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专项培优③
　　　　
考点一　函数的概念与表示
1．定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．
2．通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例1　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　)
A．(－∞，) B．
C． D．
(2)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
①求函数f(x)的解析式；
②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．
跟踪训练1　(1)函数y＝的定义域是________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
考点二　分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2　已知函数f(x)＝
求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)＞.
跟踪训练2　设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
考点三　函数的图象及应用
1．函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
例3　(1)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A.a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
(2)向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　)
跟踪训练3　(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则f(x)＜0的解为________．
考点四　函数的性质及应用
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4　已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明．
(2)解不等式：f＜f.
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)．
(1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．
专项培优③　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意知解得x<1且x≠，所以f(x)的定义域是.故选D.
(2)①由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，(*)
f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
∴b－1＝0，∴b＝1.
将其代入(*)得a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
②由①知f(x)＝－(x－1)2＋，
显然f(x)在[1，2]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)max＝，
当x＝2时，f(x)min＝0，
故当x∈[1，2]时，函数的值域是.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，
故所求函数的定义域是[－1，7].
(2)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1，
∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－－1，
又∵f(0)＝0，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝.
答案：(1)[－1，7]　(2)f(x)＝
例2　解析：(1)f(x)的定义域为(0，1)＝.
易知f(x)在(0，1)上为增函数，
∴0(2)f(1)＝＝.
f(f(1))＝f＝＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或
②或
③解①得－∴f(x＋1)>的解集为＝.
跟踪训练2　解析：方法一：当01，f(a)＝，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6；
当a>1时，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2a，无解．
当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．
综上，f＝6.
方法二：由当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数，可知若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，∴0由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，解得a＝，
则f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
答案：C
例3　解析：(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝.又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
(2)由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有B符合，故选B.
答案：(1)C　(2)B
跟踪训练3　解析：(1)A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C，D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－>0，故C错，D正确．故选D.
(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知f(x)<0的解集为(－∞，－4)
答案：(1)D　(2)(－∞，－4)
例4　解析：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)．
由已知得>0，又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得－≤x<－1.
故原不等式的解集为.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对a∈[－1，1]恒成立．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
即解得m≤－2或m≥2.
故m的取值范围是{m|m＝0或m≤－2或m≥2}．
跟踪训练4　解析：(1)∵a<0，且函数f(x)在(－∞，3]上单调递增，
∴解得－≤a<0，
∴实数a的取值范围是－≤a<0.
(2)当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．
证明：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2＋2(1－a)x＋b＝ax2－2(1－a)x＋b对任意x≠0都成立，
∴a＝1，则g(x)＝x＋(x≠0)．
设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1则g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)，
①当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
②当b<0时，A＝(－∞，0)或(0，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，
∴g(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
③当b>0时，A＝(－∞，－)或(，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，g(x)在区间(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增；
同理g(x)在区间(－，0)和(0，)上单调递减．
综上可知，当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．

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