资源简介

4．4　函数与方程
最新课程标准 学科核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数零点及方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 3．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的实际意义． 1.了解函数零点存在定理．(数学抽象) 2．能利用函数零点存在定理判断零点所在区间．(逻辑推理) 3．能利用二分法求方程的近似解．(数学抽象) 4．会建立函数模型解决实际问题，并能对不同的函数模型进行选择、比较，用最恰当的函数模型解决实际问题．(数学建模、数学运算)
4.4.1　方程的根与函数的零点
教材要点
要点一　方程的根与函数零点的关系
状元随笔　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
要点二　函数零点的判定
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)＜0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根．
状元随笔　定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)
(4)函数y＝2x－1的零点是.(　　)
2．函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的一个区间是(　　)
A．(0，1)　　B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
　　　
题型1　求函数的零点
例1　(1)函数f(x)＝的零点是(　　)
A．　　 　B．1 C．和1　　　D．0和1
(2)如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，2　　　B．0， C．0，－　　　D．2，－
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x－的零点是________．
(2)函数f(x)＝2x＋x－1的零点为________．
题型2　函数零点的个数问题
角度1　判断函数零点的个数
例2　函数f(x)＝ln x－的零点个数是(　　)
A．0　　　　　B．1 C．2　　　　　D．3
方法归纳
判断函数零点的个数的方法主要有：
(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．
(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．
角度2　由函数零点求参数的取值范围
例3　已知函数f(x)＝ ,若方程f(x)－m＝0有4个不相同的解，则实数m取值范围为(　　)
A．(0，1]　　　B．[0，1) C．(0，1)　　　D．[0，1]
方法归纳
已知函数零点个数求参数范围的常用方法
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝－x3－2在区间(－1，0)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题型3　函数零点所在的区间问题
角度1　确定零点所在区间
例4　函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
角度2　由函数零点所在区间求参数范围
例5　若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________________.
方法归纳
根据零点存在性定理及函数性质列出不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围．
跟踪训练3　(1)在下列区间中，函数f(x)＝－log2x的零点所在区间为(　　)
A． B．(1，2)
C．(3，4) D．(4，5)
(2)已知函数f(x)＝ln x－m的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是________．
易错辨析　忽视零点存在性定理的条件致误
例6　(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的有(　　)
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
解析：由题知f(0)·f(1)＜0，所以根据函数零点存在性定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．故选ABD.
答案：ABD
易错警示
易错原因 纠错心得
易忽略零点存在性定理的条件：函数在闭区间上是连续不断的一条曲线． 端点函数值异号，只是一个条件，还要注意零点存在性定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上是连续不断的一条曲线．
课堂十分钟
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
2．函数f(x)＝x3＋3x－2的零点所在区间为(　　)
A． B．
C． D．
3．(多选)已知函数,若函数g(x)＝f(x)－m恰有3个零点，则m的取值可能为(　　)
A． B．1
C．2 D．
4．函数f(x)＝零点的个数为________．
5．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
4．4　函数与方程
4．4.1　方程的根与函数的零点
新知初探·课前预习
要点一
交点的横坐标　零点
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)的一个零点区间为(1，2).
答案：B
3．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
答案：D
4．解析：由得
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.
答案：－，－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)当x≤1时，由2x －2＝0得x＝1；
当x＞1时，由2＋log2x＝0得x＝(舍去)所以函数f(x)的零点是1.
故选B.
(2)由题意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).由g(x)＝0得x＝0或x＝－，故函数g(x)的零点是0，－.
故选C.
答案：(1)B　(2)C
跟踪训练1　
解析：(1)令f(x)＝x－＝0，得x＝±1.∴函数f(x)＝x－的零点是±1.
(2)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋1的图象，如图所示，由图可知函数f(x)的零点为0.
答案：(1)±1　(2)0
例2　解析：(1)由f(x)＝ln x－＝0得ln x＝，在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2.
答案：C
例3　解析：画出函数f(x)的图象，如图所示：
若方程f(x)－m＝0有4个不相同的解，
则y＝m和f(x)的图象有4个不同的交点，
结合图象，0＜m≤1.
答案：A
跟踪训练2　解析：(1)因为函数f(x)＝－x3－2为减函数，又f(－1)＝－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1.
(2)∵f(x)＝24ax2＋4x－1，
∴f(0)＝－1≠0，x＝0不是函数的零点．
∴当x≠0时，由f(x)＝24ax2＋4x－1＝0.
得a＝＝－·
＝－.
令t＝，则t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
令g(t)＝(t－2)2－，
则g(－1)＝，g(1)＝－，g(2)＝－.
函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点 函数y＝a的图象与函数y＝g(t)，t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象有且只有一个交点，
由图可知，a∈∪.
答案：(1)B　(2)B
例4　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线，
且f(1)＝－1＜0，f＝ln ＞0，
由零点存在性定理可知，函数f(x)在上存在零点．
答案：C
例5　解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．
由图可知
即
解得－12答案：(－12, 0)
跟踪训练3　解析：(1)因为函数f(x)＝－log2x是减函数．又f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－2<0，根据零点存在性定理得到函数f(x)在区间(3，4)上存在零点．
(2)令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1).
答案：(1)C　(2)(0，1)
[课堂十分钟]
1．解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.故选B.
答案：B
2．解析：函数f(x)＝x3＋3x－2是连续函数且单调递增，
∵f()＝＋－2＝－＜0，
f ()＝＋－2＝＞0
∴f() f ()＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在区间)上．
故选C.
答案：C
3．解析：g(x)恰好有3个零点，
等价于f(x)＝m有三个不等实根，如图，
作出y＝f(x)的图象，可得当＜m≤2时，
f(x)的图象与y＝m有三个交点．
故选BC.
答案：BC
4．解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3.
x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，
∵f(1)f(e3)＜0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．
答案：2
5．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.

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