资源简介

5．2　任意角的三角函数
最新课程标准 学科核心素养
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x． 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象) 2．理解并掌握同角三角函数的基本关系式．(数学抽象) 3．能利用三角函数的定义，同角三角函数关系进行相关运算．(数学运算) 4．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式，并会化简、求值与证明．(直观想象、数学运算)
5.2.1　任意角三角函数的定义
第1课时　用比值定义三角函数
教材要点
要点一　任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，其中r＝.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．
状元随笔　角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．
要点二　三角函数的定义域
正弦函数y＝sin α，定义域为________；
余弦函数y＝cos α，定义域为________；
正切函数y＝tan α，定义域为________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积．(　　)
(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．(　　)
(3)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　)
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　)
2．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－ B．－ C． D．
3．若角θ的终边经过点P，则tan θ＝(　　)
A． B．－ C．－1 D．－
4．如果角α的终边经过点P(－1，)，则cos α＝________．
题型1　单位圆法求三角函数值
例1　(1)角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
(2)利用定义求的正弦、余弦和正切值．
方法归纳
1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．
2．若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
跟踪训练1　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α.
题型2　坐标法求三角函数值
例2　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
方法归纳
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练2　已知角α的终边上一点P(1，m)，且sin α＝，则m＝(　　)
A．± B．
C．－ D．
题型3　三角函数概念的综合应用
例3　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
方法归纳
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟踪训练3　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
易错辨析　忽略题目中的隐含条件致误
例4　已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)且cos α＝－，则m的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．±
解析：∵点P到原点的距离r＝，
∴cos α＝＝－，
即＝，且m＞0，解得m＝.
故选A.
答案：A
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视m＞0这一条件，易错选D. 在解这类问题时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α所在象限或参数的值．
课堂十分钟
1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan α的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
2．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P(－3，4)，则cos θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于(　　)
A． B．－
C．－ D．－
4．已知角α的终边在射线y＝－x(x≤0)上，则cos α＝________．
5．已知角θ的终边上一点P(－，m)，且sin θ＝m.求cos θ与tan θ.
5．2　任意角的三角函数
5．2.1　任意角三角函数的定义
第1课时　用比值定义三角函数
新知初探·课前预习
要点一
　　　
要点二
R　R　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y＝－.
故选B.
答案：B
3．解析：角θ的终边经过点P(－)，则tan θ＝＝－1，
故选C.
答案：C
4．解析：∵角α的终边经过点P(－1，)，∴|OP|＝＝2，∴cos α＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝，cos α＝，
所以cos α＋sin α＝＋＝.
(2)如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点B，
在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，
则|PB|＝，|OB|＝，
则P
所以sin ＝，cos ＝－
tan ＝－.
答案：(1)　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)由三角函数的定义sin α＝，cos β＝－，
所以sin αcos β＝×＝－.
故选B.
(2)由题意，设点A的坐标为，
所以x2＋＝1，解得x＝或－.
当x＝时，tan α＝＝；
当x＝－时，tan α＝＝－.
答案：(1)B　(2)见解析
例2　解析：r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述：当a>0时，2sin α＋cos α＝1；当a<0时，2sin α＋cos α＝－1.
跟踪训练2　解析：角α的终边上一点P(1，m)，
所以r＝|OP|＝，
所以sin α＝＝>0，
解得m＝.
故选B.
答案：B
例3　解析：由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
跟踪训练3　解析：因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0时，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝－，tan α＝＝.
[课堂十分钟]
1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝＝－.
故选A.
答案：A
2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x轴非负半轴重合，
角θ的终边经过点P(－3，4)，则cos θ＝＝－，
故选A.
答案：A
3．解析：∵x＝2sin 30°＝1，y＝－2cos 30°＝－，
∴r＝＝2，∴sin α＝＝－.
故选C.
答案：C
4．解析：在角α的终边y＝－x(x≤0)上任取一点(－1，1)，
则cos α＝＝－.
答案：－
5．解析：由题意得sin θ＝＝m，
若m＝0，则cos θ＝－1，tan θ＝0.
若m≠0，则m＝±.
当m＝时，cos θ＝－，tan θ＝－；
当m＝－时，cos θ＝－，tan θ＝.第2课时　用有向线段表示三角函数
教材要点
要点一　三角函数线
1．如图，设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.
由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代表了sin α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦线．同理有向线段OD称为角α的余弦线．
2．如图，过点A(1，0)作单位圆的切线x＝1，如果tan α存在，设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1，y1)，则tan α＝AT，称AT为角α的正切线．
要点二　三角函数值在各象限的符号
状元随笔　对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．因为从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．所以根据三角函数定义知：
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)角α的正弦线的长度等于sin α.(　　)
(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．(　　)
(3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.(　　)
(4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．(　　)
2．角和角有相同的(　　)
A．正弦线　　B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
3．若sin α＜0，tan α＞0，则α在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．
题型1　三角函数线的作法
例1　作出π的正弦线、余弦线和正切线．
方法归纳
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)即向量，，分别为角的正弦线，余弦线和正切线．
跟踪训练1　作出－的正弦线、余弦线和正切线．
题型2　利用三角函数线解三角不等式
例2　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
方法归纳
1．用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
跟踪训练2　求y＝lg (1－cos x)的定义域．
题型3　三角函数值在各个象限的符号
角度1　三角函数值符号的判断
例3　判断下列各式的符号．
(1)sin 155°cos (－200°)；(2).
方法归纳
求三角函数值或相关式子的符号的步骤
角度2　由三角函数值的符号判断角所在象限
例4　若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法归纳
由三角函数值的符号判断角所在象限的方法
根据三角函数值的符号逆推出角所在的象限(或坐标轴)，当已知该角的两个三角函数值时应取其所在象限的交集．
跟踪训练3　角x的终边在第三象限，则下列各式中符号为正的是(　　)
A．sin x＋cos x B．cos x－tan x
C．tan x·sin x D．tan x－sin x
易错辨析　判断三角函数值符号时忽略轴线角致误例5　已知角α的终边过点P(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：方法一　∵cos α≤0，
∴α的终边在第二或第三象限内，或y轴上，或x轴的非正半轴上．
∵sin α＞0，∴α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上．
∴点P在第二象限或y轴的非负半轴上．
∴∴－2＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(－2，3].
方法二　由三角函数的定义可知，cos α＝≤0，
sin α＝＞0，
∴∴－2＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(－2，3].
答案：(－2，3]
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了角α的终边落在y轴的非负半轴上，导致得到错误答案(－2，3)． 由三角函数值的符号确定参数的取值范围时，要注意“等号”(轴线角)问题，掌握三角函数的定义是解决该问题的关键．如角α的终边过点(x，y)，则sin α＞0 y＞0 α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上．
课堂十分钟
1．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[]
C．[] D．[，π]
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若角α的终边过点(－5，－3)，则(　　)
A．sin αtan α＞0 B．cos αtan α＞0
C．sin αcos α＞0 D．sin αcos α＜0
4．当α为第二象限角时，的值是________．
5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；
(2)cos α＝－.
第2课时　用有向线段表示三角函数
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．
答案：C
3．解析：若sin α<0，则α是终边落在第三、四象限或y轴非正半轴上的角．若tan α>0，则α是终边落在第一或三象限的角，故α在第三象限内．
答案：C
4．解析：∵α为第三象限角，
∴sin α<0，cos α<0，
∴P(sin α，cos α)位于第三象限．
答案：三
题型探究·课堂解透
例1　解析：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sinπ＝，cosπ＝，tanπ＝， 即π的正弦线为 ，余弦线为，正切线为.
跟踪训练1　解析：如图所示，所以角－π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
例2　解析：(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为.
跟踪训练2　解析：如图所示，因为1－cos x＞0，所以cos x＜，所以2kπ＋＜x＜2kπ＋ (k∈Z)，所以函数定义域为(2kπ＋) (k∈Z).
例3　解析：(1)∵155°是第二象限角，∴sin 155°>0.
∵－200°＝－360°＋160°，∴－200°是第二象限角，∴cos (－200°)<0.
∴sin 155°cos (－200°)<0.
(2)∵2∈，3∈，4∈，6∈，
∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴>0.
例4　解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
答案：C
跟踪训练3　解析：由于角x的终边在第三象限，那么有sin x<0，cos x<0，tan x>0，所以sin x＋cos x<0，cos x－tan x<0，tan x·sin x<0，tan x－sin x>0.故选D.
答案：D
[课堂十分钟]
1．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是[,].
答案：B
2．解析：因为点P在第三象限，
所以tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．
故选B.
答案：B
3．解析：∵角α的终边过点(－5，－3)，
∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，
∴sin αcos α>0
故选C.
答案：C
4．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴＝－＝2.
答案：2
5．解析：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．

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