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第3课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
教材要点
要点　正、余弦函数的图象与性质
正弦函数 余弦函数
图象
值域 ________ ________
单调性 在________________(k∈Z)上递增， 在________________(k∈Z)上递减 在________________(k∈Z)上递增， 在________________(k∈Z)上递减
最值 x＝________(k∈Z)时，ymax＝1； x＝________(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝________(k∈Z)时，ymax＝1； x＝________(k∈Z)时，ymin＝－1
状元随笔　(1)正、余弦函数的单调性：
①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；
②单调区间要在定义域内求解；
③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．
(2)正、余弦函数的最值
①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；
②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；
③形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在区间[0，3π]上，函数y＝cos x仅在x＝0时取得最大值1.(　　)
(2)正弦函数在第一象限是增函数．(　　)
(3)存在实数x，使得cos x＝.(　　)
(4)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数．(　　)
2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)
A．y＝cos |x|　　　　　　B．y＝cos |－x|
C．y＝sin (x-) D．y＝－sin
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)
A．－1，3 B．－1，1
C．0，3 D．0，1
4．比较大小：sin ________cos .
　　
题型1　正弦、余弦函数的单调性
例1　求函数y＝sin 的单调区间．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω＜0时，一般用诱导公式转化为－ω＞0后求解；②若A＜0，则单调性相反．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝2sin (x-〖(π)/(3)〗)，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
(2)函数y＝cos πx的单调减区间为________．
题型2　单调性在三角函数中的应用
角度1　比较大小
例2　比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin .
(2)cos 与cos
方法归纳
比较三角函数值大小的方法
(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．
(2)不同名的函数化为同名函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
角度2　利用正弦、余弦函数的单调性求参数
例3　已知ω＞0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(0，2)
方法归纳
对于已知形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子区间；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解．
跟踪训练2　(1)sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是(　　)
A．sin 1＜sin 2＜sin 3 B．sin 3＜sin 2＜sin 1
C．sin 2＜sin 3＜sin 1 D．sin 3＜sin 1＜sin 2
(2)若函数f(x)＝cos 2ωx(ω＞0)在区间上为减函数，在区间上为增函数，则ω等于(　　)
A．3 B．2
C． D．
　三角函数的值域(或最值)问题
角度1　正弦、余弦函数的值域(或最值)问题
例4　求函数y＝2sin ，x∈的值域
方法归纳
形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的三角函数值域(或最值)问题，要注意x的取值范围．一般情况下先利用x的取值范围，求出ωx＋φ的范围，再求三角函数的值域(或最值)．
角度2　形如y＝A sin2x＋B sinx＋C或y＝A cos2x＋B cosx＋C型的最值(或值域)问题
例5　求函数y＝cos2x－sinx，x∈的最大值和最小值及相应的x值．
方法归纳
求形如y＝A sin2x＋B sinx＋C，A≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性(有时也用t来替换cos x)．
跟踪训练3　(1)函数y＝2cos －1的最小值是________，此时x＝________．
(2)函数y＝y＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域是________．
易错辨析　忽视参数的分类致误
例6　已知函数y＝2a sin ＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－.
∴－≤sin ≤1.
若a＞0，
则解得
若a＜0，则解得
易错警示
易错原因 纠错心得
只考虑a＞0的情况，漏掉了a＜0的情况，导致丢解． 形如y＝A sin (ωx＋φ)＋B或y＝A cos (ωx＋φ)＋B的函数，其最值与参数A的正负有关，因此在解决这类问题时，要注意对A分A＞0和A＜0两种情况进行分类讨论．
课堂十分钟
1．下列不等式中成立的是(　　)
A．sin ＞sin
B．sin 3＞sin 2
C．sin π＞sin
D．sin 2＞cos 1
2．函数y＝sin 在区间[0，π]上的单调递增区间为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函数f(x)＝2sin －1(x∈R)，则f(x)在区间上的最大值与最小值分别是(　　)
A．1，－2 B．2，－1
C．1，－1 D．2，－2
4．已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，若f(x)在上单调递增，则实数ω的取值范围是________．
5．求函数y＝cos2x－4cosx＋1，x∈的值域．
第3课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
新知初探·课前预习
要点
[－1，1]　[－1，1]　　[2kπ－π，2kπ]　[2kπ，2kπ＋π]　2kπ＋　2kπ－　2kπ　2kπ＋π
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：y＝cos |x|在上是减函数，排除A；y＝cos |－x|＝cos |x|，排除B；y＝sin ＝－sin ＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin 在(0，π)上是单调递减的，排除D.
故选C.
答案：C
3．解析：∵－1≤cos x≤1，∴－1≤y≤3.
故选A.
答案：A
4．解析：sin ＝sin ＝cos .
∵0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上递减，
∴cos ＞cos ，即sin ＞cos .
答案：＞
题型探究·课堂解透
例1　解析：∵y＝sin ＝－sin ，
∴由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数y＝sin 的单调增区间为(k∈Z)，
由2kπ－≤2x－＋2kπ，(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝sin 的单调减区间为(k∈Z)．
跟踪训练1　解析：(1)令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又∵－π≤x≤0，∴－≤x≤0.
故选D.
(2)由2kπ≤πx≤π＋2kπ，k∈Z得2k≤x≤1＋2k，k∈Z，
即函数y＝cos πx的单调减区间为.
答案：(1)D　(2)
例2　解析：(1)∵sin ＝sin ＝sin ，
sin ＝sin ＝sin ，
又∵y＝sin x在上单调递增，
且0<<<，
∴sin (2)∵cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
又∵y＝cos x在[0，π]上单调递减，
∴cos >cos ，∴cos >cos .
例3　解析：方法一　由0，得<ωx＋<ωπ＋.
又因为y＝sin x在上单调递减，所以
解得≤ω≤，故选A.
方法二　由＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，k∈Z，ω>0，得≤x≤，k∈Z.
因此函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
由题意知，所以解得≤ω≤，故选A.
答案：A
跟踪训练2　解析：(1)sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3)．∵0<π－3<1<π－2<，y＝sin x在上为增函数，∴sin (π－3)故选D.
(2)因为y＝cos x在[0，π]上为减函数，在[π，2π]上为增函数，所以当0≤2ωx≤π，即0≤x≤时，f(x)＝cos 2ωx(ω>0)为减函数，当π≤2ωx≤2π，即≤x≤时，f(x)＝cos 2ωx(ω>0)为增函数，由题意知＝，∴ω＝.
故选C.
答案：(1)D　(2)C
例4　解析：∵x∈，∴2x∈，∴∈，∴sin ∈.∴2sin ∈[－1，2]，故f(x)＝2sin 在上的值域为[－1，2].
例5　解析：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx
＝－sin2x－sinx＋1，
令sin x＝t，
∵x∈，
∴t∈，
∴y＝－t2－t＋1＝－＋，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最大值，f(x)max＝；
当t＝，即x＝时，f(x)有最小值，f(x)min＝.
跟踪训练3　解析：(1)当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z，ymin＝－2－1＝－3.
(2)令t＝sin x，∵x∈，∴t∈，∴y＝2t2＋2t－＝2－1，∴y∈，故函数f(x)的值域为.
答案：(1)－3　＋kπ，k∈Z　(2)
[课堂十分钟]
1．解析：因为sin 2＝cos ＝cos ，且0<2－<1<π，所以cos >cos 1，即sin 2>cos 1.
故选D.
答案：D
2．解析：y＝sin ＝－sin ，
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，即kπ＋≤x≤kπ＋时，k∈Z，函数单调递增，
∴函数在区间[0，π]上的单调递增区间为.
故选A.
答案：A
3．解析：∵0≤x≤，∴≤2x＋，
∴当2x＋＝时，即sin ＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，
当2x＋＝时，即sin ＝－时，函数取得最小值为×2－1＝－2.
故选A.
答案：A
4．解析：由题意知：ω×，即0<ω≤1.
答案：(0，1]
5．解析：∵x∈，∴－≤cos x≤.
∵y＝cos2x－4cosx＋1＝(cos x－2)2－3，
∴当cos x＝－时，ymax＝；
当cos x＝时，ymin＝－，
∴y＝cos2x－4cosx＋1的值域为.5．3　三角函数的图象与性质
最新课程标准 学科核心素养
1.借助单位圆能画出三角函数的图象． 2．了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在(-，)上的性质． 1.掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象的方法．(直观想象) 2．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．(数学抽象) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(逻辑推理、数学运算) 4．会求正弦、余弦、正切函数的单调区间、最大值与最小值．(数学运算、逻辑推理)
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
教材要点
要点　正弦曲线与余弦曲线及其画法
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 ________，(，1)，________， (，-1)，________ ________，(，0)，________， (，0)，________
状元随笔　1.关于正弦函数y ＝sin x的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0，2π]上的图形一致，因为终边相同角的同一三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0，2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．(　　)
(2)函数y＝sin x与y＝sin (－x)的图象完全相同．(　　)
(3)余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．(　　)
(4)函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置不一样.(　　)
2．不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为(　　)
A．[0，π]　　B．(0，π)
C．[0，π] D．(，)
3．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)
4．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．
题型1　用“五点法”作三角函数的图象
例1　(1)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sin x－1的简图．
(2)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－2cos x＋3的简图．
方法归纳
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
跟踪训练1　作出函数y＝3＋2cos x的简图．
题型2　利用“图象变换”作三角函数的图象
例2　作出下列函数的图象
(1)y＝；(2)y＝sin|x|.
方法归纳
某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin |x|的图象，将y＝sin x图象在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|sin x|的图象等．
跟踪训练2　函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
题型3　正弦、余弦函数图象的应用
角度1　零点个数问题
例3　求方程sin x＝的解的个数．
方法归纳
对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握．
角度2　解三角不等式
例4　利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合．
方法归纳
用正弦曲线(余弦曲线)解三角不等式(如sin x≥a或cos x≥a)的步骤
跟踪训练3　(1)方程x2＝cos x的实数解的个数为________．
(2)函数y＝的定义域为________．
易错辨析　忽视函数定义域致误
例5　作出函数y＝·sin x的图象．
解析：由tan x≠0得x≠kπ，且x≠kπ＋，k∈Z，
即x≠(k∈Z)，
此时有y＝·sin x＝cos x，
即y＝cos x(x≠，k∈Z)．
其图象如下图所示．
易错警示
易错原因 纠错心得
有的同学这样做：y＝·sin x＝·sin x＝cos x．错在化简时漏掉了对自变量范围的讨论，扩大了定义域． 已知函数解析式作函数图象，首先要求出函数的定义域，然后再对其进行化简，如果先进行化简，则化简前后自变量的取值范围就发生了变化，作出的函数图象就可能与原解析式不对应．
课堂十分钟
1．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　　)
A．与x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．函数y＝cos (－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
3．在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是(　　)
A．(0，π) B．
C． D．
4．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是________．
5．用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图．
5．3　三角函数的图象与性质
5．3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
新知初探·课前预习
要点
(0，0)　(π，0)　(2π，0)　(0，1)　(π，－1)　(2π，1)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由y＝sin x在[0，2π]的图象可得．故选B.
答案：B
3．解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
4．解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，π.
答案：0，，π
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)①列表：
x 0 π 2π
y －1 －2 －1 0 －1
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
(2)由条件列表如下：
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．
跟踪训练1　解析：(1)列表，如下表所示
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5
(2)描点，连线，如图所示：
例2　解析：(1)∵y＝＝|sinx|，
∴y＝(k∈Z)
作出y＝sin x，x∈[0，π]和y＝－sin x，x∈(π，2π]的图象，并将图象左右平移即可．其图象如图所示．
(2)y＝sin |x|＝其图象如图所示．
跟踪训练2　解析：y＝cos x＋|cos x|＝
故选D.
答案：D
例3　解析：在平面直角坐标系中，作出函数y＝和y＝sin x的图象，如图，
由图可知，当x≥4π时，>1>sin x，所以此时两图象无交点；当0例4　解析：首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当所以跟踪训练3　解析：(1)作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有2个实数解．
(2)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
取余弦函数的图象在一个周期内连续的一段如图，则当x＝±时，cos x＝.
∴函数y＝的定义域为(k∈Z)．
答案：(1)2　(2)(k∈Z)
[课堂十分钟]
1．解析：由正弦函数图象可知，A正确；由正弦函数的图象可知B正确；由正弦函数的图象，知正弦函数的图象不关于x轴对称，关于原点对称，故C错误；由正弦函数图象，知D正确．
故选ABD.
答案：ABD
2．解析：由y＝cos (－x)＝cos x知，其图象和y＝cos x的图象相同．
故选B.
答案：B
3．解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下：
因为sin ＝，
所以sin ＝－，sin ＝－.
所以在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝和x＝.
所以不等式sin x<－的解集是.
故选C.
答案：C
4．解析：令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)，又∵x∈[0，2π]，故x＝或.
答案：
5．解析：(1)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 1 1
(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左、向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos x的图象，如图所示．第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
教材要点
要点一　周期函数
1．周期函数
一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在________常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且__________，则称这个函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
2．最小正周期
条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________
结论 这个最小________叫做f(x)的最小正周期
状元随笔　关于最小正周期
(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．
(2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B或y＝A cos (ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝求最小正周期．
要点二　正弦、余弦函数的周期性、奇偶性与对称性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正 周期 2π ________
奇偶性 ____函数 ____函数
对称性 对称轴：x＝kπ＋，k∈Z 对称中心：(kπ，0)，k∈Z 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：(kπ+，0)，k∈Z
状元随笔　(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0，0)对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin ＝sin ，所以是函数y＝sin x的周期．(　　)
(2)每一个函数都是周期函数．(　　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(　　)
(4)正(余)弦曲线的对称轴是过对应曲线的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是曲线与x轴的交点．(　　)
2．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin 　　 B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
3．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
4．函数f(x)＝sin x cos x是________函数．(填“奇”或“偶”)
题型1　求三角函数的周期
例1　求下列函数的周期
(1)y＝2sin ，x∈R；
(2)y＝1－2cos ，x∈R；
(3)y＝|sin x|，x∈R.
方法归纳
求函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝|cos 2x|的周期是(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
(2)y＝sin (3x+)的周期是________．
题型2　三角函数奇偶性的有关问题
角度1　三角函数奇偶性的判断
例2　(1)下列函数中是偶函数的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝－sin x
C．y＝sin |x| D．y＝sin x＋1
(2)判断下列函数的奇偶性
①f(x)＝sin ；
②f(x)＝.
方法归纳
判断函数奇偶性的两个关键点
(1)看函数的定义域是否关于原点对称；
(2)看f(－x)与f(x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
跟踪训练2　函数f(x)＝|sin x|＋cos x是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
角度2　三角函数的对称性
例3　(1)(多选)下列函数中，其图象关于x＝对称的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
(2)函数y＝sin (2x+)的一个对称中心是(　　)
A． B．
C． D．
方法归纳
对于函数y＝sin (ωx＋φ)与y＝cos (ωx＋φ)的图象对称性，应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代入思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋ (k∈Z)，解出的x值即为对称中心的横坐标(纵坐标为0)或对称轴与x轴交点的横坐标．
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝cos (-+)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
(2)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值可能是(　　)
A． B．－
C． D．
题型3　函数的奇偶性与周期性的综合应用
例4　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin 是奇函数，则φ的值可以是(　　)
A．0 B．－
C． D．
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
变式探究　本例(2)中，把条件“偶函数”改为“奇函数”，其它条件不变，结果如何？
方法归纳
(1)已知三角函数的奇偶性求参数范围问题一般利用三角函数的图象特征较简单．
(2)利用三角函数的奇偶性与周期性求函数值一般要把自变量转化到已知表达式的区间上求值．
跟踪训练4　(1)(多选)关于函数y＝f(x)＝cos 2x的图象，下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点(-，0)对称
(2)若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值
易错辨析　判断三角函数的奇偶性时忽略定义域致误
例5　函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：由题意知sin x≠1，即f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，
不关于原点对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．
易错警示
易错原因 纠错心得
误认为f(x)＝＝sin x，从而得到错误答案：A. 判断三角函数的奇偶性时，首先要考虑函数的定义域是否关于原点对称，再等价变形，最后再下结论．
课堂十分钟
1．(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是(　　)
2．对于函数y＝cos ，下列命题正确的是(　　)
A．周期为2π的偶函数 B．周期为2π的奇函数
C．周期为π的偶函数 D．周期为π的奇函数
3．“φ＝”是“函数y＝sin (x＋φ)为偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数y＝cos (x－φ)，φ∈[0，π]是奇函数，则φ的值为________．
5．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(-，0)时，f(x)＝4x－1，求f的值．
第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
新知初探·课前预习
要点一
1．非零　f(x±T)＝f(x)
2．正数　正数
要点二
2π　奇　偶　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：对于A，T＝＝4π；对于B，T＝＝π；对于C，T＝＝8π；对于D，T＝＝.
故选D.
答案：D
3．解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
4．解析：∵f(x)＝sin x cos x，且x∈R
∴f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin x cos x是奇函数．
答案：奇
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)(定义法)∵2sin
＝2sin
＝2sin ，
∴自变量x至少要增加到x＋4π，
函数y＝2sin ，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝2sin ，x∈R的周期是4π.
(公式法)：T＝＝4π.
(2)(定义法)
∵1－2cos
＝1－2cos ＝1－2cos ，
∴自变量x至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos ，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝1－2cos ，x∈R的周期是4.
(公式法)：T＝＝4.
(3)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
跟踪训练1　解析：(1)作图如下：
观察图象可知函数f(x)＝|cos 2x|的周期是.
故选A.
(2)周期T＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)A，B是奇函数，D是非奇非偶函数，C中，sin |－x|＝sin |x|，所以是偶函数．
故选C.
(2)①显然x∈R，f(x)＝cos x，
f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
②∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
答案：(1)C　　(2)见解析
跟踪训练2　解析：∵函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R，
且f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)
＝|－sin x|＋cos x
＝|sin x|＋cos x＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
故选B.
答案：B
例3　解析：(1)由题意知，当x＝时，y可取得最值，将x＝逐一代入，验证可得B、C正确．
故选BC.
(2)y＝sin ＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有点符合要求．
故选B.
答案：(1)BC　(2)B
跟踪训练3　解析：(1)∵f(x)＝cos ＝sin ，
且f(－x)＝sin ＝－sin ＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
故选A.
(2)由题意，当x＝时，f(x)＝sin ＝±1，故＋φ＝kπ＋，(k∈Z)得φ＝kπ＋，(k∈Z)．当k＝0时，φ＝.
故选D.
答案：(1)A　(2)D
例4　解析：(1)f(x)＝sin 为奇函数，
则只需＋φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ－，k∈Z，
当k＝0时，φ＝－，满足题意；
当k＝1时，φ＝，满足题意，故选BD.
(2)f＝f＝f＝f＝sin ＝.
答案：(1)BD　(2)见解析
变式探究　解析：f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－.
跟踪训练4　解析：(1)∵f(x)＝cos 2x，由余弦函数的图象与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为π，且图象关于直线x＝(k∈Z)对称，关于点(k∈Z)对称．
故选BD.
(2)∵f(x)的周期为，且为奇函数，
∴f＝f＝f＝f.
而f＝f
＝f＝－f＝－1，
∴f＝－1.
答案：(1)BD　(2)－1
[课堂十分钟]
1．解析：对于D，x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．
故选ABC.
答案：ABC
2．解析：因为函数y＝cos ＝sin 2x，∴T＝＝π，且y＝sin 2x是奇函数，所以y＝cos 是周期为π的奇函数．
故选D.
答案：D
3．解析：φ＝时，y＝sin (x＋φ)＝sin (x＋)＝cos x是偶函数，充分性满足，
但φ＝－时，y＝sin (x＋φ)＝sin (x－)＝－cos x也是偶函数，必要性不满足．
应是充分不必要条件．
故选A.
答案：A
4．解析：∵y＝cos (x－φ)是奇函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.又∵φ∈[0，π]，∴φ＝.
答案：
5．解析：∵f(x)的周期为1，f＝f＝f.
又∵当x∈时，f(x)＝4x－1，
∴f＝4×－1＝－，
又∵f(x)是奇函数，∴f＝－f，
∴f＝.故f＝.

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