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专项培优⑥章末复习课
考点一　抽样方法
1．两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样．
2．通过对两种抽样方法的考查，提升学生的数据分析素养．
例1　①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：(1)简单随机抽样；(2)分层抽样．则问题与方法配对正确的是(　　)
A．①(1)，②(2) B．①(2)，②(1)
C．①(1)，②(1) D．①(2)，②(2)
跟踪训练1　某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
考点二　用频率分布直方图估计总体分布
1．已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解．
2．已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．
3．通过对频率分布直方图的考查，提升学生的数据分析和逻辑推理素养．
例2　如图，是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(　　)
A．20 B．30
C．40 D．50
跟踪训练2　某电子商务公司对10 000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
考点三　用样本估计总体的集中趋势与离散程度
1．为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则是处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，则是中间两个的数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用的统计量，其计算公式是s＝.
2．通过对集中趋势与离散程度的估计的考查，提升学生的数据分析和数学运算素养．
例3　在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900.
(1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点．从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；
0 6 5 1 2 9 1 6 9 3 5 8 0 5 7 7 0
9 5 1 5 1 2 6 8 7 8 5 8 5 5 4 8 7
6 6 4 7 5 4 7 3 3 2 0 8 1 1 1 2 4
4 9 5 9 2 6 3 1 6 2 9 5 6 2 4 2 9
4 8 2 6 9 9 6 1 6 5 5 3 5 8 3 7 7
8 8 0 7 0 4 2 1 0 5 0 6 7 4 2 3 2
1 7 5 5 8 5 7 4 9 4 4 4 6 7 1 6 9
4 1 4 6 5 5 2 6 8 7 5 8 7 5 9 3 6
2 2 4 1 2 6 7 8 6 3 0 6 5 5 1 3 0
8 2 7 0 1 5 0 1 5 2 9 3 9 3 9 4 3
(2)若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
跟踪训练3　
(多选)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0 B.m0<
C．me考点四　样本的百分位数
1．四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
2．由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解．
3．通过对样本的百分位数的考查，提升学生的数据分析和数学运算素养．
例4　数学兴趣小组调查了12位大学毕业生的起始月薪，具体如表：试确定第85百分位数．
学生编号 起始月薪
1 3 850
2 3 950
3 4 050
4 3 880
5 3 755
6 3 710
7 3 890
8 4 130
9 3 940
10 4 325
11 3 920
12 3 880
跟踪训练4　新华中学高一年级共有1 200人参加了学校组织的诗词背诵比赛，已知所有学生成绩的第70百分位数是75分，则成绩大于或等于75分的学生至少有________人 (　　)
A．348 B．360
C．372 D.384
专项培优⑥　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故选B.
答案：B
跟踪训练1　解析：由题意知，＝，解得a＝30.
答案：30
例2　解析：根据频率和为1的性质，且小长方形的面积＝组距×＝频率．
所以前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，
∴0.75×＝0.25.
设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40.
故选C.
答案：C
跟踪训练2　解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3　(2)6 000
例3　解析：(1)根据题意，读出的编号依次是：512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超界)，512(重复)，687，858，554，876，647，547，332.
将有效的编号从小到大排列，得
332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
所以中位数为×(647＋687)＝667.
(2)记样本中8个A题目的成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目的成绩分别为y1，y2.
由题意可知
样本平均数为＝×(56＋16)＝7.2；
样本方差为s2＝ (32－0＋0.32＋2＋0＋1.28)＝3.56.
所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.
跟踪训练3　解析：由题图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，由于5分出现的次数最多，故m0＝5.＝≈6，所以m0答案：BD
例4　解析：将数据从小到大排列：3 710，3 755，3 850，3 880，3 880，3 890，3 920，3 940，3 950，4 050，4 130，4 325.计算i＝n×p%＝12×85%＝10.2，显然i不是整数，所以将i＝10.2向上取整，大于i的比邻整数11即为第85百分位数的位置，所以第85百分位数是4 130.
跟踪训练4　解析：将1 200人的成绩按照从小到大的顺序排列，75分排在第70百分位数，就是比75分少的人数占了70%，所以成绩大于或等于75分的学生至少占了30%，其人数为1 200×30%＝360.故选B.
答案：B

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