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4．3　对数函数
最新课程标准 学科核心素养
1.理解对数的概念． 2．理解对数的性质． 1.理解对数的概念．(数学抽象) 2．掌握指数与对数的互化、简单求值．(数学运算)
4.3.1　对数的概念
教材要点
要点一　对数的概念
1．定义：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么________叫作以________为底，________的对数，记作b＝logaN.
2．相关概念
底数与真数
其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．
状元随笔　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
要点二　对数与指数间的关系
当a＞0，且a≠1时，ab＝N b＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
状元随笔　
要点三　对数的性质
性质1 ________没有对数
性质2 1的对数是________，即loga1＝__(a＞0，且a≠1)
性质3 底的对数是______，即logaa＝______(a＞0，且a≠1)
要点四　对数的基本恒等式
alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；
b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)
(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.(　　)
(3)因为3x＝81，所以log813＝x.(　　)
(4)log32＝log23.(　　)
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
3．若log8x＝－，则x的值为(　　)
A． B．4
C．2 D．
4．3log32＋log21＝________．
　对数的概念
例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　)
A．(－∞，3] B．(3，4)
C．(4，＋∞) D．(3，4)
(2)将下列指数式、对数式互化．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④＝6.
方法归纳
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1　(1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是(　　)
A．30＝1与log31＝0
B．log39＝2与＝3
＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
(2)对数式log(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．
　对数的计算
例2　求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)logx27＝.
方法归纳
(1)logaN＝x与ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．
(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
跟踪训练2　求下列各式中x的值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
　对数的性质及对数恒等式的应用
例3　(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；
(2)计算：＋102＋lg 2＋eln 3.
方法归纳
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log\”后再求解．
2．利用对数恒等式求解的方法
首先利用指数运算性质变形，变形为alogab的形式，再利用对数恒等式计算求值．
跟踪训练3　(1)＝(　　)
A． B．
C． D．2
(2)计算：log3[log3(log28)]＝________．
易错辨析　忽视对数的底数致误
例4　使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．
C．(0，1)
解析：使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足
解得0＜a＜.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了底数a的范围致误，易错选D. 对数式中只要底数和真数都含有参数，都需要考虑，否则致错．
课堂十分钟
1．若a＞0，且a≠1，c＞0，则将ab＝c化为对数式为(　　)
　A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b
2．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　)
A．3 B．±3 C．9 D．2
3．在log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
4．式子＋的值为________．
5．求下列各式中x的值：
(1)若log3＝1，求x的值；
(2)若log2 021(x2－1)＝0，求x的值．
4．3　对数函数
4．3.1　对数的概念
新知初探·课前预习
要点一
1．b　a　(正)数N
2．a　N
要点三
零和负数　0　0　1　1　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由对数的定义可知logaM＝2.
答案：B
3．解析：由对数与指数的互化可得：x＝＝＝.
答案：A
4．解析：原式＝2＋0＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由对数的定义可知
解得x>3且x≠4.
故选B.
(2)①由54＝625得log5625＝4.
②由log216＝4得24＝16.
③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
④由＝6得()6＝125.
跟踪训练1　解析：(1)对于A，30＝1可化为0＝log31，所以A中互化正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B中互化不正确；对于C，8－＝可化为log8 ＝－，所以C中互化正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D中互化正确．故选ACD.
(2)由题意得解得∴x>1且x≠2.
答案：(1)ACD　(2)(1，2)∪(2，＋∞)
例2　解析：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
跟踪训练2　解析：(1)∵log2x＝，∴x＝，∴x＝.
(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
例3　解析：(1)∵log2[log4(log3x)]＝0＝log21，
∴log4(log3x)＝1.
又log4(log3x)＝log44＝1，
∴log3x＝4，
∴x＝34＝81.
(2)原式＝5·＋102·10lg 2＋eln 3
＝5×3＋102×2＋3
＝218.
答案：(1)81　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)＝2－1·＝×＝.
(2)log3[log3(log28)]＝log3[log3(log223)]＝log3(log33)＝log31＝0.
答案：(1)A　(2)0
[课堂十分钟]
1．解析：由对数的定义直接可得logac＝b.
答案：B
2．解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.
答案：A
3．解析：由m－1>0得m>1.
答案：D
4．解析：由对数性质知，＝5，＝0，故原式＝5.
答案：5
5．解析：(1)∵log3＝1，∴＝3，
∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵log2 021(x2－1)＝0，
∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.

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