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专项培优②章末复习课
考点一　不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
跟踪训练1　(1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是(　　)
A．d－a＜c－b B．
C．bc＜ad D．
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
考点二　一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2　(1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
跟踪训练2　某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是(　　)
A．{x|－2＜x＜－1} B．
C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
考点三　基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3　(1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为(　　)
A．0 B．
C．1 D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
跟踪训练3　已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
专项培优②　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2答案：(1)ABD　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，∴＝≤0，D正确．故选D.
(2)a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a答案：(1)D　(2)见解析
例2　解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
跟踪训练2　解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得故选B.
答案：B
例3　解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
答案：(1)A　(2)8
跟踪训练3　解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．
答案：4＋2

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