资源简介

1．2.3　全称量词和存在量词
最新课程标准 学科核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确使用存在量词对全称命题进行否定． 3．能正确使用全称量词对特称命题进行否定． 1.理解全称命题与特称命题的概念，并能用数学符号表示．(数学抽象) 2．能判断全称命题与特称命题的真假．(逻辑推理) 3．能对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定．(逻辑推理) 4．能利用命题或它的否定求参数．(逻辑推理、数学运算)
第1课时　含有量词的命题
教材要点
要点一　全称量词和全称命题
全称量词 __________、__________、__________、__________
符号
全称命题 含有____________的命题
形式 “对M中任一个元素x，有p(x)成立”，可用符号简记为“________________”
要点二　存在量词和特称命题
存在量词 __________、__________、__________、__________
符号表示
特称命题 含有____________的命题
形式 “存在M的某个元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“________________”
状元随笔　全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全称命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.(　　)
(2)特称命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　)
(3)在全称命题和特称命题中，量词都可省略．(　　)
(4)全称命题“自然数都是正整数”是真命题．(　　)
2．下列全称命题为真命题的是(　　)
A．所有的质数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
3．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，|x|≥0
B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，x＋2 019＜1
D． x∈R，2x＞2
4．下列命题中，是全称命题的是____________；是特称命题的是____________．
①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
题型1　全称命题及其真假判断
例1　判断下列命题哪些是全称命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈R，x2＞0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)对顶角相等；
(4)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0.
方法归纳
1．判断全称命题的关键有两点：一是是否具有命题所要求的量词或形式；二是根据命题的含义判断指的是不是全体．
2．要判断全称命题“ x∈M，p(x)”为真，需要对集合M每个元素x，证明p(x)成立．
3．要判断全称命题“ x∈M，p(x)”为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“举反例”．
跟踪训练1　用量词符号“ ”表示下列命题，并判断其真假．
(1)实数都能写成小数形式；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
题型2　特称命题及其真假判断
例2　判断下列命题哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(2)凸多边形的外角和等于360°；
(3)有一个实数x，使＝0；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1，2，3}．
方法归纳
1．命题中含有存在量词，则该命题是特称命题．
2．有些命题虽然没有写出存在量词，但其具备 “有些”“有一个”等含义，这样的命题都是特称命题．
3．要判断特称命题“ x∈M，p(x)”为真，只需在M中找到一个x0，使p(x0)成立，即“找特例”．
4．要判断特称命题“ x∈M，p(x)”为假，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都不成立．
跟踪训练2　以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
题型3　根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围
例3　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是________．
(2)若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
变式探究　若命题“ x∈R，使得方程“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．
方法归纳
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
跟踪训练3　(1)已知命题p：“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
(2)若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
课堂十分钟
1．(多选)下列四个命题中是全称命题的有(　　)
A．y＝ xy＝1
B．矩形都不是梯形
C． x，y∈R，x2＋y2≤1
D．等腰三角形的底边的高线、中线重合
2．下列四个命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立
B．x∈Q，x2＝2
C． x∈R，x2＋1＝0
D． x∈R，4x2＞2x－1＋3x2
3．命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为________.
4．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为________________．
5．命题：3mx2＋mx＋1＞0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
1．2.3　全称量词和存在量词
第1课时　含有量词的命题
新知初探·课前预习
要点一
所有　任意　每一个　任给　全称量词　 x∈M，p(x)
要点二
存在某个　至少有一个　有些　有的　存在量词　 x∈M，p(x)
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中，2是质数，但2不是奇数，A不正确；B中，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，B正确；C中，x＝是无理数，x2＝2是有理数，C不正确；D中，个位数是0的整数能被5整除，D不正确．故选B.
答案：B
3．解析：当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．故选B.
答案：B
4．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③　④
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)(3)(4)是全称命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(4)是真命题．
跟踪训练1　解析：(1) x∈R，x能写成小数形式，因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题．
(2) x∈{x|x是平形四边形}，x的对角线互相平分，由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
例2　解析：(1)(3)(4)是特称命题，(1)是真命题，(3)是假命题，(4)是真命题．
跟踪训练2　解析：A中，锐角三角形中的内角都是锐角，A为假命题；B中，是特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，B为真命题；C中，因为＋(－)＝0，所以C为假命题；D中，对于任何一个负数x，都有<0，所以D为假命题．故选B.
答案：B
例3　解析：(1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}．
(2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
答案：(1){m|m>－1}　(2)见解析
变式探究　解析：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.
跟踪训练3　解析：(1)当x∈R时，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
(2)当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．
答案：(1)m≥0　(2)m≤5
[课堂十分钟]
1．解析：ABD是全称命题，C是特称命题．
答案：ABD
2．解析： A中x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，故A为真命题；B中因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故B为假命题；C中因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故C为假命题；D中原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故D为假命题．
答案：A
3．解析：命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为： x∈R，2x>3x.
答案： x∈R，2x>3x
4．解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“ ”符号可以表示为 x≤0，x3≤0.
答案： x≤0，x3≤0
5．解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.第2课时　含量词命题的否定
教材要点
要点　含量词命题的否定
命题的类型 全称命题 特称命题
命题的符号表示 p： x∈I，p(x) p： x∈I，p(x)
命题的否定 的符号表示 p：________________ p：________________
命题的否定 的类型 特称命题 全称命题
状元随笔　特称命题的否定，一般是在存在量词前加“不”或者把存在量词改为全称量词的同时对判断词进行否定，特称命题的否定是全称命题；全称命题的否定，一般是在全称量词前加上“并非”，或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否定，全称命题的否定是特称命题．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(　　)
(2)命题 p的否定是p.(　　)
(3) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
(4)对全称命题或特称命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可．(　　)
2．命题： n∈N，n2＞3n＋5，则该命题的否定为(　　)
A． n∈N，n2＞3n＋5 B． n∈N，n2≤3n＋5
C． n∈N，n2≤3n＋5 D． n∈N，n2＜3n＋5
3．已知命题p： x∈R，x2－x＋1＞0，则 p(　　)
A． x∈R，x2－x＋1≤0 B． x∈R，x2－x＋1≤0
C． x∈R，x2－x＋1＞0 D． x∈R，x2－x＋1≥0
4．命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________________________．
题型1　全称命题的否定
例1　(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A．对任意x∈R，都有x2＜0
B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x∈R，使得x2≥0
D．存在x∈R，使得x2＜0
(2)写出下列全称命题的否定：
①任何一个平行四边形的对边都平行．
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根．
③ a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
④可以被5整除的整数，末位是0.
方法归纳
全称命题的否定的两个关注点
(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
跟踪训练1　(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A． p： x∈A，2x∈B　　　　B． p： x A，2x∈B
C． p： x∈A，2x B D． p： x A，2x B
(2)命题“ x＞0，＞0”的否定是(　　)
A． x＞0，≤0 B． x＞0，0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0，0≤x≤1
题型2　特称命题的否定
例2　(1)命题p： x＞0，x＋＝2，则 p为(　　)
A． x＞0，x＋＝2 B． x＞0，x＋≠2
C． x≤0，x＋＝2 D． x≤0，x＋≠2
(2)写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
①p：存在x∈R，2x＋1≥0.
②q：存在x∈R，x2－x＋＜0.
③r：有些分数不是有理数．
方法归纳
特称命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
跟踪训练2　(1)命题“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是(　　)
A． x∈ RQ，x3 Q
B． x RQ，x3∈Q
C． x RQ，x3 Q
D． x∈ RQ，x3 Q
(2)写出下列特称命题的否定，并判断真假：
① x，y∈Z，3x－4y＝20.
②在实数范围内，有些一元二次方程无解．
题型3　根据全称命题、特称命题的否定求参数
例3　已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
(1)若 p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若 q为真命题，求实数a的取值范围．
变式探究　本例条件不变，若 p与 q同时为真命题，求实数a的取值范围．
方法归纳
根据命题真假求参数的范围的两个关注点
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)求参数范围问题，通常根据有关全称命题和特称命题的意义列不等式求范围．
跟踪训练3　已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，求实数a的取值范围．
易错辨析　对含量词的命题否定不准确致误
例4　命题“ x＜1，＜1”的否定是________．
解析：特称命题的否定是全称命题，否定时，既改量词，又否结论，∴原命题的否定是 x＜1，0≤x≤1.
答案： x＜1，0≤x≤1
易错警示
易错原因 纠错心得
易出现的错误是：①改量词的同时错改范围，即写成 x≥1；②“＜1”的否定写成“>1”，忽略“＜1”的否定是“0≤x≤1”． 牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确．
课堂十分钟
1．命题：“ x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． x＜0，x3＋x＜0 B． x＜0，x3＋x≥0
C． x≥0，x3＋x＜0 D． x≥0，x3＋x≥0
2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
3．下列四个命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x＋≥2
B． x∈R，x2－x＞5
C． x∈R，|x＋1|＜0
D． x∈R，|x＋1|＞0
4．命题p： x∈R，x2＋3x＋2＜0，则命题p的否定为________．
5．已知命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，求实数a的取值范围．
生活中的命题及逻辑推理问题
例1　除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉．“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件．
答案：B
例2　设S是由任意n(n≥5)个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人(本题中的认识是相互的，即不存在甲认识乙而乙不认识甲的情况)，那么下面的判断中正确的是(　　)
A．S中没有人认识S中所有的人
B．S中至少有1人认识S中所有的人
C．S中至多有2人认识不全S中所有的人
D．S中至多有2人认识S中所有的人
解析：如果S中所有人都相互认识，显然这样的S符合题目条件，从而A，D都是错误的；又设a，b，c是S中的三个人，a，b，c三人间相互不认识，而除a，b，c之外其他(n－3)个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C是错误的．若集合S中任何两个人不都互相认识，则不妨设甲、乙互相不认识．任取另外两个人，设为丙、丁．依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一个人认识其余3个人，显然，这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，则丙认识丁(当然也认识甲和乙)．再在剩下的人中另取一个人戊，并考虑甲、乙、丙、戊，依题意知丙与戊也必相互认识，从而可知丙认识S中所有的人，故B是正确的．
答案：B
例3　运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得______、______、______牌．
解析：先设王老师猜对的是“甲得金牌”，则“乙不得金牌”是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌”是对的，则“甲得金牌”是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌”，此时甲、乙、丙分别得铜、金、银牌．
答案：铜　金　银
例4　住同一房间的四名女生A，B，C，D，在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不一样的事情，有以下五个命题：
(1)A不在修剪指甲，也不在看书；
(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；
(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；
(4)D不在看书，也不在修剪指甲；
(5)C不在看书，也不在听音乐．
若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？
解析：由以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：
A B C D
修剪指甲 不在做 不在做 不在做
看书 不在做 不在做 不在做
梳头发
听音乐 不在做 不在做
由表格看出，C在修剪指甲，B在看书，又由命题(3)可知A在听音乐，最后推出D在梳头发．
答案：见解析
例5　主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了，”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
解析：张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．
答案：见解析
第2课时　含量词命题的否定
新知初探·课前预习
要点
x∈I， p(x)　 x∈I， p(x)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：否定为： n∈N，n2≤3n＋5.故选B.
答案：B
3．解析： p： x∈R，x2－x＋1≤0.故选A.
答案：A
4．解析：特称命题的否定为全称命题，故命题的否定为：“所有三角形的三条中线都不相等．”
答案：所有三角形的三条中线都不相等
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x∈R，使得x2<0”．故选D.
(2)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
③ a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
④存在被5整除的整数，末位不是0.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)全称命题的否定是特称命题，将“ ”改为“ ”，“2x∈B”否定为“2x B”，即 p： x∈A，2x B.故选C.
(2)∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“ x>0，>0”的否定是“ x>0，0≤x≤1”．故选B.
答案：(1)C　(2)B
例2　解析：(1)特称命题的否定是全称命题，“ x＞0，x＋＝2”的否定为“ x＞0，x＋≠2”．故选B.
(2)①任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．②任意x∈R，x2－x＋≥0，因为x2－x＋＝≥0，所以是真命题．③一切分数都是有理数，是真命题．
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是“ x∈ RQ，x3 Q”．故选D.
(2)①该命题的否定： x，y∈Z，3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题．②该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题．
答案：(1)D　(2)见解析
例3　解析：(1)因为命题p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，所以 p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0.
因为 p为真命题，
所以a＝0，或
解得a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1，
即实数a的取值范围为{a|a≤1}．
(2)因为命题q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
所以 q： x∈R，ax2＋ax＋1>0.
因为 q为真命题，
所以a＝0，或
解得a＝0，或0即实数a的取值范围为{a|0≤a<4}．
变式探究　解析：由本例解题过程可知{a|a≤1}≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．
跟踪训练3　解析： p是假命题即p是真命题．
即 x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立，
所以解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为－3≤a≤1.
[课堂十分钟]
1．解析：命题“ x≥0，x3＋x≥0”为全称命题，该命题的否定为“ x≥0，x3＋x<0”．故选C.
答案：C
2．解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故否定为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
答案：C
3．解析：选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错．故选B.
答案：B
4．解析：命题p是特称命题，根据特称命题的否定是改量词，否结论，则是 x∈R，x2＋3x＋2≥0.
答案： x∈R，x2＋3x＋2≥0
5．解析：因为命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“ x∈R，2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.

展开更多......

收起↑