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专题九 数列
01 数列的概念及简单表示
考纲对本模块内容的具体要求如下：
数列是高考必考知识点，数列是一种特 ( http: / / www.21cnjy.com )殊的函数，因此在考查数列时要注意其表示方式，本节考查主要是数列的通项公式与前n项和公式，以及递推公式的应用，重点在于计算能力的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度适中.21·cn·jy·com
数学抽象：能从教材实例中抽象出数列的概念.
逻辑推理：能从教材实例中归纳出数列的性质，能利用数列的性质，解决简单的数列问题.
数学运算：会根据an与Sn的关系求相关数列的通项.
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
[常用结论]
求数列的最大(小)项，一般可以利用 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的单调性，即用(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N*)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
（1）（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题可得当时，，然后利用累乘法可求得数列的通项公式.
【详解】
当时，；
当时，，
整理得，即，由累乘法，
得，
又，解得，满足上式，
综上，．
故选：A
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，求．
【答案】
【分析】
首先设，前项和，根据和的关系得到，再求即可.
【详解】
设，前项和.
当时，，
当时，，
检验：，所以.
即，.
【规律方法】
已知Sn求an的三个步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1.
（2）用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.【来源：21·世纪·教育·网】
（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式.2-1-c-n-j-y
易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误.
【跟踪练习】（1）（2020·重庆国维外国语学校高二月考）已知一个数列前项和，则它的通项公式__________.21*cnjy*com
【答案】
【分析】
由项和转换公式，即得解
【详解】
由题意，由项和转换公式可得
故答案为：
（2）（2021·上海市金山中学高三期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）数列{an}的前n项和为Sn，若点（Sn，n）（n∈N*）在函数y＝log2x的图像上，则an＝_______．www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
由题知，再利用与的关系即得.
【详解】
∵点（Sn，n）（n∈N*）在函数y＝log2x的图像上，
∴即，
当时，，
当时，，
∴.
故答案为：.
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
（1）（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考（理））已知数列满足：，（，），则___________.【出处：21教育名师】
【答案】
【分析】
由题设可得，结合题设易知是首项、公差均为的等差数列，进而写出的通项公式.
【详解】
由题设，，即，而，
∴是首项、公差均为的等差数列，即，
∴.
故答案为：
（2）（2021·河南南阳·高二月考（理））已知数列满足，则__________．
【答案】
【分析】
先判断出是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到，从而求出.
【详解】
因为，
所以，
由，所以为首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
（3）（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则___________.
【答案】
【分析】
由得，根据累乘法求解公式即可求解通项．
【详解】
∵，∴，
∴．
故答案为：
【规律方法】
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且可用“累乘法”求an.
(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.21教育名师原创作品
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
（2）（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】
解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
考点三 数列的性质
（1）（2021·全国·高二课时练习）设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由数列定义，必须分段函数的两段都是减函数，然后满足即可．
【详解】
因为数列是单调递减数列，
所以只需且，即且，
故实数k的取值范围为．
故选：C．
（2）（2021·江西·吉安一中高二开学考试（文））已知数列的首项为，且，则的最小值是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用累加法可求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可得解.
【详解】
因为，设，则，
所以
，
又符合上式，所以，
则，故的最小值为.
故选：B.
【规律方法】
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的二种方法
(1)作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．
(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号．
3．求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；
(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．
【跟踪练习】 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列　　　 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】B
【解析】an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．
（2）（2021·新疆·莎车县第一 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高三期中）已知数列{an}满足3a1＝1，n2an+1﹣an2＝n2an（n∈N*），则下列选项正确的是（　　）www-2-1-cnjy-com
A．{an}是递减数列
B．{an}是递增数列，且存在n∈N*使得an＞1
C．
D．
【答案】C
【分析】
依题意可得，即an+1＞an，即数列{an}为单调递增数列；在等式的两边同时除以anan+1，可知，再通过放缩累加可判断选项BCD，由此得出答案．【版权所有：21教育】
【详解】
解：由于3a1＝1，则，
又，则，可得出，
且对任意n∈N ，an＞0，则，即an+1＞an，
∴数列{an}为单调递增数列，故选项A错误；
在等式的两边同时除以anan+1，可得
，其中n≥2，n∈N ，
∴，
累加得，，
∴，则，故选项C正确，选项B错误；
对于，
∴，，
累加得，，可得，则，
∴，故选项D错误．
故选：C．
1.（2021·全国·高二课时练习）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解：∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A
2.（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三月考（文））已知数列中，，，则_______.
【答案】
【分析】
根据递推公式一一计算即可；
【详解】
解：因为，
所以，，，
故答案为：
3.（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将递推关系式整理为，可知数列为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得，从而得到的通项公式；根据数列的单调性可采用分离变量法得到，结合导数的知识可求得，由此可得结果.
【详解】
由得：．
，即，
是公差为的等差数列．，，，．
是递减数列，，，即，
即．只需，
令，
，
在上单调递增，在上单调递减．
又，，当时，，
即，，即实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用数列的单调性求解参数范围的问题，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系求解问题，结合导数的知识求得最值后即可得到取值范围.
4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得，则数列是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，然后利用错位相减法求出数列的前项和，进而即可求解.
【详解】
解：由，得，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
设的前项和为，则，
两边同乘2，得，
两式相减得，
所以，
所以．
故选：A.
5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 016的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用递推公式求出a2，a3，a4，a5，a6，a7……，观察归纳得{an}是以3为周期的周期数列，即可求出a2 016.
【详解】
计算得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，
观察归纳得：数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 016＝672×3，所以a2 016＝a3＝.
故选：C.
6．（2021·浙江·高三期中）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.
【详解】
解：显然，对任意，．，
化简可得，所以，则，
累加可得，所以．
又，所以，
则
，
注意到，
所以，则，
所以．综上．
当时，，即.
故选：B
7．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，，，（π≈3.14）则此数列项数最多为（ ）
A．2019项 B．2020项
C．2021项 D．2022项
【答案】D
【分析】
由题可得，进而得，即得.
【详解】
由，，得，
，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
∴此数列项数最多为2022.
故选：D.
8．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列的前项和为，，，若，则的最小值是（ ）21教育网
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
由，可得，，然后可得，，然后可得，然后利用累加法求得，然后可得答案.
【详解】
因为，所以当时可得，可得
当时可得
两式相减可得，即，
所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
所以
所以当时
时也满足上式
所以
所以由可得，即
解得，所以的最小值是6
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．
【详解】
解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.
10．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，令，进而证明数列是以为首项，为公差的等差数列，故可得，，在结合题意将问题转化为，再求数列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
，．
令，
，
又，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
，即，
，
∵存在，使得成立，
．
令得则，，
或．，
，即，解得，
∴实数的取值范围是．
故选：D．
11．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出数列的通项公式，即可得到，依题意可得对于任意的恒成立，即可得到不等式，参变分离可得，再根据二次函数的性质求出的取值范围；
【详解】
解：因为，，所以，即是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以对于任意的恒成立，即，即，即，因为在上单调递增，所以当时，，所以，即；
故选：C
12．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，则（ ）
A． B．是等比数列
C．是递增数列 D．，，成等比
【答案】AD
【分析】
代入，可得，可判断A；
项和转换，求得，可判断B；
比较，可判断C；
计算，，，可判断D
【详解】
当时，，A正确．
当，时，．
所以，故，不是等比数列，B错误．
因为，所以不是递增数列，C错误．
因为，，，，
所以，,，
则，所以，，成等比数列，D正确．
故选：AD
13.（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】.
【分析】
先由，得，进一步得到，再分奇偶项来求通项公式即可．
【详解】
因为，
所以，得．
所以当为奇数时，，
当为偶数时，．
又，，所以，
所以，，，…，，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，
，，，…，，…构成以为首项，为公差的等差数列．
所以当是奇数时，；
当是偶数时，．
故数列的通项公式为．
故答案为：.
14.（2021·广西·崇左高中高二月考）已知数列的前项和为，且，则__________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【分析】
根据计算即可得到结果.
【详解】
故答案为：14
15．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．
【答案】25．
【分析】
由，化简整理得到，求得，进而求得时，，根据，得到，即可求解.
【详解】
由题意数列的各项均为正数，且满足，
当时，可得，
整理得，
又由，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以，
因为数列的各项均为正数，可得，
所以当时，，
当时，，
由，即，即，
又由，所以，所以满足的最大的正整数等于.
故答案为：.
16．（2021·广西·桂林十八中高二开学考试（理））写出一个同时具有下列性质①②③的数列，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据题目中要求的数列性质，写出满足题意的一个数列即可.
【详解】
根据题意，要求的数列可以为，
故答案为：（答案不唯一）.
17．（2022·全国·高三专题练习）请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：①为无穷数列；②为单调递增数列；③.这个数列的通项公式可以是______.
【答案】.
【分析】
数列是特殊的函数，利用函数的性质可得答案.
【详解】
因为函数的定义域为，且在上单调递增，，
所以满足3个条件的数列的通项公式可以是，
故答案为：.
18．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知数列的前项和为，满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）证明见详解
（2）
（3）
【分析】
（1）利用得，变形得，则可证明等比数列.
（2）根据等比数列的通项公式可得答案；
（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.
（1）
①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列；
（2）
由（1）得，
；
（3）
令，则
当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
19．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）在数列{an}中，，通项公式an是n的一次函数．21·世纪*教育网
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断96是不是数列{an}中的项？
【答案】
（1）an＝4n－2，n∈N*
（2）不是
【分析】
（1）设an＝kn＋b，k≠0．结合已知条件求出的值，进而可以求出结果；
（2）令an＝96，求出n的值即可判断是否是数列中的项．
（1）
设an＝kn＋b，k≠0．
则解得
∴an＝4n－2，n∈N*．
（2）
令an＝96，即4n－2＝96，解得n＝24.5N*．
∴96不是数列{an}中的项．
20．（2021·浙江金华·高三月考）已知数列满足，，它与数列形成的新数列的前项和为．21cnjy.com
（1）求、：
（2）记集合，为集合中所有元素的和，试比较与的大小．
【答案】
（1），
（2）当时，；当时，
【分析】
（1）利用累加法可求得数列的通项公式，利用前项和与通项之间的关系可求出数列的通项公式；
（2）求出的表达式，利用作差法可比较出与的大小关系.
（1）
解：，，
所以，
．
所以对任意的，．
又的前项和为，
当时，，得，
当时，，得，
也适合，故对任意的，.
（2）
解：由己知得，，
．
而，
所以，．
,，，，
所以，当时，，；
下证当时，．
①当时，；
②假设当时，，即；
则当时，
，
所以当时，．
综上所述，当时，；当时，．
21.（2021·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，已知，.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】
利用倒数法和构造法可得到数列为等比数列，结合等比数列通项公式可整理得到结果.
【详解】
由两边取倒数可得，
即，，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，即.
22．（2021·上海·闵行中学高三期中）已知是定义在上的函数，满足：①对任意，均有；②对任意，均有，又数列满足：．21世纪教育网版权所有
（1）若函数，求实数a的取值范围；
（2）函数在上单调递减，且，若存在，使得当时，均有，求的最小值；
（3）求证：“函数在上单调递增”是“存在，使得”的充分非必要条件．
【答案】
（1）
（2）22
（3）证明见解析
【分析】
（1）由题可得在恒成立，求出的最大值即可得出；
（2）根据单调性可得，再利用累加法可得，即可求出；
（3）先举特例判断必要性；再利用反证法判断充分性.
（1）
由题，对任意，，即在恒成立，
因为，所以；
（2）
函数在上单调递减，，
，即，
则，
则当时，恒有，所以，则的最小值为22；
（3）
必要性：令，可得在上不为增函数，
但，，满足，故必要性不成立；
充分性：假设对一切，均有，
所以①②，
又
，
因为为增函数，所以②，
由①②可知，对一切，均成立，
又可知，当时，上述不等式不成立，所以假设错误，即存在，使得，故充分性成立，
所以“函数在上单调递增”是“存在，使得”的充分非必要条件.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
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专题九 数列
01 数列的概念及简单表示
考纲对本模块内容的具体要求如下：
数列是高考必考知识点，数列是一 ( http: / / www.21cnjy.com )种特殊的函数，因此在考查数列时要注意其表示方式，本节考查主要是数列的通项公式与前n项和公式，以及递推公式的应用，重点在于计算能力的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度适中.21世纪教育网版权所有
数学抽象：能从教材实例中抽象出数列的概念.
逻辑推理：能从教材实例中归纳出数列的性质，能利用数列的性质，解决简单的数列问题.
数学运算：会根据an与Sn的关系求相关数列的通项.
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照______排列的一列数
数列的项 数列中的______
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式______表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列{an}中，Sn＝______叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点______画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项使用______表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝______
4．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数______
无穷数列 项数______
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1______an 其中n∈N*
递减数列 an＋1______an
常数列 an＋1＝an
[常用结论]
求数列的最大(小)项，一般可以利 ( http: / / www.21cnjy.com )用数列的单调性，即用(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N*)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
（1）（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）21教育网
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，求．
【规律方法】
已知Sn求an的三个步骤
（1）先利用a1＝S1求出a1.
（2）用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.21cnjy.com
（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式.21·cn·jy·com
易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误.
【跟踪练习】（1）（2020·重庆国维外国语学校高二月考）已知一个数列前项和，则它的通项公式__________.2·1·c·n·j·y
（2）（2021·上海市 ( http: / / www.21cnjy.com )金山中学高三期中）数列{an}的前n项和为Sn，若点（Sn，n）（n∈N*）在函数y＝log2x的图像上，则an＝_______．【来源：21·世纪·教育·网】
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
（1）（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考（理））已知数列满足：，（，），则___________.2-1-c-n-j-y
（2）（2021·河南南阳·高二月考（理））已知数列满足，则__________．
（3）（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则___________.
【规律方法】
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且可用“累乘法”求an.
(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.21·世纪*教育网
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
考点三 数列的性质
（1）（2021·全国·高二课时练习）设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
（2）（2021·江西·吉安一中高二开学考试（文））已知数列的首项为，且，则的最小值是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【规律方法】
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的二种方法
(1)作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．
(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号．
3．求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；
(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．
【跟踪练习】 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列　　　 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
（2）（2021·新疆·莎车县第一中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高三期中）已知数列{an}满足3a1＝1，n2an+1﹣an2＝n2an（n∈N*），则下列选项正确的是（　　）21*cnjy*com
A．{an}是递减数列
B．{an}是递增数列，且存在n∈N*使得an＞1
C．
D．
1.（2021·全国·高二课时练习）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三月考（文））已知数列中，，，则_______.【版权所有：21教育】
3.（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 016的值为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
6．（2021·浙江·高三期中）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，，，（π≈3.14）则此数列项数最多为（ ）21*cnjy*com
A．2019项 B．2020项
C．2021项 D．2022项
8．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列的前项和为，，，若，则的最小值是（ ）【出处：21教育名师】
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，则（ ）
A． B．是等比数列
C．是递增数列 D．，，成等比
13.（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
14.（2021·广西·崇左高中高二月考）已知数列的前项和为，且，则__________．
15．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．
16．（2021·广西·桂林十八中高二开学考试（理））写出一个同时具有下列性质①②③的数列，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则______.
17．（2022·全国·高三专题练习）请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：①为无穷数列；②为单调递增数列；③.这个数列的通项公式可以是______.
18．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知数列的前项和为，满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
19．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）在数列{an}中，，通项公式an是n的一次函数．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断96是不是数列{an}中的项？
20．（2021·浙江金华·高三月考）已知数列满足，，它与数列形成的新数列的前项和为．
（1）求、：
（2）记集合，为集合中所有元素的和，试比较与的大小．
21.（2021·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，已知，.求数列的通项公式；
22．（2021·上海·闵行中学高三期中）已知是定义在上的函数，满足：①对任意，均有；②对任意，均有，又数列满足：．www.21-cn-jy.com
（1）若函数，求实数a的取值范围；
（2）函数在上单调递减，且，若存在，使得当时，均有，求的最小值；
（3）求证：“函数在上单调递增”是“存在，使得”的充分非必要条件．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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