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4．5　函数模型及其应用
最新课程标准 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义． 3．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的实际意义． 学科核心素养 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(直观想象) 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学抽象) 3．了解拟合函数模型过程并能灵活应用解决实际问题．(数学抽象、逻辑推理) 4．会建立函数模型解决实际问题，并能对不同的函数模型进行选择、比较，用最恰当的函数模型解决实际问题．(数学建模、数学运算)
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
教材要点
要点　三种函数增长快慢的比较
函数 性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性 ________ ________ ________
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的 变化 随x的增大逐渐 表现为与y轴平行 随x的增大逐渐 表现为与x轴平行 随n值变化 而各有不同
值得比较 存在一个x0，当x＞x0时，有________
状元随笔　(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m＞0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝的衰减速度越来越慢．(　　)
(2)函数y＝lg x的增长速度越来越快．(　　)
(3)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)
(4)对任意x∈(0，＋∞)，总有2x＞x2.(　　)
2．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为(　　)
x －2 －1 0 1 2
y 1 4 16
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
4．函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________．
题型1　几种函数模型增长的差异
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2021x B．y＝x2021
C．y＝2021x D．y＝log2021x
(2)已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2
方法归纳
几类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．
跟踪训练1　四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
题型2　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较例2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2021)，g(2021)的大小．
方法归纳
比较函数增长快慢的方法：(1)利用指数函数、幂函数、对数函数不同的增长特点比较函数增长的快慢；(2)借助函数图象，通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢；(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
题型3　函数模型的选择
例3　为践行“绿水青山就是金山银山\”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等)，对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2，四月底浮萍覆盖面积为80 m2，八月底浮萍覆盖面积为.若浮萍覆盖面积y(单位：m2)与月份x(2020年1月底记x＝1，2021年1月底记x＝13)的关系有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mlog2x＋n(m＞0)可供选择．
(1)你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；
(2)利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2？(可能用到的数据log215≈3.9，≈1.37，≈66.72)
方法归纳
指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用，可根据增长得快慢特征选择、建立函数模型，再利用指数、对数运算解决问题，已经给出函数模型的，则直接代入相应的数据计算解决．
跟踪训练3　某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t(天) 60 100 180
种植成本Q(元/100 kg) 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，回答下列问题：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100 kg.)
课堂十分钟
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝100 B．y＝100x
C．y＝1.01x D．y＝log2x
2.
能反映如图所示的曲线的增长趋势的是(　　)
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
3．能使不等式log2x＜x2＜2x一定成立的x的取值区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(4，＋∞)
4．下列选项是四种生意预期的效益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50.
5．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上年增加9%.
你觉得哪个方案较好？
4．5　函数模型及其应用
4．5.1　几种函数增长快慢的比较
新知初探·课前预习
要点
增函数　增函数　增函数　ax>xn>logax
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：根据函数值的变化，随着x的变化，函数值呈现爆炸型增长．因此只有指数函数模型符合．
答案：C
3．解析：观察三类函数的图象可知(图略).
答案：A
4．解析：作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得．
答案：y＝x2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)指数函数y＝ax在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．故选A.
(2)从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．故选B.
答案：(1)A　(2)B
跟踪训练1　解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终在前面的物体具有的函数关系是f4(x)＝2x.
答案：D
例2　解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，x≥0，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10).
所以1由图象知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(8)所以f(2 021)>g(2 021)>g(8)>f(8).
跟踪训练2　解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，
C2对应的函数为f(x)＝ln x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x).
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
例3　解析：(1)若选择数据(2，45)和(4，80)，
由，解得则y＝35log2x＋10，
当x＝8时，y＝35log28＋10＝115，与实际情况相符，
由，解得则y＝×，
当x＝8时，y＝×＝>115，与实际情况差别比较大，
故选函数模型y＝35log2x＋10；
(2)因为35log215＋10≈35×3.9＋10＝146.5，
35log216＋10＝150，而146.5＜148＜150，
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.
跟踪训练3　解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at2＋bt＋c，且开口向上．
(1)函数图象的对称轴方程为t＝＝120.
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.
(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，
得解得
所以最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120(－2.4)＋224＝80(元/100 kg).
答案：(1)120　(2)80
[课堂十分钟]
1．解析：因为1.01>1，所以函数y＝1.01x是增函数，所以y＝1.01x增长速度最快．
答案：C
2．解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．
答案：C
3．解析：作出y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略).由图象可知，当x>4时，log2x答案：D
4．解析：结合三类函数的增长差异可知指数增长最快，所以①的预期收益最大．
答案：①
5．解析：方案一　5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米).
方案二　5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米).
因为15.386>15，所以方案二较好．

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