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第2课时　等式与不等式(2)
教材要点
要点　不等式的性质
性质1(对称性)　a＞b ________．
性质2(传递性)　a＞b，b＞c ________．
性质3(加法法则)　a＞b ________
推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b
推论2　如果a＞b，c＞d，那么________．
性质4(乘法法则)　 ________； ________．
推论3　 ________．
推论4(乘方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质5(开方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质6　 ________； ________．
状元随笔　(1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.(　　)
(2)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)
(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　)
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　)
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac＞bc B．a－d＞b－c
C．＜ D．a3＞b3
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么________；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么________.
题型1　利用不等式的性质判断命题的真假
例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．＜
C．a－c＞b－c D．＞
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1　(1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是(　　)
A．＞a＞a2 B．a＞a2＞
C．a2＞＞a D．＞a2＞a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ab＞ac B．c＞0
C．ac＜0 D．cb2＜ab2
题型2　证明不等式
例2　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：＜.
题型3　利用不等式的性质求范围
例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3　已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
易错辨析　多次使用同向不等式相加致误
例4　已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－＜a＜，－＜b＜”并不等价． 同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．
课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是(　　)
A．|a|＞|b| B．a2＞b2
C．＞1 D．a3＞b3
2．下列结论正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d
3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是(　　)
A．＞ B．＜
C．ac2＞bc2 D．a－c＞b－c
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________．
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
第2课时　等式与不等式(2)
新知初探·课前预习
要点
bc　a＋c>b＋c　a＋c>b＋d　ac>bc　acbd　an>bn　><>
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B.
答案：B
3．解析：因为a>b>0，c<0，所以acb>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜＜，
又c＞0，
∴＜.
答案：(1)＜　(2)＜
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若>，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则>(对)，若a3>b3且ab<0，则；D中，若a2>b2，且ab>0，则<(错)，若则D不成立．故选C.
(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于>0，又a>b，故>，故D正确．
答案：(1)C　(2)CD
跟踪训练1　解析：(1)∵0(2)因为实数a，b，c满足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；
由b0，故B正确；
由a>c，ac<0，得ac<0，故C正确；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；
故选ABC.
答案：(1)A　(2)ABC
例2　证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
(法二)∵＝＝≤0，
∴.
跟踪训练2　证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
例3　解析：(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3　解析：(1)∵1(2)由(1)知1[课堂十分钟]
1．解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，
满足a>b，但|a|<|b|，a2所以A，B，C都不正确．故选D.
答案：D
2．解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D.
答案：D
3．解析：由不等式的性质，AD显然正确，又a>b>0 a2>b2>0 <，B正确，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：∵－1又x>1，∴y<－y答案：y<－y5．解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．1　相等关系与不等关系
2．1.1　等式与不等式
最新课程标准 学科核心素养 1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算) 3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理) 4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)
1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．掌握不等式的性质．
第1课时　等式与不等式(1)
教材要点
要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
状元随笔　不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
要点二　比较两个实数a，b大小的依据
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b.
状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　)
(2)若＞1，则a＞b.(　　)
(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.(　　)
(4)因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.(　　)
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．
题型1　用不等式(组)表示不等关系
例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．
(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？
方法归纳
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1　(1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用不等式表示x，y所满足的不等关系．
题型2　实数(式)的比较大小
例2　已知a＞0，试比较a与的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
题型3　不等关系的转化及应用
例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
方法归纳
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
课堂十分钟
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是(　　)
A．3或4 B．4或5
C．3或5 D．4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2．1　相等关系与不等关系
2．1.1　等式与不等式
第1课时　等式与不等式(1)
要点二
1．正数　等于0　负数
2．>　＝　<
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.故选A.
答案：A
4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.
(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有即
答案：(1)7.9≤v＜11.2　(2)见解析
例2　解析：因为a－＝
＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0＜a＜1时，＜0，有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；
当0＜a＜1时，a＜.
跟踪训练2　解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
答案：(1)C　(2)见解析
例3　解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2，
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
跟踪训练3　解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝.
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝＝，
因为＝＝＞0，所以＞.
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
[课堂十分钟]
1．解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x答案：CD
2．解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故选D.
答案：D
3．解析：设宿舍房间数量为x，男生人数为y，则，解得x＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.
答案：B
4．解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x答案：x5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则＜.
(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水浓度为，浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，则＜＜.

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