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6．4　用样本估计总体
6．4.1　用样本估计总体的集中趋势
最新课程标准 结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义． 学科核心素养 1.了解实数平均数、中位数、众数的概念．(数学抽象) 2．会利用平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势．(直观想象)
教材要点
要点一　平均数
1．样本平均数
(1)若样本容量n，第i个个体是xi，则样本平均数＝________________．
在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近．于是，称为μ的估计．
(2)一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn.
2．简单估计：在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL.称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权．
对i＝1，2，…，L，用表示从第i层抽出样本的均值．称＝____________________是总体均值μ的简单估计．
要点二　众数、中位数
1．众数：观测数据中出现次数________的数．用M0表示．
2．中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，处于______位置的数．
3．众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．(　　)
(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　)
(3)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　)
(4)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．(　　)
2．高一(18)班十位同学的数学测试成绩分别为：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是(　　)
A．98 B．99
C．98.5 D．97.5
3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数为(　　)
A．12 B．14
C．15.5 D．17
4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
题型1　平均数
角度1　平均数的计算
例1　已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．
甲每天生产的次品件数 0 1 2 3 4
对应的天数 40 20 20 10 10
乙每天生产的次品件数 0 1 2 3
对应的天数 30 25 25 20
(1)将甲每天生产的次品件数记为x，日利润记为y(单位：元)，写出y与x的函数关系式；
(2)按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润．
方法归纳
利用公式＝计算．
角度2　利用样本均值估计总体均值
例2　某中学有高中生500人，其中男生有320人，女生有180人，现在从男生中随机抽取32人，测得他们的平均身高为173.5 cm；从女生中随机抽取18人，测得她们的平均身高为163.88 cm.试估计总体身高的均值．
方法归纳
利用公式＝W1＋W2＋…＋WL计算．
跟踪训练1　某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均数分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均数为________ h．
题型2　平均数、中位数和众数的实际应用
例3　下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表(单位：元)：
老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计
30 000 4 500 3 500 4 000 3 200 3 200 4 100
(1)计算所有人员的月平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
方法归纳
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
跟踪训练2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
题型3　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数例4　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均数．
方法归纳
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
跟踪训练3　为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
易错辨析　中位数对评价的影响
例5　小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？
解析：小明5次考试成绩，从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．
【易错警示】
易错原因 纠错心得
尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响． 中位数的特征是不受少数几个极端数据，即排序靠前或靠后数据的影响，而平均数则易受个别数据影响．弄清中位数和平均数各自的特征，便于作出正确合理的判断．
课堂十分钟
1．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　)
A．众数 B．中位数
C．平均数 D．都不会
2．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为(　　)
A．4.55 B．4.5
C．12.5 D．1.64
3．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)
A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数
4．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________．
5．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的平均数和中位数．
6．4　用样本估计总体
6．4.1　用样本估计总体的集中趋势
要点一
1.
2． + +… +
要点二
1．最多
2．中间
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：将这组数据按从小到大排列为73，82，84，91，98，98，99，101，110，118，则最中间的两个数为98，98，故中位数是×(98＋98)＝98.故选A.
答案：A
3．解析：把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14, 14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14.
答案：B
4．解析：＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵甲每天生产的次品件数为x，∴损失30x元，则其生产的正品件数为100－x，获得的利润为20(100－x)元，
∴y与x的函数关系式为y＝20(100－x)－30x＝2 000－50x，其中0≤x≤4，x∈N.
(2)这100天中，甲工人总利润为2 000×40＋1 950×20＋1 900×20＋1 850×10＋1 800×10＝193 500(元)，
∴平均日利润为＝1 935(元).
这100天中，乙工人的总利润为2 000×30＋1 950×25＋1 900×25＋1 850×20＝193 250(元)，
∴平均日利润为＝1 932.5(元) .
例2　解析：W1＝＝0.64，W2＝＝0.36，
＝W1＋W2＝0.64×173.5＋0.36×163.88≈170.03.
所以总体身高均值约为170.03 cm.
跟踪训练1　解析：依题意可知平均数
＝＝1 013.
答案：1 013
例3　解析：(1)月平均收入＝ (30 000＋4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝7 500(元).
(2)这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
(3)去掉老板的收入后的月平均收入＝ (4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝3 750(元).
这能代表打工人员的月收入水平．
跟踪训练2　解析：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
例4　解析：(1)由题干图知众数为＝75.
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
跟踪训练3　解析：(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13　(2)62.5　(3)64
[课堂十分钟]
1．解析：众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．
答案：A
2．解析：由条件得＝ (4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.
答案：A
3．解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.
答案：D
4．解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6.
∴这组数据的平均数是＝5.
答案：5
5．解析：(1)由(0.005＋0.010＋0.035＋0.030＋x)×10＝1，解得x＝0.02.
(2)这组数据的平均数为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝77.
中位数设为m，则0.05＋0.2＋(m－70)×0.035＝0.5，解得m＝.

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