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5．2.2　同角三角函数的基本关系
教材要点
要点　同角三角函数的基本关系式
状元随笔　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)关系式的逆用及变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)
(2)对任意角α，sinα＝cos α·tan α都成立．(　　)
(3)sin2＋cos2＝1.(　　)
(4)对任意的角α，都有tanα＝成立．(　　)
2．若α为第二象限角，且sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．－
3．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是(　　)
A．－　　　B． C．　 　D．－
4．已知tan α＝－，则的值是________．
题型1　利用同角三角函数的基本关系求值
角度1　已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例1　(1)已知sinα＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
方法归纳
在使用开平方关系sin α＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限．
角度2　利用弦化切求值
例2　已知tanα＝2，求下列各式的值．
(1)；(2)4sin2α－3sinαcos α＋1.
方法归纳
所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就是把所求式子用tan α表示，再求式子的值．
角度3　与sin θ±cos θ，sin θcos θ有关的求值．
例3　已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，求：
(1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.
方法归纳
此类问题求值时，若涉及开方，要注意利用角的范围确定三角函数值的符号．如该题易忽略角θ的取值范围得sin θ－cos θ＝±，实际上，结合0＜θ＜π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号．
跟踪训练1　(1)已知＝，则tan θ的值为(　　)
A．－4 B．－
C． D．4
(2)已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜π，则sin θ－cos θ＝________．
题型2　利用同角三角函数关系化简
例4　化简：
(1)；
(2).
方法归纳
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
跟踪训练2　(1)化简：；
(2)化简：sin2αtanα＋2sin αcos α＋.
题型3　利用同角三角函数关系证明
例5　求证：＝ .
方法归纳
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练3　求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
易错辨析　忽略题目隐含范围致错
例6　已知sinθ＝，cos θ＝，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是(　　)
A．a∈ B．a＝1
C．a＝1或a＝ D．a＝
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴＋＝1，
解得a＝1或a＝，
当a＝1时，sinθ＝0，θ不是第二象限角，舍去；
当a＝时，sin θ＞0，cos θ＜0，符合题意．
∴a＝.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了sin θ＞0，cos θ＜0这一条件确定a的范围，或者利用平方关系解出a值后，未检验致错，易错选C. 利用同角三角函数基本关系求参数时，要注意检验．
课堂十分钟
1．已知sin α＝，α∈，则tan α的值为(　　)
A．－　　　B．　　　C．－2　　　D．2
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．已知sinθ＋cos θ＝(0＜θ＜)，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
4．若tan x＝2，则cos2x－2sinx cos x＝________．
5．化简：·.
5．2.2　同角三角函数的基本关系
新知初探·课前预习
要点
sin2α＋cos2α＝1　tanα＝
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.
故选A.
答案：A
3．解析：∵α∈(π，)，∴sinα<0.由tan α＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.
故选A.
答案：A
4．解析：＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
又∵α是第三象限角，∴cosα<0，
即cos α＝－，∴tan α＝＝－×＝.
(2)∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝＝＝，
tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－＝－＝－，
tanα＝＝.
例2　解析：(1)原式＝＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sinαcos α＋1
＝＋1
＝＋1
＝＋1＝3.
例3　解析：(1)∵sinθ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
即1＋2sin θcos θ＝，∴sin θ·cos θ＝－.
(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知sin θcos θ＝－，
∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.
跟踪训练1　解析：(1)＝＝，解得tan θ＝－4.
故选A.
(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
∵0<θ<π且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝.
答案：(1)A　(2)
例4　解析：(1)－＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
跟踪训练2　解析：
(1)原式＝
＝＝＝1.
(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·
＝＝
＝.
例5　证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴原式成立．
跟踪训练3　证明：左边＝tan2α－sin2α＝－sin2α
＝＝
＝sin2α·＝tan2α·sin2α＝右边
∴原式成立．
[课堂十分钟]
1．解析：因为sinα＝，α∈()，
所以cos α＝－＝－，
则tanα＝＝－.
故选A.
答案：A
2．解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
故选B.
答案：B
3．解析：∵已知sinθ＋cos θ＝ (0＜θ＜)，
∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝.
故sin θ－cos θ＝－＝－＝－.
故选B.
答案：B
4．解析：∵tan x＝2，
∴原式＝＝＝＝－.
答案：－
5．解析：原式＝·
＝＝1.

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