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4．4.2　计算函数零点的二分法
教材要点
要点一　二分法
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆，如图所示．工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试，如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法．
要点二　用二分法求函数零点近似值的一般操作方法
设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a，b] D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0；
(2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)；
(3)如果|m－a|＜ε , 则取m为f(x)的零点近似值，计算终止；
(4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止；
(5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)．
状元随笔　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用二分法可求所有函数零点的近似值．(　　)
(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　)
(3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．(　　)
(4)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间．(　　)
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)
3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.9 B．0.7
C．0.5 D．0.4
4．已知函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为________．
题型1　二分法的概念应用
例1　(1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
方法归纳
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练1　(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2
题型2　用二分法求函数零点的近似值
例2　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
方法归纳
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
跟踪训练2　根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是(　　)
f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1．109 375 f(1.625)≈0．416 015 63 f(1.562 5)≈0．127 197 27
A.1.75 B．1.625
C．0.127 197 26 D．1.562 5
题型3　用二分法求方程的近似解
例3　用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
方法归纳
用二分法求方程的近似解的方法
对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
跟踪训练3　用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x 1.600 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f(x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
易错辨析　精确度理解不正确致误
例4　用二分法求方程x2－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)．
解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，所以函数f(x)在区间(2.2，2.4)内有零点，设为x0.取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29＞0，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2，2.3)．
再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5＞0，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．
因为|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的一个近似正解可取为2.25.
易错警示
易错原因 纠错心得
误认为精确度是|f(a)－f(b)|＜ε，导致错误． 利用二分法求方程的近似解时，要随时检验区间(a，b)的长度与精确度ε的关系，一旦有|a－b|＜ε，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．
课堂十分钟
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
3．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间是________.
5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
4．4.2　计算函数零点的二分法
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|＜0.1.
故选B.
答案：B
4．解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2，3)内．
答案：(2，3)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
故选B.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．
答案：(1)B　(2)(1，2)
跟踪训练1　解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.
答案：ACD
例2　解析：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，
因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)，
如此继续下去，如下表：
区间 中点值 中点函数近似值
(1，1.5) 1.25 －0.30
(1.25，1.5) 1.375 0.22
(1.25，1.375) 1.312 5 －0.05
(1.312 5，1.375) 1.343 75 0.08
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 －0.02
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
跟踪训练2　解析：因为f(1.5)＝－0.125＜0.f(1.562 5)≈0.127 197 27＞0，f(x)在(1，2)上是连续的，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，所以区间[1.5，1.562 5]中的任意一个值都可作为函数f(x)在区间(1，2)上零点的近似值．故选D.
答案：D
例3　解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33＞0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37＜0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035＜0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1，2)内的近似解可取为1.375.
跟踪训练3　解析：由题中图表可知f(x)＝3x－x－4的零点在1.556 2和1.562 5之间，方程3x－x－4＝0的近似解在1.556 2和1.562 5之间，由题意知近似解要精确到0.01，所以方程3x－x－3＝0的近似解为1.56.
答案：1.56
[课堂十分钟]
1．解析：用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同．
故选C.
答案：C
2．解析：因为f(－1)＝2－1－3＝－<0，
f(0)＝20－3＝－2<0，
f(1)＝2－3＝－1<0，
f(2)＝22－3＝1>0，
f(3)＝23－3＝5>0，
又因为f(1)·f(2)<0，
所以f(x)＝2x－3的零点x0∈(1，2)．
故选C.
答案：C
3．解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
故选B.
答案：B
4．解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2，3)．
答案：(2，3)
5．解析：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.187 5.

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