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1．2.2　充分条件和必要条件
最新课程标准 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 学科核心素养
1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断．(逻辑推理) 2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象) 3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑推理)
教材要点
要点一　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q，记为：________ 由p不能推出q，记为：________
条件 关系 p是q的____________ p不是q的____________
q是p的____________ q不是p的____________
状元随笔　若p q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．
要点二　充要条件
如果既有p q，又有q p，就记作________．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件．
状元随笔　对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．(　　)
(2)p是q的必要条件的含义是：如果p不成立，则q一定不成立．(　　)
(3)p是q的充分条件只反映了p q，与q能否推出p没有任何关系．(　　)
(4)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　)
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．“x＞0”是“x＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．
题型1　充分条件、必要条件的判断
例1　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：平行四边形，q：正方形；
(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根．
方法归纳
充分条件、必要条件判断方法
(1)定义法
①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p q”及“q p”的真假．
③根据推式及条件得出结论．
(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
跟踪训练1　(1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　)
A．x＞3.5 B．x＜3
C．x＞4 D．x＜4
题型2　充要条件的判断
例2　(1)(多选)下列结论中，正确的有(　　)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件
(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
①s是q的什么条件？
②r是q的什么条件？
③p是q的什么条件？
方法归纳
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练2　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分不必要条件
B．丙是甲的必要不充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙是甲的既不充分又不必要条件
题型3　充分条件、必要条件和充要条件的证明
例3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
方法归纳
充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”；
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性( )，也可以直接证明充要性．
跟踪训练3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型4　充分条件、必要条件和充要条件的应用
例4　设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
变式探究　设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
方法归纳
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练4　集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
易错辨析　混淆条件与结论致误
例5　使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是(　　)
A．0＜x＜1 B．－＜x＜1
C．－1＜x＜2 D．0＜x＜2
解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q” B?A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.
答案：A
易错警示
易错原因 纠错心得
混淆条件与结论容易得出错误答案C. 弄清此类题的条件与结论．本题条件是“选项”，结论是“ 0＜x＜2”，所以“选项”是“0＜x＜2”的真子集．
课堂十分钟
1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知x∈R，则“x＜2”是“＞1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈A”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件
4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________.
5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．
1．2.2　充分条件和必要条件
新知初探·课前预习
要点一
p q　pq　充分条件　充分条件　必要条件　必要条件
要点二
p q　逆命题
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．
答案：A
3．解析：∵x>0 D /x>1但x>1 x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
4．解析：∵△ABC是锐角三角形说明△ABC的三个内角都是锐角．∴△ABC是锐角三角形 ∠ABC为锐角，反之不一定．
答案：充分不必要
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0；a2＋b2＝0 a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形 四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件．
(3)由图可知B?A，所以p是q的必要不充分条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.∵m<－1 m<－，m<－D /m<－1，∴p是q的充分不必要条件．
跟踪训练1　解析：(1)设A为正方体，其棱长为2，体积为8，B为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A.
(2)∵x>3.5 x>3.14，x>4 x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.
答案：(1)A　(2)AC
例2　解析：(1)A中，x2>4 x<－2或x>2D /x3<－8，但x3<－8 x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0 a，b不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数 x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC.
(2)①∵q是r的必要条件，∴r q.
∵s是r的充分条件，∴s r，
∴s r q，又∵q是s的充分条件，∴q s.
∴s是q的充要条件．
②由r q，q s r，知r是q的充要条件．
③∵p是r的必要条件，∴r p，
∴q r p.
∴p是q的必要条件．
答案：(1)AC　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.
(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙 甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙 乙，但乙丙．综上，有丙 乙 甲，甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.
答案：(1)D　(2)A
例3　证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
跟踪训练3　证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
(1)充分性(p q)：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
(2)必要性(q p)：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
例4　解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤，由q是p的必要不充分条件，即p q，qp，
即?{x|a≤x≤a＋1}．
∴且“＝”不能同时成立，
解得－≤a≤0，
故实数a的取值范围是.
变式探究　解析：∵q是p的充分不必要条件，
∴q p，pq，
∴{x|a≤x≤a＋1}?，
∴，且“＝”不能同时成立，
∴此不等式组无解．
故实数a的取值范围是 .
跟踪训练4　解析：A＝
＝，
B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A?B，∴1－m2≤.
解得m≥或m≤－.
故m的取值范围为m≤－或m≥.
[课堂十分钟]
1．解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．
答案：B
2．解析：当x＝－1时，“x<2”成立，但<0 ，故“<1”，故“x<2”不是“>1”的充分条件，
“>1”等价于<0 01能推出x<2，
∴“x<2”是“>1”的必要条件，
故“x<2”是“>1”的必要不充分条件，
故选B.
答案：B
3．解析：A正确，因为“m是有理数” “m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈A”，所以“x∈A”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3” “x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3” “x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．故选ACD.
答案：ACD
4．解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.
答案：a＜－1
5．解析：由已知条件，如{x|x>m}?{x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范围是[3，＋∞)．

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