资源简介

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
教材要点
要点一　A、ω、φ的意义
函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)，在这里常数A叫________，T＝叫________，f＝＝叫________，ωx＋φ叫________，φ叫________．
要点二　函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有关性质
名称 性质
定义域 ________
值域 ________
周期性 T＝
对称中心 (k∈Z)
对称轴 x＝(k∈Z)
奇偶性 当φ＝________时是奇函数；
当φ＝________时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得________区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得________区间
状元随笔　研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略
(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．
(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sin θ的图象求值域．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝A sin (ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(2)在y＝A sin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期．(　　)
(3)函数y＝sin 的图象对称轴为x＝(k∈Z)．(　　)
(4)函数f(x)＝sin 的图象的对称中心是(k∈Z)(　　)
2．函数y＝2sin 的周期、振幅依次是(　　)
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
3．函数f(x)＝4sin 图象的对称轴方程为(　　)
A．x＝(k∈Z) B．x＝＋kπ(k∈Z)
C．x＝(k∈Z) D．x＝(k∈Z)
4．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.
题型1　由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．
方法归纳
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
跟踪训练1　
(1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
(2)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________．
题型2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象在物理中的简单应用
例2　如图所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2)写出这个简谐运动的函数解析式．
方法归纳
明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练2　一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U(单位V)关于时间t(单位s)的函数解析式．
题型3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的综合应用
例3　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求f的值；
(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值．
方法归纳
研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略
(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式；
(2)熟记正弦函数y＝sin x的图象与基本性质；
(3)充分利用整体代换思想解决问题；
(4)熟记有关y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．
跟踪训练3　
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合．
课堂十分钟
1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相分别是(　　)
A．5x－ B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2．y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝3sin (x＋1) B．y＝－3sin (x＋1)
C．y＝3sin (x－1) D．y＝－3sin (x－1)
3．下列区间中，函数f(x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
4．函数y＝sin 的图象的一条对称轴方程是________．
5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
新知初探·课前预习
要点一
振幅　周期　频率　相位　初相
要点二
R　[－A，A]　kπ(k∈Z)　kπ＋ (k∈Z)　单调递增　单调递减
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：周期T＝＝4π，振幅为2，故选B.
答案：B
3．解析：结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得对称轴方程为x＝＋(k∈Z).故选D.
答案：D
4．解析：由图象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　解析：方法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，
T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ).∵点在函数图象上，
∴0＝3sin .
∴－×2＋φ＝kπ，
得φ＝＋kπ(k∈Z).
∵|φ|＜，∴φ＝.
∴y＝3sin .
方法二(待定系数法)：由图象知A＝3.
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin .
方法三(图象变换法)：由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以所求函数y＝3sin 2， 即y＝3sin .
跟踪训练1　解析：(1)由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入函数f(x)解析式得sin ＝1，又－＜φ＜，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin .故选B.
(2)函数的周期为T＝＝，则图中相邻两个零点之间的距离为，又＋＝，所以f＝0.
答案：(1)B　(2)0
例2　解析：(1)振幅A＝3，周期T＝4，频率f＝.
(2)设简谐运动的函数解析式为：
y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，
由(1)可知，ω＝＝π，
则y＝3sin ，
当x＝＝2.2时，y取最小值，
则sin ＝－1，
∴×2.2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
令k＝0，则φ＝，
故简谐运动的函数解析式为：
y＝3sin ，x∈[0，＋∞).
跟踪训练2　解析：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V.
电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋ ∞) .
例3　解析：(1)f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)
＝2
＝2sin .
因为f(x)为偶函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z).
又0＜φ＜π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin ＝2cos ωx.
由题意得＝2×，所以ω＝2.所以f(x)＝2cos 2x.
故f＝2cos ＝.
(2)y＝2cos 2x＋2cos
＝2cos 2x＋2cos
＝2cos 2x－2sin 2x＝2sin .
当－2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，y有最大值2.
跟踪训练3　解析：(1)由图象可以得到函数f(x)的振幅A＝3，设函数周期为T，则T＝4π－＝，所以T＝5π，则ω＝，由ωx0＋φ＝0，得×＋φ＝0，所以φ＝－，
所以f(x)＝3sin .
(2)由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋5kπ≤x≤4π＋5kπ(k∈Z)，所以函数的减区间为，k∈Z.
函数f(x)的最大值为3，当且仅当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋5kπ(k∈Z)时函数取得最大值．
所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为.
[课堂十分钟]
1．解析：相位是5x－，初相是当x＝0时的相位，即－.故选C.
答案：C
2．解析：A＝3，ω＝＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f(x)＝3sin [x＋(π－1)]＝－3sin (x－1).故选D.
答案：D
3．解析：因为函数y＝sin x 的单调递增区间为(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin ，由2kπ－＜x－＜2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，
则 ，(，π)，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，
(π，)且 (π，)，(，2π)，CD选项均不满足条件．故选A.
答案：A
4．解析：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝.
答案：x＝(答案不唯一)
5．解析：(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M，得A＝2.
由周期T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin ＝－2，
即sin ＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
故φ＝2kπ－(k∈Z)，
又φ∈，
所以k＝1，φ＝，
所以函数的解析式为f(x)＝2sin .
(2)因为x∈，
所以2x＋∈，
所以当2x＋＝，
即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，
函数f(x)取得最大值.5．4　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
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1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义． 2．能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 1.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(数学抽象) 2．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，借助函数图象求出函数解析式．(数学运算) 3．了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动的振幅、周期、相位、初相．(直观想象)
第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
教材要点
要点一　“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
利用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接出一个周期上的图象，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的简图．
要点二　图象变换
1．A对函数y＝A sin x图象的影响(振幅变换)：一般地，对任意A＞0且A≠1，函数y＝A sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点的________不变、________乘以A得到．
2．ω对函数y＝sin x图象的影响(周期变换)：一般地，对任意ω＞0且ω≠1，函数y＝sin ωx的图象可由y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的________而得到．
3．φ对函数y＝sin (x＋φ)图角的影响(相位变换)：一般地，y＝sin (x＋φ)(x∈R，常数φ≠0)的图象可以由y＝sin x的图象向____(当φ＞0)或向____(当φ＜0)平移________个单位长度得到．
4．函数y＝sin x的图象与y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象关系：
状元随笔　(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将y＝sin x的图象向右平移个单位，得到y＝sin 的图象．(　　)
(2)将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin x的图象．(　　)
(3)将y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x的图象．(　　)
2．为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
3．函数y＝cos 4x的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到(　　)
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的倍
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的倍
4．函数y＝sin x－的图象可以看作把y＝sin x的图象向____平移____个单位长度而得到．
题型1　用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象
例1　作出函数y＝2sin 的一个周期内的简图．
方法归纳
五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤．
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值．
(2)描点．
(3)连线得函数在一个周期内的图象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
跟踪训练1　用“五点法”作出函数y＝sin 在[0，π]上的图象．
题型2　三角函数图象的变换
角度1　同名三角函数图象的变换
例2　由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin ＋1的图象．
方法归纳
三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
角度2　异名三角函数图象的变换
例3　为了得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
方法归纳
不同名三角函数之间的变换方法
(1)利用诱导公式，寻找不同名三角函数之间的关系，主要利用±α化简．
(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后，再根据平移、伸缩变换，得出最终结果．
跟踪训练2　(1)要得到函数y＝3sin 的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)把函数y＝cos 的图象适当变换就可以得到y＝sin (－3x)的图象，这种变换可以是(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
题型3　三角函数图象变换的综合应用
例4　把函数y＝f(x)图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标扩大到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin ，求f(x)的解析式．
方法归纳
(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
跟踪训练3　将函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度得曲线C，则曲线C对应的函数解析式是____________________．
易错辨析　三角函数图象变换规则不清致误
例5　为了得到y＝sin x的图象，只需要将y＝sin 的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：∵y＝sin ＝sin ，
∴当由y＝sin 的图象得y＝sin x的图象时，应该是向左平移个单位．
易错警示
易错原因 纠错心得
错因1：审题不清，没有弄清哪一个函数图象变换得另一个函数图象； 错因2：平移的单位长度由于忽视x的系数导致错误． 在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点： (1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数； (2)弄清楚平移的方向，即要清楚平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； (3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是.
课堂十分钟
1．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A．y＝sin x－ B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
2．为了得到y＝cos 的图象，只需把y＝cos x的图象上的所有点(　　)
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3．要得到函数y＝cos 的图象，需将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．
5．已知函数y＝3sin .
(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
5．4　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
新知初探·课前预习
要点二
1．横坐标　纵坐标
2.
3．左　右　|φ|
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝sin(x-).故选B.
答案：B
3．解析：将函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos 4x的图象．
答案：B
4．答案：下　
题型探究·课堂解透
例1　解析：令t＝＋，列表如下：
x －
t 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描点连线，得到如图所示的函数图象：
跟踪训练1　解析：列出x，y的对应值表：
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 0 － 0
描点，连线，如图所示．
例2　解析：方法一　y＝sin x的图象
y＝sin 的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变y＝sin 的图象y＝－sin 的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变y＝－2sin 的图象y＝－2sin ＋1的图象．
方法二　y＝sin x的图象
所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变y＝2sin x的图象y＝－2sin x的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变y＝－2sin 2x的图象y＝－2sin 的图象y＝－2sin ＋1的图象．
例3　解析：因为y＝cos 2x＝sin ，而y＝sin ＝sin ，所以y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度可得到y＝sin 的图象．
答案：B
跟踪训练2　解析：(1)∵y＝3sin ＝3sin 2＝3sin 2(x＋φ)，∴2φ＝，∴φ＝，故需将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度．故选C.
(2)∵y＝cos ＝cos ＝sin ＝sin ，∴将y＝sin 的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝sin (－3x)的图象．故选D.
答案：(1)C　(2)D
例4　
所以f(x)＝3cos x．
跟踪训练3　解析：y＝cos x→y＝cos→y＝cos＝cos().
答案：y＝cos()
[课堂十分钟]
1．解析：根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin(x+)的图象．
答案：D
2．解析：由图象的周期变换可知，A正确．
答案：A
3．解析：将函数y＝cos 3x的图象，向左平移个单位长度，可得函数y＝cos(3x+)的图象，
故选A.
答案：A
4．解析：把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin(x+)的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝sin(2x+)的图象．
答案：y＝sin
5．解析：(1)列表：
x－ 0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
描点连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示．
(2)方法一：①把y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin(x-)的图象；
②把y＝sin(x-)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin()的图象；
③将y＝sin()图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin()的图象．
方法二：①把y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象；
②把y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin ()的图象；
③将y＝sin()的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin ()的图象．

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