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5．1.2　弧度制
教材要点
要点一　度量角的两种单位制
角度制 定义 用________作单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以________为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 ________
状元随笔　正确理解弧度与角度的概念
区别 (1)定义不同； (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位
联系 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
要点二　弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个________．
(2)负角：负角的弧度数是一个________．
(3)零角：零角的弧度数是________．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
要点三　角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ 2π rad＝________
180°＝________ π rad＝________
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ °≈57.3°
度数×＝弧度数 弧度数×＝度数
状元随笔　对角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
要点四　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝________．
(2)扇形面积公式：S＝lr＝α·r2.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　)
(2)用弧度来表示的角都是正角．(　　)
(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　)
(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30 cm.(　　)
2．(多选)下列各种说法中，正确的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角
D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
3．将864°化为弧度为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．π
4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
　　　
题型1　角度与弧度的互化
例1　(1)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是(　　)
A．－6π－ B．－6π＋
C．－8π－ D．－8π＋
(2)把－化成角度是(　　)
A．18°　　　B．－18° C．36°　　　D．－36°
方法归纳
进行角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
跟踪训练1　(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
题型2　用弧度制表示角
例2　已知角α＝2 005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
方法归纳
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
跟踪训练2　(1)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是(　　)
A． B．
C． D．
(2)用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
题型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
例3　(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
(3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
方法归纳
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法
(1)将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是[0，2π)；
(2)利用α，l，r，S四个量“知二求二”代入公式．
跟踪训练3　(1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.
易错辨析　混用角度与弧度致误
例4　下列与的终边相同的角的表示正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
故选C.
答案：C
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了角的度量，单位的一致性，易错选B. 在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达要规范，即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用．
课堂十分钟
1．1 920°的角化为弧度数为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
4．已知弧长为π的弧所对圆心角为60°，则这条弧所在圆的半径为________．
5．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角．
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
5．1.2　弧度制
新知初探·课前预习
要点一
度　弧度　半径长　rad
要点二
(1)正数　(2)负数　(3)0　
要点三
2π rad　360°　π rad　180°　
要点四
α·r　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关．
故选ABC.
答案：ABC
3．解析：864°＝864×＝.
故选C.
答案：C
4．解析：∵216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，
∴r＝25.
答案：25
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)－1 125°＝－3×2π－＝－4×2π＋＝－8π＋.
故选D.
(2)－＝－×°＝－36°.
故选D.
答案：(1)D　(2)D
跟踪训练1　解析：30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
例2　解析：(1)∵2 005°＝2 005× rad＝ rad＝rad，又∵π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.
跟踪训练2　解析：(1)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0～2π范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：，.因此终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝∪＝＝.故选D.
(2)对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图②，同理可得，所求集合为
{α}∪
{α}＝
{α}．
答案：(1)D　(2)见解析
例3　解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有
联立①②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad).∴θ＝ rad.
(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2.
∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αr＝×20＝8π(cm).
∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2).
(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当r＝10时，扇形的面积最大．
这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.
跟踪训练3　解析：(1)设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6.
则解得α＝3，
即扇形的圆心角为3 rad.
故选C.
(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2，
因为120°＝120× rad＝(rad)，
所以l＝αr＝×＝(cm).
所以S＝lr＝××＝π(cm2).
答案：(1)C　(2)π
[课堂十分钟]
1．解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝rad.
故选D.
答案：D
2．解析：∵1 rad＝()°，∴α＝－2 rad＝－()°≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．
故选C.
答案：C
3．解析：由题可得该弧的弧长l＝3×4＝12.
故选D.
答案：D
4．解析：由弧长公式l＝|α|·r，可得半径r＝＝＝3.
答案：3
5．解析：(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又<<π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，
所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.

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