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专项培优①章末复习课
考点一　集合的基本概念
1．与集合中的元素有关问题的求解策略：
(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．
(2)看元素是否具有相应的限制条件．
(3)根据限制条件确定参数的值或元素的个数时，注意对元素互异性的检验．
2．通过对集合基本概念的理解和应用，提升学生的数学抽象、数学运算素养．
例1　(1)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A中元素的个数是(　　)
A．3　　B．4
C．5 D．6
(2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，a＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．0或4
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，则集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝(　　)
A．{1，2，3} B．{0，1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
考点二　集合间的关系
1．集合与集合间的关系是包含(真包含)和相等关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素；应用两集合间的关系时注意对细节的把握，不要忽略掉特殊情况，如已知A B的情况下，不要忽略掉A＝ 的情况．
2．通过对集合间的关系的应用，提升学生的逻辑推理、直观想象素养．
例2　(1)设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x＜－1或x＞1}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M＝P B．P?M
C．M?P D．( UM)＝
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若A B，则实数a的取值范围是________．
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　)
A．A＝B B．A＝
C．A?B D．B?A
(2)集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|a－1≤x≤2a－1}，若B A，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}
C．{a|0≤a≤1} D．{a|0＜a＜1}
考点三　集合的运算
1．集合的运算有交(、并(、补( UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解．
2．通过对集合运算的掌握，提升直观想象、数学运算素养．
例3　(1)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A＝(　　)
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
跟踪训练3　(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，则P∪(CRQ)＝(　　)
A．{x|2≤x≤3} B．{x|－2＜x≤3}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤－2或x≥1}
(2)
设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2}　　　　 B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
考点四　充分条件与必要条件
1．充要条件是数学中较为重要的一个概念，在高考中经常有所考查，以数学的其他知识为载体，考查充分条件、必要条件、充要条件的判断或寻求充要条件的成立性．
2．通过对充分条件与必要条件的掌握，提升逻辑推理、数学运算素养．
例4　(1)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|m≥8} B．{m|m＞8}
C．{m|m＞－4} D．{m|m≥－4}
跟踪训练4　(1)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若－a＜x＜－1成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
考点五　全称命题与特称命题
1．解题策略：
(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一命题为假．
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思路，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围．解题过程中要注意相关条件的限制．
2．通过对全称命题与特称命题的掌握，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例5　(1)已知命题p： n∈N*，n2＞n－1，则命题p的否定 p为(　　)
A． n∈N*，n2≤n－1
B． n∈N*，n2＜n－1
C． n∈N*，n2≤n－1
D． n∈N*，n2＜n－1
(2)命题“ x∈R，使x2＋ax－4a＜0”为假命题是“－16≤a≤0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
跟踪训练5　(1)(多选)下列四个命题中的假命题为(　　)
A． x∈N，1＜4x＜3
B． x∈Z，5x－1＝0
C． x∈Q，x2－1＝0
D． x∈R，x2＋x＋2＞0
(2)已知命题p： x∈R，m|x|＋1≤0，若 p为假命题，则实数m的取值范围是________．
专项培优①　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A中的元素个数为5.故选C.
(2)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数可解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(不合题意，舍去)．故选A.
答案：(1)C　(2)A
跟踪训练1　解析：(1)逐个列举可得，x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1，0，1，2.共5个．故选C.
(2)集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，由y＝|x＋1|，x∈A，当x＝－3，1时，y＝2；当x＝－2，0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3，故得集合B＝{0，1，2，3}．故选C.
答案：(1)C　(2)C
例2　解析：(1)因为P＝{x|x＜－1或x＞1，所以M≠P，A错误；M?P，B错误，C正确；( UM)＝{x|x＜－1}，D错误，故选C.
(2)借助数轴建立不等式组求解．因为A B，所以解得0≤a≤1.
答案：(1)C　(2)0≤a≤1
跟踪训练2　解析：(1)由真子集的概念知B?A，故选D.
(2)当B＝ ，即2a－1答案：(1)D　(2)A
例3　解析：(1)由条件可得A＝{1，2}，故(A＝{1，2，3，4}．故选D.
(2)因为A＝{1}，所以1∈B，所以1是关于x的方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，解得m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．故选C.
答案：(1)D　(2)C
跟踪训练3　解析：(1)∵Q＝{x∈R|x≥2或x≤－2}
∴ RQ＝{x∈R|－2＜x＜2}，则P∪( RQ)＝{x|－2＜x≤3}故选B.
(2)注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3，2}，因此阴影部分显然表示的是A＝{2}．故选A.
答案：(1)B　(2)A
例4　解析：(1)因为N?M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．故选B.
(2)由4x－m<0得x<，由1≤3－x≤4得－1≤x≤2.
∵p是q的一个必要不充分条件，∴>2，即m>8.故选B.
答案：(1)B　(2)B
跟踪训练4　解析：(1)若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，即a＝2 (a－1)(a－2)＝0.若(a－1)(a－2)＝0，则a＝2或a＝1，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．故选A.
(2)根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－22.
答案：(1)A　(2)a>2
例5　解析：(1) p： n∈N*，n2≤n－1.故选C.
(2)依题意得“ x∈R，x2＋ax－4a≥0”是真命题，故Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选C.
答案：(1)C　(2)C
跟踪训练5　解析：(1)由1<4x<3得0恒成立，因此选项D中命题为真命题．故选ABC.
(2)若 p为假命题，则p为真命题．
当m≥0时，m|x|＋1≥1>0，p为假命题；当m<0时，取x＝，则m|x|＋1＝m＋1＝－2＋1＝－1<0，p为真命题．因此若 p为假命题，则实数m的取值范围是{m|m<0}．
答案：(1)ABC　(2){m|m<0}

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