资源简介

4．3.2　对数的运算法则
最新课程标准 1.理解对数运算性质． 2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 学科核心素养 1.会推导对数运算性质并进行化简求值．(数学运算) 2．了解换底公式及其推导并进行化简求值．(数学运算)
第1课时　对数的运算法则(1)
教材要点
要点　对数的运算法则
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝________________，
(2)loga＝________________，
(3)logaMn＝____________(n∈R)．
状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3) ＋log2(－5)是错误的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．(　　)
(3)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(4)loga(xy)＝logax＋logay.(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．(　　)
2．计算：lg 2＋lg 5＝(　　)
A．1　　　　B．2 C．5　　　　D．10
3．log618＋2log6的结果是(　　)
A．－2 B．2
C． D．log62
－＝________．
题型1　对数式的化简
例1　用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga； (2)logax3y5；
(3)loga； (4)loga.
方法归纳
运用对数运算法则进行对数式的化简，要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
跟踪训练1　请用lg x, lg y, lg z，lg (x＋y), lg (x－y)表示下列各式．
(1)lg (x2－y2)；
(2)lg .
题型2　对数式的求值
角度1　对数运算法则的正用
例2　计算：
(1)；
(2)log2.
方法归纳
选择适当的对数运算法则求值，注意掌握一些对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
角度2　对数运算法则的综合应用
例3　计算下列各式的值．
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
(2)；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
方法归纳
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，
lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
角度3　带有附加条件的对数式求值
例4　(1)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，则lg ＝________．
(2)已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝________．
方法归纳
先将条件或结论适当变形，再准确应用对数运算公式及有关性质解题．
跟踪训练2　(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　)
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
－lg 0.01＋ln e3等于(　　)
A．14 B．0
C．1 D．6
(3)·(lg 32－lg 2)＝________．
(4)lg 2－lg ＋3lg 5－log32·log49＝________．
易错辨析　忽视对数的限制条件
例5　若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则的值为________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，∴(x－y)(x－4y)＝0.
解得x＝y或x＝4y.
∴＝1或＝4.
由已知得x＞0，y＞0，x－2y＞0.
当＝1时，x－2y＜0，此时lg (x－2y)无意义，舍去．
当＝4时，代入已知条件，符合题意，综上＝4.
答案：4
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易错地方是忽视对数的限制条件，尤其x－2y＞0这一条件，得出错误答案1或4. 在对数的定义中，要求真数大于0，底数大于0且不等于1.在解题时不能漏掉任何一个条件．
课堂十分钟
1．log5＋log53等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．log5
2．log36－log32＝(　　)
A． B．1
C．log34 D．log312
3．若10a＝5，10b＝2，则a＋b等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．lg ＋lg 的值是________．
5．计算：
(1)(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(2)log2732·log6427＋log92·log4.
4．3.2　对数的运算法则
第1课时　对数的运算法则(1)
新知初探·课前预习
要点
(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案：A
3．解析：原式＝log618＋log62＝log636＝2.故选B.
答案：B
4．解析：－＝＝＝＝log33＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1) (1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)logax3y5＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay；
(3)loga＝loga－loga(yz)＝logax－(logay+logaz )＝logax－logay－logaz；
(4)loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.
跟踪训练1　解析：(1)lg (x2－y2)＝＝lg (x－y)＋lg (x＋y).
(2)lg ＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．
例2　解析：(1)lg＝lg 100＝；
(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝14＋5＝19.
例3　解析：(1)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
例4　解析：(1) lg ＝lg 45＝lg
＝ (lg 9＋lg 10－lg 2)＝ (2lg 3＋1－lg 2)
＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
(2)∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.
答案：(1)0.826 6　(2)log320
跟踪训练2　解析：(1)lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.故选B.
(2)3log34－－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg ＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.故选B.
(3)原式＝×lg ＝·lg 24＝4.
(4)原式＝lg 2＋2lg 2＋3lg 5－log32·log23＝3lg 2＋3lg 5－1＝3(lg 2＋lg 5)－1＝3lg 10－1＝3－1＝2.
答案：(1)B　(2)B　(3)4　(4)2
[课堂十分钟]
1．解析：因为＋log53＝log5()＝log51＝0.
答案：A
2．解析： log36－log32＝log3＝log33＝1.
答案：B
3．解析：由已知得a＝lg 5，b＝lg 2，
故a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C.
答案：C
4．解析：lg ＋lg ＝lg＝lg 10＝1.
答案：1
5．解析：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)log2732·log6427＋log92·log4
＝·＋·
＝＋＝＋
＝＋＝.第2课时　对数的运算法则(2)
教材要点
要点一　常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且把logeN 记为ln N .
要点二　对数换底公式
logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)．
特别地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．
状元随笔　对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba ＝1，即 ＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .
＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
基础自测
1. 计算：log927＝(　　)
A．2 B．4
C．3 D．
2．log63·log9 6＝(　　)
A． B．3
C．2 D．
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，则用a，b表示log75等于(　　)
A．a＋b B．a－b
C． D．
4．计算：log59·log8125＝________．
题型1　利用换底公式直接求值
例1　计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
(2).
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
(3)要注意公式的逆用，如＝log93 ＝.
跟踪训练1　求值：
(1)
(2)(log23＋log43)(log32＋log274)
题型2　利用换底公式条件求值
例2　设3x＝4y＝36，求的值．
方法归纳
与对数有关的条件求值，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
跟踪训练2　已知2x＝3y＝a，＝2，求a的值．
　对数运算在实际问题中的应用
例3　一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价值降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)
方法归纳
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
跟踪训练3　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(　　)
附：lg 2≈0.301 0
A．20% B．23%
C．28% D．50%
课堂十分钟
1．计算log225·log52＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知log212＝m，，则log312＝(　　)
A． B．
C． D．
3．若2a＝10，b＝log510，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．log35log46log57log68log79＝________．
5．设α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的两根，求logα β＋logβ α的值．
第2课时　对数的运算法则(2)
新知初探·课前预习
要点二
1
[基础自测]
1．解析：log927＝＝＝，故选D.
答案：D
2．解析：log63·log96＝log63·＝log63·＝，故选D.
答案：D
3．解析：log75＝＝，故选D.
答案：D
4．解析：根据换底公式，原式等价于×＝×＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝log32＝log32＝＋＝.
(2)原式＝×＝log×log9＝log32×log29＝log32×3log23＝－.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2.
(2)原式＝(log23＋log23)×()
＝log23×log32＝log23×log32＝.
例2　解析：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
利用换底公式可得，
＝＝＝log363，
＝＝＝log364，
＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
跟踪训练2　解析：由2x＝3y＝a，得x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2.
∴a2＝6，解得a＝±，又∵a>0，∴a＝.
例3　解析：设经过x年，这台机器的价值为8万元，则
8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
两边取以10为底的对数，
得x＝＝＝≈10.
所以约经过10年这台机器的价值为8万元．
跟踪训练3　解析：将信噪比从1 000提升至5 000时，
C增加比率为
＝≈
＝≈0.23＝23%.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：log225·log52＝log252·log5＝2××log25×log52＝3.
答案：A
2．解析：因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以log312＝＝＝＝，故选B.
答案：B
3．解析：∵2a＝10，∴a＝log210，
又b＝log510，
∴＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选A.
答案：A
4．解析：log35log46log57log68log79＝. =
＝＝3
答案：3
5．解析：由题意lg α，lg β是关于lg x的一元二次方程lg2x－lg x－3＝0的两根，根据韦达定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3，
所以logα β＋logβ α＝＋＝＝＝－.

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