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专项培优⑤ 章末复习课
考点一　三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
(3)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
(2)tan α＝2，则sin2α－3sin αcos α＋1＝________．
跟踪训练1　(1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为(　　)
A．tan α＝ B．sin β＝
C．cos β＝ D．Q
(2)若cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
考点二　三角函数的图象
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式．
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的．
跟踪训练2　(1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin 2x的图象大致是(　　)
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
考点三　三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)(多选)设函数f(x)＝sin(2x+)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在()上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点()对称
(2)设函数f(x)＝sin()的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈().
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[]上有实数解，求实数k的取值范围．
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数y＝sin 是偶函数
B．存在实数α，使 sin α cos α＝1
C．直线x＝是函数y＝sin 图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β
(2)设函数f(x)＝sin(2x-)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
专项培优⑤　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＝＝＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
答案：(1)D　(2)
跟踪训练1　解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P(n>0)，α是第一象限角，可得cosα＝，
∴sin α＝＝，可得tanα＝＝，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α＋，
则可得sin β＝sin ＝cos α＝，cos β＝cos ＝－sin α＝－，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为，故D错误．故选AB.
(2)因为cos (π＋α)＝－，所以－cos α＝－，可得cos α＝，
因为<α<2π，所以sin α＝－＝－＝－，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
答案：(1)AB　(2)
例2　解析：(1)由题图知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
综上，所求函数解析式为y＝sin －1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin ；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin ；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练2　解析：(1)f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)因为y＝sin ＝cos ＝cos ，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos .故选D.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：(1)∵函数f(x)＝sin ＝cos 2x，
∴f(x)＝cos 2x，
∵f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确．
解析：(2)①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－＝＋kπ，k∈Z
∴ω＝，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
∴函数f(x)＝sin .
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，所以g(x)＝sin .
当0≤x≤，即－≤2x－时，g(x)递增，g(x)∈，
当所以x∈时，g(x)∈，
因为g(x)＋k＝0在区间上有实数解，
所以实数k的取值范围是.
答案：(1)ABD　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)对于A：函数y＝sin ＝cos x，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin α cos α＝1，故sin α和cos α互为倒数，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin α cos α＝1，故B错误；
对于C：当x＝时，f()＝sin ＝－1，故C正确；
对于D：设α＝，β＝，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；故选AC.
(2)①因为f(x)＝sin
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
②当x∈时，2x－∈，
此时sin ∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)最大值为，最小值为－.
答案：(1)AC　(2)见解析

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