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1．1.2　子集和补集
最新课程标准 学科核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 3．在具体情境中，了解空集的含义． 4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 1.能识别给定集合的子集、真子集．(逻辑推理) 2．会列举有限集的所有子集、真子集的方法．(逻辑推理) 3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．(直观想象) 4．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确地进行集合的补集运算．(数学运算)
教材要点
要点一　子集
文字语言 符号语言 图形语言
如果集合A的________元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，则称A是B的一个子集． 由x∈A，能推出x∈B，就说__________，读作____________或____________
状元随笔　(1)集合A为集合B的子集，表明集合A如果存在元素，则它们都是集合B的元素，但集合B的元素则不一定是集合A的元素；(2)符号“∈”“ ”和“ ”“ ”的使用范围是不一样的，前者用于表示元素和集合的关系，后者用于表示集合和集合的关系．
要点二　集合相等
如果A B并且B A，就说两个集合相等，记作A＝B.
状元随笔　
1．若A B，且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B，且B A.
2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
要点三　真子集
如果A B但A≠B，就说A是B的真子集，记作________．
状元随笔　在真子集的定义中，A ?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
要点四　子集的性质
1．每一个集合都是它自己的子集，即A A.
2．空集是任一集合的子集．
3．对于集合A，B，C，若A B，B C，则A C；若A?B，B?C，则A?C.
要点五　全集与补集
1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集)．
状元随笔　全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；在具体题目中，全集一般是给定的．
2．补集
自然语言 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作________
符号语言 UA＝________________________
图形语言
运算性质 A∪( UA)＝________，A∩( UA)＝________， U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U
状元随笔　(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是相互依存、不可分割的两个概念．
(2) UA包含三层意思：①A U；② UA是一个集合，且( UA) U；③ UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若x∈U，则x∈A或x∈( UA)，二者必居其一．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．(　　)
(2)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　)
(3)任何集合都有子集和真子集．(　　)
(4)在全集U中存在某个元素x0，既有x0 A，又有x0 ( UA)．(　　)
2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(多选)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的是(　　)
A．1∈A B．{－1}∈A
C． A D．{－1，1} A
4．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，则 UA＝________．
题型1　集合的子集、真子集问题
例1　(1)满足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
方法归纳
1．假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
跟踪训练1　(1)若集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}，则A的真子集个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)写出满足{3，4}?P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
题型2　集合间关系的判断
例2　指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
(3)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}；
(4)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}．
方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练2　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是(　　)
A．M?T B．M?T
C．M＝T D.M T
(2)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
题型3　补集运算
例3　(1)设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，则 UM＝(　　)
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x≤－2或x≥2}
(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
方法归纳
求补集的原则和方法
(1)一个基本原则．
求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
(2)两种求解方法：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
跟踪训练3　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则 UA＝________．
易错辨析　忽略空集的特殊性致误
例4　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
解析：由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝ 时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了N＝ 这种情况． 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．
课堂十分钟
1．集合A＝{－1，0，1}，在A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．0∈ B． {0}
C．若a∈N，则－a N D．π Q
3．已知集合A＝{x|ax＝x2}，B＝{0，1，2}，若A B，则实数a的值为(　　)
A．1或2 B．0或1
C．0或2 D．0或1或2
4．设集合A＝{x∈R|x2＋x－1＝0}，B＝{x∈R|x2－x＋1＝0}，则集合A，B之间的关系是________．
5．已知集合A＝{x|－11}，求 RA， RB.
1．1.2　子集和补集
新知初探·课前预习
要点一
每个　A B(或B A)　A包含于B　B包含A
要点三
A?B
要点五
UA　{x|x∈U，且x A}　U　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
答案：B
3．解析：由A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}知A、C、D正确，B错误．故选ACD.
答案：ACD
4．解析：由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故 UA＝{4，6，7，9，10}．
答案：{4，6，7，9，10}
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)根据题意，满足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}共6个．
(2)因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以A的子集有： ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
答案：(1)A　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)∵集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}＝{0，1}，
∴集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}的真子集为 ，{0}，{1}，
所以A的真子集个数为3.故选C.
(2)由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}．
答案：(1)C　(2)见解析
例2　解析：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
∴B?A.
(2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴B?A.
(3)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素，也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，故A＝B.
(4)对于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5
∵a∈N*，∴a＋2∈N*.∴x∈B.由子集的定义知A B.
设1∈B，此时a2－4a＋5＝1，
解得a＝2∈N*，∵1＋a2＝1在a∈N*时无解，
∴1 A.综上所述，A?B.
跟踪训练2　解析：(1)∵M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，
∴M?T.
(2)∵有一个角是直角的菱形是正方形．
∴正方形应是菱形的一部分，
∵正方形、菱形都属于平行四边形，
∴它们之间的关系是：Q M N P.
答案：(1)A　(2)B
例3　解析：(1)如图，在数轴上表示出集合M，
可知 UM＝{x|－2≤x≤2}．故选A.
(2)∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴m＝－3.
答案：(1)A　(2)－3
跟踪训练3　解析：借助数轴得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
答案：{x|x＝－3或x>4}
[课堂十分钟]
1．解析：含有元素0的子集有：{0}，{0，－1}，{0，1}，{－1，0，1}，共4个．故选B.
答案：B
2．解析：空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确．故选BD.
答案：BD
3．解析：依题意，当a＝0时，A＝{0}，满足A B.
当a≠0时，若A B，则1∈A，或者2∈A，若1∈A，则a×1＝12，得a＝1；若2∈A，则2a＝22得a＝2，
综上：a＝0，1或a＝2.故选D.
答案：D
4．解析：由已知A＝，B＝ ，故B?A.
答案：B?A
5．解析： RA＝{x|x≤－1或x≥2}， RB＝{x|x≤1}．

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