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第2课时　诱导公式五、六
教材要点
要点一　诱导公式五
sin ＝________，cos ＝________，sin ＝________，cos ＝________
要点二　诱导公式六
tan ＝________，tan ＝________．
状元随笔　(1)诱导公式五、六反应的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　)
(2)cos ＝cos α.(　　)
(3)sin ＝－cos α.(　　)
(4)若α为第二象限角，则sin ＝－cos α.(　　)
2．若sin ＜0，且cos ＞0，则θ是(　　)
A．第一象限角　　B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知角θ的终边过点，cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
4．sin 95°＋cos 175°的值为________．
题型1　利用诱导公式求值
例1　(1)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．
(2)已知sin＝，求cos 的值．
变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos 的值．
方法归纳
利用诱导公式五、六求值的三个关注点
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．
跟踪训练1　(1)已知sin (π＋α)＝，则cos 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)若cos (α＋π)＝－，则sin ＝________．
题型2　利用诱导公式证明三角恒等式
例2　求证：＝.
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.
跟踪训练2　求证：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.
题型3　诱导公式的综合应用
例3　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)已知－＜α＜，f(α)＝，求tan α.
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
易错辨析　不能确定角之间的特殊关系导致诱导公
式应用致误
例4　sin2＋sin2＝________．
解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
答案：1
易错警示
易错原因 纠错心得
不能发现“＝”导致无法应用诱导公式进行转换求值． 解决给值求值问题，首先要探寻条件角与问题角之间的关系，便于直接利用诱导公式整体求解．
课堂十分钟
1．已知sinα＝，则cos ＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
2．已知cos (π＋α)＝，则sin 的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
3．已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin ＝(　　)
A． B． C．－ D．－
4．已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝________．
5．化简：.
第2课时　诱导公式五、六
新知初探·课前预习
要点一
　cos α　sin α　cos α　－sin α
要点二
　　－
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由于sin ＝cos θ<0，cos ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
答案：B
3．解析：因为角θ的终边过点，
所以sin θ＝＝－，
所以cos (－θ)＝sin θ＝－.
故选A.
答案：A
4．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…＋144个＋＝.
(2)cos＝cos ＝sin ＝－sin ＝－.
答案：(1)　(2)见解析
变式探究　解析：cos ＝cos ＝－sin ＝sin ＝.
跟踪训练1　解析：(1)∵sin (π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴cos ＝－sin α＝－＝.故选A.
(2)∵cos (α＋π)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴sin ＝－sin ＝－(－cos α)＝cos α＝.
答案：(1)A　(2)
例2　证明：右边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
跟踪训练2　证明：左边＝·[－sin (2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
例3　解析：(1)f(α)＝
＝＝cos α.
(2)因为f(α)＝，所以cos α＝，
当0≤α<时，sin α＝＝，
所以tanα＝＝，
当－<α<0时，sin α＝－＝－，
所以tanα＝＝－，
综上可得，tan α＝±.
跟踪训练3　解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.
[课堂十分钟]
1．解析：cos ＝－sin α＝－.故选B.
答案：B
2．解析：因为cos (π＋α)＝－cos α＝，所以sin ＝－cos α＝.故选C.
答案：C
3．解析：∵3sin α＋cos α＝0，∴3sin α＝－cos α，
∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋9sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，
已知α为第二象限角，cosα<0，∴cos α＝－，
即sin ＝cos α＝－.故选D.
答案：D
4．解析：因为cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，
可得sin α＝，
因为α为第二象限角，
则cos α＝－＝－.
答案：－
5．解析：原式＝
＝
＝－sin θ.5．2.3　诱导公式
最新课程标准 学科核心素养
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切)． 1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式．(直观想象) 2．会利用诱导公式化简、求值与证明．(逻辑推理、数学运算)
第1课时　诱导公式一、二、三、四
教材要点
要点一　诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的________三角函数值相等．
(2)式子表示其中k∈Z.
要点二　诱导公式二
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于________对称
公式 sin (－α)＝________， cos (－α)＝________， tan (－α)＝－tan α
要点三　诱导公式三
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于________对称
公式 sin (π＋α)＝________， cos (π＋α)＝________， tan (π＋α)＝________
要点四　诱导公式四
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于________对称
公式 sin (π－α)＝________， cos (π－α)＝________， tan (π－α)＝________
状元随笔　诱导公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括为：终边相同的角的同一三角函数值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　)
(2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　　)
(3)由公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．(　　)
(4)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．sin 600°的值是(　　)
A． B．－ C． D．－
3．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是(　　)
A．－ B． C．－ D．
4．化简：＝________．
题型1　给角求值问题
例1　(1)sin π·cos π·tan 的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)sin2120°＋cos180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________．
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”；
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1　(1)sin 的值等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)sin 585°cos 1290°＋cos (－30°)cos 135°＋tan 135°＝________．
题型2　给值(或式)求值问题
例2　(1)若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
(2)已知cos ＝，求cos －sin2.
变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos－sin2.
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2　(1)已知sin(π－α)＝，则sin (π＋α)＝________．
(2)已知＝3，求tan (5π－α)的值．
题型3　化简求值问题
例3　(1)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________．
(2)化简： .
方法归纳
三角函数式化简的方法和技巧
方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及变形解决．
技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
跟踪训练3　的值为(　　)
A．1 B．－1
C．sinα D．tan α
易错辨析　不能正确理解“符号看象限”的含义致误
例4　已知cos (π＋α)＝m，α∈，则sin (5π＋α)＝________．
解析：∵cos (π＋α)＝－cos α＝m，
∴cos α＝－m，
∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝－
＝.
答案：
易错警示
易错原因 纠错心得
错误理解“符号看象限”，得到错解： ∵α∈，∴π＋α∈， ∴π＋α是第一象限，∴cos(π＋α)＝cos α＝m， ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝sin α＝－＝－. 在利用诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”判断三角函数符号时，不论角为何值，都应将它看作“锐角”处理．
课堂十分钟
1．cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．若cos (π＋α)＝－＜α＜2π，则sin (2π＋α)等于(　　)
A． B．±
C． D．－
3．已知α∈，tan α＝－，则sin (α＋π)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知cos ＝，则cos 的值为________．
5．化简.
5．2.3　诱导公式
第1课时　诱导公式一、二、三、四
新知初探·课前预习
要点一
同一　sinα　cos α　tan α
要点二
x轴　－sin α　cos α
要点三
原点　－sin α　－cos α　tan α
要点四
y轴　sin α　－cos α　－tan α
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：sin 600°＝sin (600°－720°)＝sin (－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.故选D.
答案：D
3．解析：∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝，sin (4π－α)＝－sin α＝－.故选A.
答案：A
4．解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)sin π·cos π·tan
＝sin cos tan
＝－sin tan
＝－··(－)
＝－.
故选A.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝－＋＝.
答案：(1)A　(2)
跟踪训练1　解析：(1)sin ＝sin ＝－sin ＝－.故选D.
(2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°cos 135°＋tan 135°
＝sin 225°cos 210°＋cos 30°cos 135°＋tan 135°
＝sin (180°＋45°)cos (180°＋30°)＋cos 30°cos (180°－45°)＋tan (180°－45°)
＝sin 45°cos 30°－cos 30°cos 45°－tan 45°
＝×－×－1
＝－1.
答案：(1)D　(2)－1
例2　解析：(1)因为sin (π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－，
又∵α∈，所以cos α＝＝.
所以tanα＝＝－＝－.
所以tan (π－α)＝－tan α＝.故选D.
(2)cos －sin2
＝cos－sin2
＝－cos－
＝－cos－1＋cos2
＝－1＋
＝－.
答案：(1)D　(2)－
变式探究　解析：cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－－
＝－.
跟踪训练2　解析：(1)因为sin(π－α)＝sin α＝，
所以sin (π＋α)＝－sin α＝－.
(2)∵
＝
＝
＝3，
∴sin α＝－，
∴当α为第三象限角时，
cos α＝－，tan α＝；
当α为第四象限角时，
cos α＝，tan α＝－.
∴tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝±.
答案：(1)－　(2)见解析
例3　解析：(1)原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
(2)原式＝＝·＝1.
答案：(1)0　(2)见解析
跟踪训练3　解析：原式＝＝＝－1.
故选B.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：cos＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
故选A.
答案：A
2．解析：由cos (π＋α)＝－，得cos α＝，故sin (2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角).故选D.
答案：D
3．解析：由tanα＝－，α∈得sin α＝.又∵sin (α＋π)＝－sin α，∴sin (α＋π)＝－.
答案：B
4．解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－.
答案：－
5．解析：tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]
＝－tan (180°＋α)＝－tan α，
cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]
＝cos (180°－α)＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α.

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