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1．1.3　集合的交与并
最新课程标准 学科核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 2．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 1.能用Venn图表示并集、交集．(直观想象) 2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确地进行集合的并集与交集运算．(数学运算)
教材要点
要点一　交集
自然语言 把所有既属于集合A又属于集合B的____________组成的集合，称为A与B的交集
符号语言 ________________________(读作“A交B”)
图形语言
运算性质 A＝B＝A，A＝ ＝ ，(A＝A ________________
状元随笔　集合运算中的“又”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B.
要点二　并集
自然语言 把集合A，B中的元素______________组成的集合，称为A与B的并集
符号语言 A＝________________(读作“A并B”)
图形语言
运算性质 A＝B＝A，A＝ ＝A，A (A＝B ________
状元随笔　(1)并集中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同，生活中的“或”是只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分不一定是互相排斥的，“x∈A或x∈B”包括下列三种情况：①x∈A，但x B；②x A，但x∈B；③x∈A且x∈B.
(2)对于A不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)集合A中的元素个数一定等于集合A和B的元素个数的和．(　　)
(2)若集合A，B没有公共元素，则这两个集合就没有交集．(　　)
(3)若A＝A，B≠ ，则B中的每个元素都属于集合A.(　　)
(4)若A＝C则A＝C.(　　)
2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A＝(　　)
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
3．设集合A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，则A等于(　　)
A．{5，8} B．{3，6}
C．{4，7} D．{3，5，6，8}
4．设集合A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A＝________．
题型1　并集的运算
例1　(1)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A＝(　　)
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－1} D．{x|x＞1}
(2)已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0，x∈Z}，B＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈Z}，若A＝{2，3，5}，则A＝________，B＝________.
方法归纳
并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＝0}，B＝{1，2，3}，则A＝(　　)
A．{3} B．{1，2，3}
C．{0，2，3} D．{0，1，2，3}
(2)若集合A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A＝{2，4，x}，则x＝________．
题型2　交集的运算
例2　(1)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，则A＝(　　)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}
(2)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则＝(　　)
A．{1，－2，4} B．{(－2，4)}
C．{(1，1)，(－2，4)} D．
方法归纳
求交集的基本思路
首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A＝(　　)
A．{－2，－1，0} B．{－1，0，1}
C．{－1，0} D．{0，1}
(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x＞3}，则＝________________________．
题型3　交集、并集性质的应用
例3　(1)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A＝A，则实数a＝________．
(2)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若 ?(A且A＝ ，求a的值．
方法归纳
求集合运算中参数的思路
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解，或解集为怎样的范围的问题．
(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时，需注意两点：
①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件．
②对于涉及A＝A或A＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性．
跟踪训练3　(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A则实数a的取值范围为________．
(2)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A＝R，则实数a的取值范围是________．
易错辨析　利用数轴求参数时忽略端点值能否取到
例4　已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若A＝B，则实数a取值范围为________．
解析：∵A＝B，∴B A.
利用数轴法表示B A.
如图所示．
由数轴知a＋3＜－5或a＋1≥4，
解得a＜－8或a≥3.
∴实数a的取值范围为{a|a＜－8或a≥3}．
答案：{a|a＜－8或a≥3}
易错警示
易错原因 纠错心得
在求解过程中易忽略端点值的取舍，误得a＋3≤－5或a＋1≥4，解得a≤－8或a≥3. 正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求．
课堂十分钟
1．设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A＝(　　)
A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－5≤x≤2}
3．(多选)已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M＝{4，5}，则N可能为(　　)
A．{1，2，3，4，5} B．{4，5，6}
C．{4，5} D．{3，4，5}
4．设集合A＝{1，2}，则满足A＝{1，2，3}的集合B的个数是________．
5．已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
(1)在①a＝7，②a＝5，③a＝4这三个条件中选择一个条件，使得A并求A；
(2)已知A＝{x|3≤x≤8}，求实数a的取值范围．
集合的新定义问题
集合新定义问题的类型：
(1)新定义概念，(2)新定义性质，(3)新定义运算．
解决集合新定义问题的着手点：
(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．
一、新定义集合的概念
例1　若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.
则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b, c}}；
②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________.
解析：①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}＝{a，c} τ，故①中的τ不是集合X上的拓扑；②满足集合X上的拓扑的定义；③中{a，b}＝{a，b，c} τ，故③中的τ不是集合X上的拓扑；④满足集合X上的拓扑的定义，故答案为②④.
答案：②④
二、新定义集合的性质
例2　(1)若集合A具有以下性质：
①0∈A，1∈A；②若x∈A，y∈A，则x －y∈A，且x≠0时，∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”．则(　　)
A.{1，3，4}为“权集”
B．{1，2，3，6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
解析：(1)①假设集合B是“好集”，当－1∈B，1∈B时，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾，所以集合B不是“好集”．②因为0∈Q，1∈Q，对任意x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x －(－y)∈A，即x＋y∈A.
(2)由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误．
答案：(1)C　(2)B
三、新定义集合的运算
例3　(1)定义集合运算：AB＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A ＝{， }，B ＝{1, }，则集合AB的真子集个数为(　　)
A．8 B．7
C．16 D．15
(2)已知集合A ＝{x∈N|－1≤x≤3}，B ＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
解析：(1)由题意A＝{}，B＝{1，}，则AB中的元素有(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0.(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四种结果，则由集合中元素的互异性可知，集合AB中有3个元素，故集合AB真子集的个数为23－1＝7.故选B.
(2)A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3}，
∴A*B中的元素有：
0 ＋1＝1，0 ＋3＝3，1 ＋1＝2，1 ＋3＝4，2 ＋1＝3(舍去)，2 ＋3＝5，3 ＋1＝4(舍去)，3 ＋3＝6
∴A*B＝{1，2，3，4，5，6}
∴A*B中的所有元素之和为
1 ＋2＋ 3 ＋4 ＋5 ＋6＝21.故选D.
答案：(1)B　(2)D
1．1.3　集合的交与并
新知初探·课前预习
要点一
元素　A＝{x|x∈A且x∈B}　A B
要点二
放在一起　{x|x∈A或x∈B}　A B
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A＝{1，2，3，4}．
答案：A
3．解析：A＝{5，8}．
答案：A
4．解析：∵A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，
∴A＝{x|3≤x<5}．
答案：{x|3≤x<5}
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
所以A＝{x|x>－1}．故选C.
(2)设A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}，
因为x1，x2是方程x2－px＋15＝0的两根，
所以x1x2＝15，由已知条件可知
x1，x2∈{2，3，5}，所以x1＝3，x2＝5或x1＝5，x2＝3，所以A＝{3，5}，
因为x3，x4是方程x2－5x＋q＝0的两根，
所以x3＋x4＝5，由已知条件可知
x3，x4∈{2，3，5}，
所以x3＝3，x4＝2或x3＝2，x4＝3，
所以B＝{2，3}．
答案：(1)C　(2){3，5}　{2，3}
跟踪训练1　解析：(1)∵A＝{x|x2－3x＝0}＝{0，3}，∴A＝{0，1，2，3}．故选D.
(2)因为A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A＝{2，4，x}，所以B A，所以x2＝4或x2＝x.解得x＝0，1或±2.由元素的互异性知x≠2，所以x＝0，1或－2.
答案：(1)D　(2)0，1或－2
例2　解析：(1)∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，
∴A＝{x|0＜x＜2}．故选A.
(2)由A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}得解得或∴A＝{(1，1)，(－2，4)}．故选C.
答案：(1)A　(2)C
跟踪训练2　解析：(1)由题意A＝{－1，0}．故选C.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
由交集的定义可得A＝{x|－5≤x≤－2或3答案：(1)C　(2){x|－5≤x≤－2或3例3　解析：(1)∵集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，A＝A，
∴B A，
∴a＋2＝3，或a＋2＝a2，
解得a＝1，或a＝2，
当a＝1时，A＝{1，3，1}，不成立；
当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，成立．
故实数a＝2.
(2)A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，
B＝{2，3}，C＝{－4，2}．
因为 ?(A且A＝ ，
那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.
即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.
当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
不符合A＝ .综上知，a＝－2.
答案：(1)2　(2)－2
跟踪训练3　解析：(1)由A借助于数轴可知a≥－1.
(2)∵A＝R，画出数轴，如图．
由数轴可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
答案：(1)a≥－1　(2)a≤1
[课堂十分钟]
1．解析：由题设有A＝，故选B.
答案：B
2．解析：结合数轴(如图)得A＝{x|x≥－5}．
答案：A
3．解析：由题意，集合M＝{1，2，3，4，5}，M＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}．故选BC.
答案：BC
4．解析：易知3∈B，除此之外，1，2可以在B中，也可不在B中，共有22种可能，故集合B的个数为4.
答案：4
5．解析：(1)选择条件②a＝5(或③a＝4)．
若选②，则A＝{x|3≤x≤6}≤x≤8}＝{x|5≤x≤6}．
若选③，则A＝{x|3≤x≤6}≤x≤8}＝{x|4≤x≤6}．
(2)因为A＝{x|3≤x≤8}，A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
结合数轴可得3≤a≤6，
故实数a的取值范围为3≤a≤6.

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