当a＞1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，
故有a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
当0＜a＜1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，
故有a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上，a＝或a＝.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视对底数a分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论，误认为最大值为a2，最小值为a，由a2－a＝，解得a＝，漏掉了另一种情况致误． 由于指数函数的单调性，根据底数与1的大小关系判断，因此涉及含参数的指数函数单调性问题时要根据底数与1的大小关系分类讨论．
课堂十分钟
1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
2．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为(　　)
A． B．或
C． D．或
4．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________．
5．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．
第2课时　指数函数的图象与性质(2)
新知初探·课前预习
要点一
(1)指数函数　(2)指数函数图象　(3)中间值
要点二
(1)单调性　(2)以a为底的指数幂　单调性
要点三
(1)相同　(2)相同　相反
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.
答案：D
3．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
4．解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中，函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正确；B中，函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正确；C中，由指数函数的性质，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y＝0.3x，y＝0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.4>0.20.5，D不正确．故选BD.
(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：；②大于1的数：；③大于0且小于1的数：. 也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=，y= 的图象，再分别取x=，x=，比较对应函数值的大小，如图) .
答案：(1)BD　
例2　解析：(1)3x－2＞1 3x－2＞30 x－2＞0 x＞2，所以解集为(2，＋∞)．
(2)因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)因为函数y＝x0.1在上为增函数，则a＝20.1>0.30.1＝c，
指数函数y＝0.3x为R上的减函数，则b＝0.33<0.30.1＝c.
因此，b(2)＝≤3，∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
答案：(1)C　(2)见解析
例3　解析：(1)设u＝，则y＝3u，对任意的0u2.
又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝在(0，＋∞)上是减函数．
对任意的x1u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝在(－∞，0)上是减函数．所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．故选D.
(2)设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)；
当0答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练2　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴y＝在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
例4　解析：(1)函数f(x)＝1－(2b－6＜x＜b)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)恒成立，即1－＝－1＋，
整理得(a－2)(3x＋1)＝0，
所以a＝2，
因为2b－6＋b＝0，解得b＝2，
所以a＝2，b＝2.
(2)证明：由(1)得f(x)＝1－，x∈(－2，2)，
设任意取x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝＝，
因为x1＜x2，所以，所以＞0，
而＋1＞0，
所以>0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数．
(3)f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，所以f(m－2)＞－f(2m＋1)，
因为函数f(x)是奇函数，所以f(m－2)＞f(－2m－1)，
因为函数f(x)是区间(－2，2)上的减函数，
所以，解得0＜m＜，
所以实数m的取值范围是.
跟踪训练3　解析：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．
令g(x)＝＝，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数．
(3)证明：当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)恒有f(x)>0.
[课堂十分钟]
1．解析：因为40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.
答案：C
2．解析：因为f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，
答案：D
3．解析：函数f(x)＝ax在上：
当0当a>1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝；
综上，有m＝或m＝.
答案：D
4．解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．
答案：{x|x<1}
5．解析：(1)函数y＝的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝
在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
(2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域为.

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