资源简介

第2课时　对数函数的图象与性质(2)
教材要点
要点一　y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围，即函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据________法则判定．(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
要点二　logaf(x)＜logag(x)型不等式的解法
(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)
(2)y＝在(0，＋∞)上为增函数．(　　)
(3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．(　　)
(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1).(　　)
2．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为(　　)
A．(－∞，3) B．(－，3)
C． D．
3．若a＝lg 11，b＝lg 9，c＝lg ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
4．函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是________．
　对数函数单调性的应用
角度1　比较大小
例1　(多选)下列各组的大小关系正确的是(　　)
　　　　B．log1.51.6＞log1.51.4
C．log0.57＜log0.67 D．log3π＞log20.8
方法归纳
比较对数值大小时常用的三种方法
角度2　解简单的对数不等式
例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练1　(1)已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
(2)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________.
　对数型函数的单调性
例3　函数y＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________．
变式探究　将本例改为“函数y＝在区间(－∞，]上是增函数”，求实数a的取值范围．
方法归纳
形如y ＝loga f(x)的函数的单调性判断，首先要确保f(x)＞0.
当a＞1时，y ＝loga f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y ＝f(x)的单调性一致．
当0＜a＜1时，y ＝loga f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y ＝f(x)的单调性相反．
跟踪训练2　(1)函数y＝的单调增区间为________.
(2)已知函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a的取值范围是________．
　对数函数性质的综合应用
例4　已知奇函数f(x)＝ln .
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)当x∈[2，5]时，ln (1＋x)＞m＋ln (x－1)恒成立，求实数m的取值范围．
方法归纳
以对数函数为载体，考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等，这类问题综合性较强，明确各知识点与所求目标之间的联系，做好等价转化是解决问题的关键．解题中需注意运用常见方法和规避常见错误．
(1)定义域：研究此类综合性问题，首先要弄清函数的定义域，即遵循“定义域\”优先原则，在对数函数综合性问题的求解中尤其重要．
(2)单调性：复合函数单调性的核心是同增异减．
(3)奇偶性：难点在于对数式的化简与变形．
(4)值域：常采用换元法求解，注意新元的取值范围．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．
易错辨析　忽略对数函数大于0致误
例5　若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：设g(x)＝x2－ax＋1，要使f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，
则即得a≤
故实数a的取值范围是(－∞，].
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略对数的真数大于0这一隐含条件，从而漏掉g(2)≥0致误． 求解含参数的对数函数有关的复合函数问题时，参数不但要结合复合函数的单调性列出取值范围，还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件．
课堂十分钟
1．设a＝log2，b＝log3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
2．函数f(x)＝(2－x)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
3．不等式的解集为(　　)
A．(－∞，3) B．
C． D．
4．已知f(x)＝ln 是奇函数，则m＝________．
5．已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0且a≠1)．
(1)若a＞1，解不等式f(x)＜0.
(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
第2课时　对数函数的图象与性质(2)
新知初探·课前预习
要点一
同增异减
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵函数y＝log2x是增函数，
∴
解得答案：D
3．解析：∵函数y＝lg x是增函数，且11>9>，
∴lg 11>lg 9>lg，即a>b>c.
答案：C
4．解析：由2－x>0得，x<2，
所以函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是(－∞，2).
答案：(－∞，2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：A中，因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67log31＝0，log20.8log20.8，D正确．
答案：BD
例2　解析：(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)，得解得x＞1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
答案：(1)(1，＋∞)　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)∵a＝2－∈(0，1)，b＝log2<0，c＝log>1，∴b(2)当a>1时，loga<0<1成立，当01.
答案：(1)C　(2)∪(1，＋∞)
例3　解析：由题意知x2＋4x－12>0，
依据二次函数t＝x2＋4x－12的图象可得x>2或x<－6.
且t＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
又∵y＝logt是(0，＋∞)上的减函数，
所以函数的单调递增区间是(－∞，－6)，单调递减区间是(2，＋∞).
答案：(－∞，－6)　(2，＋∞)
变式探究　解析：令g(x)＝x2－ax＋a，由于y＝f(x)＝logg(x)在区间(－∞，]上是增函数，故g(x)应在区间(－∞，]上是减函数，且g(x)>0故有即解得2≤a<2＋2，
故实数a的取值范围是[2，2＋2).
跟踪训练2　解析：(1)由1－x2>0，得－1令t＝1－x2，x∈(－1，1)，
当x∈(0，1)时，y＝log(1－x2)单调递增，
故y＝log(1－x2)的单调增区间为(0，1).
(2)若函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a<0且ax－1>0在(－2，－1)上恒成立，
即a<在(－2，－1)上恒成立，
所以a≤－1，故a的取值范围是(－∞，－1].
答案：(1)(0，1)　(2)(－∞，－1]
例4　解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即ln ＝－ln .
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln ＝ln .
∵1∴x2－x1>0，>1，
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(3)由已知得m由(2)知f(x)＝ln 在[2，5]上为减函数．
∴f(x)在[2，5]上的最小值为f(5)＝ln .
于是m即实数m的取值范围为.
跟踪训练3　解析：(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0[课堂十分钟]
1．解析：∵a＝＝log23－1，b＝＝log34－1且2＝log24>log23>log34>log33＝1，则1>a>b>0，c＝log34>1.∴a，b，c的大小关系是c>a>b.
答案：B
2．解析：由2－x>0，得到x<2，令t＝2－x，则t＝2－x在(－∞，2)上递减，而y＝在(0，＋∞)上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x)＝在(－∞，2)上递增．
答案：A
3．解析：因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以,解得答案：D
4．解析：∵f(－x)＝ln ＝ln，－f(x)＝－＝，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln＝，∴m＝－1.
答案：－1
5．解析：(1)因为a>1，loga(1－ax)<0，所以loga(1－ax)所以0<1－ax<1，所以－1<－ax<0，
解得0所以a>1时，不等式的解集为.
(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，
而t＝1－ax在区间(0，2]上单调递减，
所以00.
再由，解得0则实数a的取值范围为.4．3.3　对数函数的图象与性质
最新课程标准 1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 2．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0且a≠1)． 学科核心素养 1. 了解对数函数的概念．(数学抽象) 2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理) 3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )
第1课时　对数函数的图象与性质(1)
教材要点
要点一　对数函数的概念
对数运算y＝____________________确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数．
状元随笔　(1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a＞0，且a≠1.
(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a＞0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
要点二　反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
要点三　对数函数的图象与性质
表达式 y＝logax(a＞1) y＝logax(0＜a＜1)
图象
性质 定义域________
值域R
过点________，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝log2x2是对数函数．(　　)
(2)对数函数y＝log5x与y＝的图象关于y轴对称．(　　)
(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　)
(4)函数y＝ax与函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称．(　　)
　
2．(多选)若函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可能是(　　)
A．0.3 B．
C． D．π
3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
4．函数y＝loga(x－3)－2的图象过的定点是________．
　对数函数的图象问题
角度1　图象过定点问题
例1　已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
方法归纳
解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．
角度2　对数函数的底与图象变化的关系
例2　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.
方法归纳
当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
角度3　图象的识别问题
例3　函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　)
方法归纳
(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．
(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．
跟踪训练1　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)
(2)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)函数y＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．
题型2　对数型函数的定义域
例4　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝＋lg (x＋2)．
方法归纳
求函数的定义域，首先要分析自变量x的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．
跟踪训练2　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．　　　　　B．[1，＋∞)
C． D．(－∞，1)
(2)函数y＝loga(x－1)＋loga(1＋x)的定义域为________．
　对数型函数的值域与最值问题
例5　求函数f(x)＝，x∈的值域．
方法归纳
(1)利用对数运算性质化为关于log2x的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．
(2)求形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y＝logau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)两个函数；③由定义域求u的取值范围；④利用函数y＝logau(a＞0且a≠1)的单调性求值域．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
易错辨析　忽视对底数的讨论致误
例6　若函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
综上可知a＝2或a＝.
答案：2或
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1的情况，漏掉了0＜a＜1的情况． 底数的范围不同决定了对数函数的单调性不同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．
课堂十分钟
1．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[－2，0] B．(－2，0)
C．(－2，0] D．(－2，＋∞)
3．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象大致为(　　)
4．若函数y＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f(1)＝________．
5．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值．
4．3.3　对数函数的图象与性质
第1课时　对数函数的图象与性质(1)
新知初探·课前预习
要点一
logax(x>0，a>0且a≠1)
要点三
(0，＋∞)　(1，0)　增函数　减函数
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由图象可知函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以0答案：AB
3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>，故选C.
答案：C
4．解析：因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝loga(x－3)－2过定点(4，－2).
答案：(4，－2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝－＝2－＝.
答案：
例2　解析：由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
答案：b>a>1>d>c
例3　解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.
答案：A
跟踪训练1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)已知图中曲线是对数函数y＝logax的图象，
由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，
由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.
(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.
答案：(1)C　(2)A　(3)
例4　解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).
(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).
跟踪训练2　解析：(1)由题意得即故函数的定义域为[1，＋∞).
(2)由题意知　解得x>1，
∴函数y＝loga(x－1)＋loga(1＋x)的定义域为(1，＋∞).
答案：(1)B　(2)(1，＋∞)
例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－.
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，y有最大值，且ymax＝；当t＝2时，y有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
跟踪训练3　解析：(1)由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]
＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
[课堂十分钟]
1．解析：f(x)＝loga(x＋2)(0所以必过第二、三、四象限．
答案：BCD
2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].
答案：C
3．解析：在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0答案：B
4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.
解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，
∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.
答案：0
5．解析：∵a>1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．
∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).
∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝，即loga2＝.∴a＝4.

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