资源简介

6．4.3　用频率分布直方图估计总体分布
6．4.4　百分位数
最新课程标准 能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计． 结合实例，能利用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 学科核心素养 1.会计算频率分布直方图有关的问题．(数学运算) 2．理解百分位数的概念，会用样本常用百分位数估计总体百分位数．(数学运算、数学分析)
教材要点
要点　百分位数
1．定义：百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个________位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数．一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，即Pr对应________数．
2．求一组观测数据的百分位数的一般步骤：
第一步：将所有数值按从小到大的顺序排列；
第二步：计算c＝n×r%；
第三步： 如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm，如果c是整数，则所求的Pr是.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．(　　)
(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)
(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)
(4)一组数据的第25百分位数与第75百分位数相同．(　　)
2．下列关于一组数据的第50分位数的说法正确的是(　　)
A．第50分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定是这组数据中的一个数据
D．它适用于总体是离散型的数据
3．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是(　　)
A．14　　B．17
C．19 D．23
4．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70) km的汽车大约有________辆．
题型1　用频率分布直方图估计总体分布
例1　为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下：
分组 频数 频率 频率/组距
[180，200) 1 0.05 0.002 5
[200，220) 1 0.05 0.002 5
[220，240) 2 0.10 0.005 0
[240，260) 3 0.15 0.007 5
[260，280) 4 0.20 0.010 0
[280，300) 6 0.30 0.015 0
[300，320) 2 0.10 0.005 0
[320，340] 1 0.05 0.002 5
合计 20 1 0.050 0
(1)作出频率分布直方图；
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台；
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限．
方法归纳
频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，因为抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，所以可近似地估计在这一范围内的可能性．
跟踪训练1　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
题型2　百分位数的计算
例2　现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
方法归纳
百分位数的关注点
(1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
(2)第p百分位数的特点是：在总体中任一个数小于或等于它的可能性是p%.
跟踪训练2　求下列数据的四分位数．
13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
题型3　百分位数的综合应用
例3　教育厅为了了解和掌握2021年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
分组 频数 频率
[80，85) 1 0.01
[85，90) 2 0.02
[90，95) 4 0.04
[95，100) 14 0.14
[100，105) 24 0.24
[105，110) 15 0.15
[110，115) 12 0.12
[115，120) 9 0.09
[120，125) 11 0.11
[125，130) 6 0.06
[130，135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的60，80百分位数；
(2)估计2021年高考考生的数学成绩的90百分位数．
方法归纳
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2)一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
跟踪训练3　某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为__________秒．
课堂十分钟
1．观察新生儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
2．下列一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6的第25百分位数是(　　)
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．18
4．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
6．4.3　用频率分布直方图估计总体分布
6．4.4　百分位数
要点
1．百分　中位
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．
答案：A
3．解析：因为8×70%＝5.6，所以70%分位数是第六项数据23.故选D.
答案：D
4．解析：0.04×10×100＝40.
答案：40
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)频率分布直方图如图所示．
(2)由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，
所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台．
(3)由频率分布直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)．
故估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为269 h．
跟踪训练1　解析：(1)第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
例2　解析：因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15，
因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5，
甲组数的75%分位数为＝＝9.5.
乙组数的25%分位数为＝＝1，
乙组的75%分位数为＝＝12.
跟踪训练2　解析：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：
12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，
计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，
所以数据的第25百分位数为＝16.5，
第50百分位数为＝21，
第75百分位数为＝27.5.
例3　解析：(1)从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，
前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，
前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.
由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，
样本数据的80百分位数一定在第八组[115，120)内，
由115＋5×≈119.4，
估计样本数据的80百分位数约为119.4.
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，
知90百分位数一定在第九组[120，125)内，
由120＋5×≈124.1，
估计2021年高考考生的数学成绩的90百分位数为124.1.
跟踪训练3　解析：设成绩的70%分位数为x，
因为＝0.55，＝0.85，
所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，
解得x＝16.5(秒)．
答案：16.5
[课堂十分钟]
1．解析：由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为0.001×300＝0.3.故选C.
答案：C
2．解析：把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8, 4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．故选A.
答案：A
3．解析：志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12，故选C.
答案：C
4．解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1, 2, 2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.故选D.
答案：D
5．解析：样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.
答案：

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