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第2课时　表示集合的方法
教材要点
要点一　集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素____________出来，叫作________．常用格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．
状元随笔　列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
把集合中元素________，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合．这叫作________．一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性，有些集合用一句描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．
状元随笔　描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
要点二　区间
1．区间的几何表示(a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ________
{x|a＜x＜b} 开区间 ________
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 ________
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 ________
2．实数集R的区间表示
实数集R可以用区间表示为________，“∞”读作“无穷大”(或“无穷”)；“－∞”读作“负无穷大”(或“负无穷”)；“＋∞”读作“正无穷大”(或“正无穷”)．
3．无穷大的几何表示
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a} ________
{x|x＞a} ________
{x|x≤b} ________
{x|x＜b} ________
状元随笔　关于区间的3点说明：
(1)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示，并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0，1，2}就不能用区间表示．
(2)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a 称为区间(a，b)或[a，b]的长度．
(3)用“－∞”或“＋∞”作为区间端点时，需用开区间符号．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　)
(3)∞是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．(　　)
(4)集合{x|x＞3}与集合{t|t＞3}相等．(　　)
2．集合{x∈N|x－3＜2}用列举法表示是(　　)
A．{1，2，3，4}　　　　　B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为(　　)
A．{1，3} B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}
4．把集合{x|x≥0}用区间表示为________．
题型1　列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
方法归纳
用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么．是数，是点，还是其他元素．
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
题型2　描述法表示集合
例2　用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有非负整数构成的集合；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(4)集合{1，3，5，7，…}．
方法归纳
1．用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．
2．若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
跟踪训练2　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
题型3　集合表示方法的综合应用
角度1　用适当的方法表示集合
例3　用适当的方法表示下列集合
(1)被3除余1的自然数组成的集合；
(2)自然数的平方组成的集合；
(3)方程组的解集；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的集合．
方法归纳
根据集合中元素所具有的属性选择适当的方法，列举法的特征是能清楚地展现集合的元素，通常用于元素个数较少的集合，当集合中元素个数较多或无限时，通常不宜采用列举法，应选择描述法．描述法形式简单，用于元素具有明显的共同特征的集合，当元素的共同特征不易寻找，或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法．
跟踪训练3　用适当的方法表示下列集合：
(1)所有奇数组成的集合B；
(2)二次函数y＝x2的图象上所有点的纵坐标组成的集合；
(3)D＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}．
(4)构成英文单词mathematics的全体字母．
角度2　已知集合中元素个数求参数
例4　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
变式探究　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．
方法归纳
1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．
2．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果，需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
跟踪训练4　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
易错辨析　混淆点集与数集致误
例5　用列举法表示集合正确的是(　　)
A．(－1，1)，(0，0) B．{(－1，1)，(0，0)}
C．{x＝－1或0，y＝1或0} D．{－1，0，1}
解析：解方程组可得或故答案为{(－1，1)，(0，0)}．故选B.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
没弄清描述法中代表元素是数还是点，导致错选． 首先要明确集合中元素的属性，即把握住集合的代表元素是什么，然后明确元素具有怎样的共同特征．
课堂十分钟
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
2．设集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x A}，则B＝(　　)
A．{－1} B．{2}
C．{－1，2} D．{1，2}
3．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
4．用区间表示下列数集：
(1){x|2＜x≤4}＝________；
(2){x|x＞－1，且x≠2}＝________．
5．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x＜5且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x，y均为正整数}；
(5){－3，－1，1，3，5}．
第2课时　表示集合的方法
新知初探·课前预习
要点一
1．一一列举　列举法
2．共有的　描述法
要点二
1．[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]
2．(－∞，＋∞)
3．[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，b]　(－∞，b)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由x－3<2得x<5，又x∈N，所以集合表示为{0，1，2，3，4}．
故选D.
答案：D
3．解析：解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列举法表示解集为{1，3}．
答案：A
4．答案：[0，＋∞)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合为{(0，1)}．
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
跟踪训练1　解析：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
例2　解析：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x|0≤x<10，x∈Z}；
(2)数轴上与原点的距离大于3 的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的特征是横、纵坐标符号相反，因此，构成的集合用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}；
(4)集合{1，3，5，7，…}内的元素是全体正奇数，用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
跟踪训练2　解析：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋.所以正偶数可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
例3　解析：(1)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．
(2)列举法：{0，12，22，32，…}，也可用描述法：{x|x＝n2，n∈N}．
(3)列举法：{(2，1)}．描述法：
(4)描述法：{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
跟踪训练3　解析：(1)描述法：B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．
(2)描述法：{y|y＝x2}．
(3)列举法：{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
(4)列举法：{m，a，t，h，e，i，c，s}．
例4　解析：①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意；
②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m＝0或m≥.
变式探究　解析：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由例题可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0.所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为m≤.
跟踪训练4　解析：(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．
[课堂十分钟]
1．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.
答案：B
2．解析：当x＝－1时，2－(－1)＝3 A；当x＝1时，2－1＝1∈A；当x＝2时，2－2＝0 A.∴B＝{－1，2}．故选C.
答案：C
3．解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{　}”与“全体”意思重复．故选D.
答案：D
4．答案：(1)(2，4]　(2)(－1，2)
5．答案：(1){－2，－1，0，1，2}；
(2){3，6，9}；
(3){0，1，2，3，4}；
(4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．第一章 集合与逻辑
1．1　集合
最新课程标准 学科核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 3．在具体情境中，了解空集的含义． 1.能判断元素与集合的关系．(逻辑推理) 2．记住并会用常见数集的表示符号．(数学抽象) 3．能用列举法和描述法表示集合．(数学抽象) 4．能利用集合的基本属性解题．(逻辑推理)
1.1.1　集合
第1课时　集合与元素
教材要点
要点一　集合与元素的概念
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个________________，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个________．
要点二　元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果________________，就说a属于S ________ a属于S
不属于 如果________________，就说a不属于S ________ a不属于S
状元随笔　a∈S与a S这两种情况有且只有一种成立．
要点三　元素的基本属性
(1)互异性：同一集合中的元素是________________．
(2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
(3)无序性：集合中的元素________．
状元随笔　(1)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(2)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．
要点四　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ________ ________ ________ ________ ________
状元随笔　
要点五　集合的分类
(1)有限集：元素个数________的集合叫有限集(或有穷集)．
(2)无限集：元素________的集合叫无限集(或无穷集)．
(3)空集： 没有元素的集合叫空集，记作________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)
(2)我班喜欢打篮球的同学不能组成一个集合．(　　)
(3)空集是无限集．(　　)
(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(　　)
2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)
A．0∈N B．π∈Q
C．－1∈Z D． R
3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．
4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A，2______A．(用∈或 填空)
题型1　集合概念的理解
例1　判断下列每组对象能否构成一个集合：
(1)援助湖北抗击新冠疫情的医护人员；
(2)我校2021级所有高个子同学；
(3)不小于3 的自然数；
(4)的近似值的全体．
方法归纳
判断一组对象能否组成集合的策略
(1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)注意集合中元素的互异性、无序性．
跟踪训练1　(多选)下列对象能构成集合的是(　　)
A．联合国常任理事国
B．充分接近的实数的全体
C．方程x2＋x－1＝0的实数根
D．全国著名的高等院校
题型2　元素与集合的关系
例2　(1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝，则(　　)
A．a∈A B．a2∈A
C．∈A D．a＋1∈A
(2)给出下列关系：①∈R；②|－3| N；③|－|∈Q；④0 N.其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练2　(1)给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a Z；
③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A．a∈M B．a M
C．a＝M D．a≠M
题型3　集合特性的应用
例3　设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)集合A不可能是单元素集．
变式探究　本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)若a∈A，则1－∈A.
方法归纳
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
跟踪训练3　设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求实数x应满足的条件．
(2)若－2∈A，求实数x.
易错辨析　忽略集合元素的互异性
例4　设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且A＝B，则a2 021＋b2 021＝________．
解析：易知a≠0，a≠1，则根据两个集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或＝1.若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合题意．综上可知a＝－1，b＝1.故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋12 021＝0.
答案：0
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素． 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论．
课堂十分钟
1．下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
2．设M是所有偶数组成的集合，则(　　)
A．3∈M B．1∈M
C．2∈M D．0 M
3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a A，则实数a的取值范围是________．
5．已知集合A是由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2是不是集合A中的元素．
第一章　集合与逻辑
1．1　集合
1．1.1　集合
第1课时　集合与元素
新知初探·课前预习
要点一
　集合或集　元素
要点二
a是集合S的元素　a∈S　a不是集合S中的元素　a S
要点三
　互不相同的　没有顺序
要点四
N　N*或N＋　Z　Q　R
要点五
　有限　无限多　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确；是实数，D不正确．故选AC.
答案：AC
3．解析：由元素的互异性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.
答案：2，3
4．解析：由4x－5<3得x<2，则1∈A，2 A.
答案：∈　
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)能构成集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(3)对于任意一个自然数能判断是不是不小于3，所以能构成集合．(4)“的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．
跟踪训练1　解析：B、D中的元素不能确定，不能构成集合，故选AC.
答案：AC
例2　解析：(1)a＝<＝4<5，
所以a∈A，a＋1<＋1＝5，
所以a＋1∈A，a2＝()2＋2＋()2＝5＋2>5，所以a2 A，
＝＝
<5，所以∈A.故选ACD.
(2)①正确；②③④不正确．故选A.
答案：(1)ACD　(2)A
跟踪训练2　解析：(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．
(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a M.
答案：(1)B　(2)B
例3　证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，，结论得证．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．
变式探究　证明：(1)因为3∈A，
所以＝－∈A，
所以＝∈A，
所以＝3∈A，
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－，结论得证．
(2)因为a∈A，所以∈A，
所以＝＝1－∈A.
跟踪训练3　解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.
[课堂十分钟]
1．解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.
答案：B
2．解析：∵0和2是偶数，∴2∈M，0∈M，故选C.
答案：C
3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
答案：A
4．解析：∵x≥2，且a A，∴a<2.
答案：a<2
5．解析：因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2＝3×(－2)＋×2是形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2是集合A中的元素．

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