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5．3.2　正切函数的图象与性质
教材要点
要点　函数y＝tan x的图象和性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域 ______________
值域 ____________
周期 ____________
奇偶性 ____________
单调性 在区间____________________都是增函数
对称中心 (k∈Z)
状元随笔　如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　)
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)
(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)
(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tan x．(　　)
2．函数y＝tan 的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函数f(x)＝tan ，则函数f(x)的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)
　　
　正切函数的定义域、周期性、奇偶性
例1　(1)函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
(2)函数f(x)＝x·tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(3)函数y＝的定义域为________________．
方法归纳
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解．
(2)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常利用此公式来求与正切函数有关的周期．
(3)函数y＝tan x是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y＝tan (ωx＋φ)是奇函数，则φ＝(k∈Z)．
跟踪训练1　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．{x|x≠0} 　 B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C． 　D．
(2)(多选)关于函数y＝tan ，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C．为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为
　正切函数的单调性及应用
角度1　求正切函数的单调区间
例2　求函数y＝tan 的单调区间．
方法归纳
求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝
－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
角度2　比较大小
例3　比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．
方法归纳
运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
跟踪训练2　(1)已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
(2)函数y＝tan 的单调增区间为________．
题型3　正切函数图象与性质的综合应用
例4　已知函数f(x)＝2tan .
(1)求f(x)的最小正周期、定义域；
(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．
方法归纳
解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
跟踪训练3　设函数f(x)＝tan .
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
易错辨析　不能正确掌握正切函数的对称中心致误
例5　函数y＝tan (2x＋θ)＋n的图象的一个对称中心为，其中θ∈，则点(θ，n)对应的坐标为________.
解析：因为y＝tan x的对称中心为，k∈Z，所以由y＝tan (2x＋θ)＋n的图象的一个对称中心为可知，n＝－1，2×＋θ＝，k∈Z.
又θ∈，所以θ＝.
答案：
易错警示
易错原因 纠错心得
误认为正切函数的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，导致解题错误． 通过正切函数的图象准确掌握正切函数的对称中心是(k∈Z)，而不是(kπ，0)(k∈Z)．
课堂十分钟
1．函数y＝tan x是(　　)
A．周期为π的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为π的奇函数
2．函数y＝tan (x＋)的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是(　　)
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．b＞a＞c D．b＜a＜c
4．函数y＝tan 的定义域为________．
5．设函数f(x)＝tan .
(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
5．3.2　正切函数的图象与性质
新知初探·课前预习
要点
　R　kπ(k∈Z，k≠0)　奇函数　(k∈Z)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.
答案：D
3．解析：解法一　函数y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
解法二　由诱导公式可得tan
＝tan ＝tan ，
所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
故选B.
答案：B
4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.
答案：＜
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由T＝，
得T＝＝2π.故选D.
(2)因为函数f(x)＝x·tan x的定义域为，关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)·tan (－x)＝(－x)·(－tan x)＝x·tan x＝f(x)，
所以函数f(x)＝x·tan x是偶函数．故选B.
(3)由题意知
解得
所以函数的定义域为(k∈Z)
答案：(1)D　(2)B
(3)(k∈Z)
跟踪训练1　解析：(1)函数y＝有意义时，需使
所以函数的定义域为＝.故选D.
(2)函数y＝tan 是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；因为当x＝时，tan ＝0，所以为其图象的一个对称中心，C正确；最小正周期为，D正确．
答案：(1)D　(2)CD
例2　解析：y＝tan ＝－tan .
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－所以函数y＝tan 的单调递减区间为(k∈Z)．
例3　解析：tan 2.5＝tan (2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－<2.5－π<3.5－π<1.5<，y＝tan x在上是增函数．故tan (2.5－π)跟踪训练2　解析：(1)a＝tan 1>0，b＝tan 2＝－tan (π－2)<0，c＝tan 3＝－tan (π－3)<0，∵>π－2>π－3>0，且y＝tan x在上单调递增，∴tan (π－2)>tan (π－3)>0，∴－tan (π－2)<－tan (π－3)<0，故a>0>c>b.故选C.
(2)y＝tan ，由kπ－答案：(1)C　(2)，k∈Z
例4　解析：(1)对于函数f(x)＝2tan ，它的最小正周期为＝2π，由≠kπ＋，求得x≠2kπ＋，故它的定义域为.
(2)f(x)≥2，即tan ≥1，故＋kπ≤跟踪训练3　解析：(1)由≠＋kπ(k∈Z)．得x≠＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的定义域是.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
由＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是，k∈Z.
(2)由－1≤tan ，
得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.
[课堂十分钟]
1．解析：函数的周期T＝＝，函数y＝tan x是奇函数．故选B.
答案：B
2．解析：∵y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，
令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝tan (x＋)的单调递增区间是(k∈Z)．故选B.
答案：B
3．解析：tan 5＝tan [π＋(5－π)]＝tan (5－π)，
由正切函数在上为增函数且π>3>2>5－π>，可得tan 3>tan 2>tan (5－π)．故选C.
答案：C
4．解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z), 得x≠(k∈Z)．
答案：
5．解析：(1)f＝tan ，T＝＝3π，
令＝，k∈Z，解得x＝π＋kπ，k∈Z，
故对称中心为.
(2)令＝0，解得x＝π，
令＝，解得x＝，
令＝－，解得x＝，
令＝，解得x＝，
令＝－，解得x＝－，
所以函数f＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标为，图象上的点有两点，
在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x＝－和x＝，
从而得到函数f在一个周期内的简图(如图)．

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