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专题九 数列
02 等差数列及其前n项和
考纲对本模块内容的具体要求如下：
等差数列是高考考查的重点 ( http: / / www.21cnjy.com )，是必考点，常考以等差数列的基本量为载体，考查等差数列概念、性质和通项公式的求解与应用；考查数列求和的综合问题及数列的最值及解决方法；考查以数学文化为背景的数列.考题难度以中低档为主，常考一小（选择题或填空题）或一大（解答题），在解答题中，可能设计开放题题目，这是新高考命题的一大特点.
数学抽象：能从教材实例中抽象出等差数列的概念.
数学运算：1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.熟练运用“基本量”方法求解等差数列的基本量运算问题.
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从 ( http: / / www.21cnjy.com )_____起，每一项与它的前一项的_____等于_____，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母d表示．数学语言表示为__________(n∈N*)，d为常数．21教育网
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的_____．
(3)等差数列的通项公式：an＝_____，可推广为an＝am＋_____.
(4)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．www.21-cn-jy.com
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
[常用结论]
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.www-2-1-cnjy-com
2．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
考点一　等差数列基本量的运算
（1）（2021·湖南师大附中高二期中）在数列中，为前n项和，若，，则（ ）
A．95 B．105 C．115 D．125
（2）（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（文））在等差数列中，，，则（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
（3）（2021·河南·高二月考）已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）21*cnjy*com
A． B． C．1 D．2
（4）（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且．若，则（ ）．
A．140 B．280 C．70 D．420
【规律方法】
解决等差数列运算问题的思想方法
（1）方程思想：等差数列的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.
（2）整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.
（3）利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.
【跟踪练习】（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在递增的等差数列中，，．
（1）求和；
（2）求的通项公式．
考点二 等差数列的判定和证明
（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列是递增的等比数列，且，，，成等差数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列．
【规律方法】
等差数列的四个判定方法
1 定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.
2 等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
3 通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.
4 前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
【跟踪练习】（2021·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
考点三 等差数列的性质及应用
（1）（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·广西·崇左高中高二月考）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
等差数列的常用性质和结论
1 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k m，n，p，q，k∈N* ，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
2 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列.
【跟踪练习】（1）（2021·湖南·长郡中学高二期中）数列为等差数列，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)21·世纪*教育网
A．39 B．20 C．19 D．10
(3)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)21教育名师原创作品
A. B. C. D.
考点四 等差数列前n项和的最值问题
（1）（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
（2）（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【规律方法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
（1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
（2）邻项变号法.
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
易错警示：易忽视n∈N＋.
【跟踪练习】（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
1．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列是等差数列，为其前项和.且，，若，则的值为（ ）21cnjy.com
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2021·河南南阳·高二期中）在数列{中，，，，则的值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．21
3．（2021·河南南阳·高二期中）已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
4．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．84 B．72 C．75 D．56
5．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2021·四川资阳·高三月考（理））等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·山西太原·高三期中）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
8．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
9．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
A． B．数列的最大项为第9项
C．时，的最小值为17 D．
10．（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）记为等差数列的前项和，则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C． D．
11．（2020·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．【出处：21教育名师】
12．（2021·山西太原·高三期中）记为等差数列的前项和，，，则________.
13．（2021·江西·新余四中高二月考（理））等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
14．（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________.
15．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
16．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知数列和的通项公式分别是，．集合元素按照从小到大的顺序排列，构成数列，则数列的前62项和________．
17．（2021·浙江·嘉兴一中高二期中）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和及的最小值.
18．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
19．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
20．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知等差数列的前项和为，公差，，且是与的等比中项.21·cn·jy·com
（1）求的通项公式；
（2）设，是否存在一个非零常数，使得数列也为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2·1·c·n·j·y
21．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值.
22．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）设Sn为数列{an}的前n项和，已知，；数列为各项为正的等比数列，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列{cn}的前n项和，求Tn.
23．（2021·江苏·高邮市第一中学高三月考）已知数列，的前n项和分别为，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若恒成立，求k的最小值.
24．（2021·北京·10 ( http: / / www.21cnjy.com )1中学高二期中）将边长为1的正三角形ABC的各边都n（n∈N且n≥2）等分，过各分点做平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A，B，C三点上放置的数分别为a，b，c；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当n=2，a=1，b=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，c=3时，如图1，△ABC的三个结点处放置的三个实数分别为x，y，z，那么x+y+z=___________（请直接写出答案）；【版权所有：21教育】
（2）当n≥3时，如图2，与△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x，y，z，那么求证：x+ z=2y.并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r（规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）；21*cnjy*com
（3）求结点上所有数的和S.
25．（2021·江苏·苏州中学高二月考）某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．21世纪教育网版权所有
（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2 ( http: / / www.21cnjy.com )月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）
（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？（参考数据，精确到1万个）
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例3
真题演练
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专题九 数列
02 等差数列及其前n项和
考纲对本模块内容的具体要求如下：
等差数列是高考考查的重点 ( http: / / www.21cnjy.com )，是必考点，常考以等差数列的基本量为载体，考查等差数列概念、性质和通项公式的求解与应用；考查数列求和的综合问题及数列的最值及解决方法；考查以数学文化为背景的数列.考题难度以中低档为主，常考一小（选择题或填空题）或一大（解答题），在解答题中，可能设计开放题题目，这是新高考命题的一大特点.
数学抽象：能从教材实例中抽象出等差数列的概念.
数学运算：1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.熟练运用“基本量”方法求解等差数列的基本量运算问题.
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2 ( http: / / www.21cnjy.com )项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．【版权所有：21教育】
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
(3)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m)d.
(4)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝ ( http: / / www.21cnjy.com )dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
[常用结论]
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
考点一　等差数列基本量的运算
（1）（2021·湖南师大附中高二期中）在数列中，为前n项和，若，，则（ ）
A．95 B．105 C．115 D．125
【答案】A
【分析】
根据在数列满足，得到数列是等差数列,再根据求解.
【详解】
因为在数列中，，
所以数列是等差数列,
又因为，
所以，
解得，
所以，
故选：A
（2）（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（文））在等差数列中，，，则（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
根据等差数列的通项公式求出公式，最后根据计算可得；
【详解】
解：由，，得公差，所以．
故选：A．
（3）（2021·河南·高二月考）已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质以及通项公式得出的公差.
【详解】
设等差数列的公差为.由已知条件，得
即，解得.
故选：A
（4）（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且．若，则（ ）．
A．140 B．280 C．70 D．420
【答案】B
【分析】
由，可得数列为等差数列，再根据，可得，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】
解：∵，∴，
∴数列为等差数列，
由等差数列的性质得，
∵，∴，
∴．
故选：B．
【规律方法】
解决等差数列运算问题的思想方法
（1）方程思想：等差数列的基本量为首项a ( http: / / www.21cnjy.com )1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.
（2）整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.【来源：21·世纪·教育·网】
（3）利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.
【跟踪练习】（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在递增的等差数列中，，．
（1）求和；
（2）求的通项公式．
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）根据等差数列下标和性质可得，再与联立，即可解出；
（2）设出数列的公差为，所以，解出，即可得到的通项公式．
（1）
因为，所以且递增∴，
（2）
设数列的公差为，所以∴，，
∴．
考点二 等差数列的判定和证明
（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列是递增的等比数列，且，，，成等差数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)根据给定条件列式求出等比数列的公比q即可；
(2)由给定等式结合(1)的结论求出数列的通公式即可得解.
【详解】
（1）设等比数列的公比为q，其中，则通项公式为，
因，，成等差数列，则，即，解得，从而，
所以数列的通项公式是；
（2）因，即，
当时，，
于是得，则有，当时，满足上式，
因此数列的通项公式是，显然对正整数n恒有：，
所以数列是等差数列.
【规律方法】
等差数列的四个判定方法
1 定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.
2 等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
3 通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.
4 前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
【跟踪练习】（2021·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.21*cnjy*com
【答案】证明见解析.
【分析】
先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【点睛】
在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.
考点三 等差数列的性质及应用
（1）（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设数列的公差为，根据，可得，再利用等差数列的性质即可的解.
【详解】
解：设数列的公差为，
则
，
所以，
所以.
故选：C.
（2）（2021·广西·崇左高中高二月考）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用等差数列的性质和前n项和公式求解.
【详解】
因为等差数列，的前项和分别为和，且，
所以，
故选：C
【规律方法】
等差数列的常用性质和结论
1 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k m，n，p，q，k∈N* ，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
2 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列.
【跟踪练习】（1）（2021·湖南·长郡中学高二期中）数列为等差数列，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质，若，则进行求解
【详解】
因为为等差数列，则，所以
故选：B
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)
A．39 B．20 C．19 D．10
【答案】B
【解析】数列{an}为等差数列，则am－ ( http: / / www.21cnjy.com )1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B.
(3)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C
考点四 等差数列前n项和的最值问题
（1）（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
【答案】C
【分析】
用基本量法，求出首项和公差，再利用等差数列求通项公式，求和公式，再依次判断各选项，即可得解.
【详解】
由，知，即
设等差数列的首项，公差，∴，解得，
对于A，由，知为递减数列，故A错误；
对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；
故选：C
（2）（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】
使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】
若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
【规律方法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
（1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
（2）邻项变号法.
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
易错警示：易忽视n∈N＋.
【跟踪练习】（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
1．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列是等差数列，为其前项和.且，，若，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】
先设出等差数列的通项公式，再由已知条件列求出等差数列的公差，然后由即可求出的值.
【详解】
解：设
因为，
得
即
解得：
因为
得
即
解得：
故选：C.
2．（2021·河南南阳·高二期中）在数列{中，，，，则的值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．21
【答案】C
【分析】
由题知公差为2，结合通项公式求出即可.
【详解】
由得，故.
故选：C
3．（2021·河南南阳·高二期中）已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【答案】A
【分析】
根据得到，带入求和公式结合等差数列性质解得答案.
【详解】
，故，即.
，解得.
故选：A.
4．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．84 B．72 C．75 D．56
【答案】C
【分析】
利用等差数列的性质进行求解.
【详解】
由等差数列的性质，得
，
所以.
故选：C.
5．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，
故选：C
6．（2021·四川资阳·高三月考（理））等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用等差数列的通项求出首项和公差，再套用前项和即可
【详解】
因为等差数列中，，，
所以 解得
故选：D
7．（2021·山西太原·高三期中）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【分析】
应用等差数列片段和性质：成等差数列，求即可.
【详解】
由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，
∴，可得.
故选：D
8．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则21*cnjy*com
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【分析】
设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
9．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．数列的最大项为第9项
C．时，的最小值为17 D．
【答案】ACD
【分析】
求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意等差数列满足，，，
，，
，，，，
，则AD正确.
，，C选项正确.
由上述分析可知，，
，所以，数列的最大项不是第9项，B选项错误.
故选：ACD
10．（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）记为等差数列的前项和，则（ ）
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据等差数列前n项和可得、，，结合各项的描述判断正误.
【详解】
A：由，，，故，，成等差数列，正确；
B：由，，，易知，，成等差数列，正确；
C：，错误；
D：，正确.
故选：ABD
11．（2020·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．21教育名师原创作品
【答案】
【分析】
因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
12．（2021·山西太原·高三期中）记为等差数列的前项和，，，则________.
【答案】4
【分析】
由等差数列前n项和可得、，再由已知条件可得，即可求的值.
【详解】
，
，
又，则，
∴，且，
∴.
故答案为：4
13．（2021·江西·新余四中高二月考（理））等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
【答案】
【分析】
证明得出，结合等差中项的基本性质可求得结果.
【详解】
因为等差数列、的前项和分别为和，
则，
所以，.
故答案为：.
14．（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________.
【答案】4026
【分析】
结合已知条件，利用等差数列的单调性判断与的符号，然后利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
设数列是公差为的等差数列，
因为，故与符号相异，所以，
又因为公差不为0等差数列具有单调性， 且，，
故，，
因为，
所以，
因为，
所以使前项和成立的最大自然数为4026.
故答案为：4026.
15．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
【答案】
【分析】
由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和.
【详解】
由题意，，由等比数列的性质可得，解得，
∴，解得，
，则，则数列为等差数列，
，故，
，
故答案为：
16．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知数列和的通项公式分别是，．集合元素按照从小到大的顺序排列，构成数列，则数列的前62项和________．21·世纪*教育网
【答案】3395
【分析】
对中的从奇数与偶数进行分类讨论，对中的从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项，再利用等差数列的求和公式分组求和，即可求出答案.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：3395
17．（2021·浙江·嘉兴一中高二期中）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和及的最小值.
【答案】
（1）
（2），取最小值为
【分析】
（1）利用等差数列通项公式列方程求出，.由此能求出的通项公式.
（2）由（1）的结果，利用等差数列的求和公式即可求出，进而求出最小值.
（1）
解：在等差数列中，，
设数列的公差为d，
则，
解得，.
∴的通项公式.
（2）
解：∵，d=2.
∴的前n项和
∴当n=6时，取最小值为.
18．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.
【详解】
（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】
方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一 ( http: / / www.21cnjy.com )般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
19．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．21cnjy.com
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】
因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
【点晴】
本题主要考查数列的求和，涉及到等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.21教育网
20．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知等差数列的前项和为，公差，，且是与的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，是否存在一个非零常数，使得数列也为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，
【分析】
（1）利用等差中项的性质可求得的值，根据已知条件可得出关于的方程组，解出的值，即可求得数列的通项公式；
（2）求出，可求得的表达式，由已知条件得出，结合可求得的值，化简数列的通项公式，结合等差数列的定义可判断数列为等差数列，即可得出结论.
（1）
解：因为为等差数列，且，所以，
又是与的等比中项，所以，即.
化简得，解得或（舍去），所以.
（2）
解：由（1）知，所以，
若数列为等差数列，则，则，
整理可得，，解得，此时，
因为，所以数列是公差为的等差数列，
因此，存在非零常数，使得数列为等差数列.
21．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，可得数列是等差数列，设公差为，再根据，，求出首项与公差，即可求得数列的通项公式；
（2）求出时的最大，即可得数列的前项和的最小值.
【详解】
解：（1）因为，
所以数列时等差数列，设公差为，
则，解得，
所以；
（2）令，则，
所以当时，数列的前项和最小，
，
所以数列的前项和的最小值为.
22．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）设Sn为数列{an}的前n项和，已知，；数列为各项为正的等比数列，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列{cn}的前n项和，求Tn.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由，可知，相减求得是首项为3，公差的等差数列，从而求得的通项公式，设数列公比为q，利用等差中项求得，从而求得的通项公式；（2）利用错位相减法求得数列的和.2·1·c·n·j·y
【详解】
（1）由，可知，
两式相减得，
即，∵，∴，
∵，∴（舍）或，
则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式；
设数列公比为q，则q>0.由题意可知：，即（舍）
又，的通项公式为
（2）
所以
相减得
化简得.
23．（2021·江苏·高邮市第一中学高三月考）已知数列，的前n项和分别为，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若恒成立，求k的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】
（1）根据之间的关系，可得为等差数列，然后根据等差数列的通项公式可得结果.
（2）根据（1）的条件可得，然后使用裂项相消求和可得，最后根据的性质可得结果.
【详解】
解：（1）①
∵当时②
①-②得
∴
∴
∵，∴，
∴为等差数列，且公差为3，在①式中令，得
∴.
（2），
∴
∴
∵关于n单调递增，且对，
∴，所以k的最小值为.
24．（2021·北京·1 ( http: / / www.21cnjy.com )01中学高二期中）将边长为1的正三角形ABC的各边都n（n∈N且n≥2）等分，过各分点做平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A，B，C三点上放置的数分别为a，b，c；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等.21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当n=2，a=1，b=2，c ( http: / / www.21cnjy.com )=3时，如图1，△ABC的三个结点处放置的三个实数分别为x，y，z，那么x+y+z=___________（请直接写出答案）；www-2-1-cnjy-com
（2）当n≥3时，如图2，与 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x，y，z，那么求证：x+ z=2y.并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r（规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）；
（3）求结点上所有数的和S.
【答案】
（1）6
（2）见解析
（3）
【分析】
（1）根据题意即可得出答案；
（2）条件②可叙述为：在所述棱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等，即可证明x+ z=2y；分和不相等两种情况讨论即可得解；
（3）根据题意可知是的对称式（对称函数），因此的系数相等，即，其中为待定系数，令，，求出，即可得解.
（1）
由题意可得，所以；
（2）
证明：条件②可叙述为：在所述棱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等，
由此在图2中同一条线上的三个连续的结点上放置的数成等差数列（因为有两个结点既与这三个连续结点的前两个构成菱形，也与后两个构成菱形），
所以x+ z=2y；
由于等差数列的每一项都是首项与另一项的一次式，所以各结点上放置的数都是的一次式，
若，那么所放置的数均相等，所以，
若不相等，设最大，最小，由于等差数列中，最大（最小）的项是首项或末项，所以在所放置的数中也是最大，最小，所以.
综上，，；不相等，；
（3）
解：当任意两个字母互换时，相当于改变三角形的位置，所以总和保持不变，即是的对称式（对称函数），因此的系数相等，即
，其中为待定系数，
令，这时所有结点上的数为0，，从而，
令，这时所有结点上的数为1，等于结点的个数为，
从而，
所以.
【点睛】
本题考查了数列的应用，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等，考查了逻辑推理能力和数学分析能力，难度较大.
25．（2021·江苏·苏州中学高二月考）某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．
（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2 ( http: / / www.21cnjy.com )月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）
（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？（参考数据，精确到1万个）
【答案】（1）62.2万尾；（2）2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．
【分析】
(1)由条件可得每月投入的鱼苗数量构成等差数列，再利用等差数列求和公式即可得解；
(2)由条件可得每年投入的鱼苗数量构成等比数列，借助等比数列前n项和求出公比即可.
【详解】
（1）依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为万尾，【出处：21教育名师】
所以2021年年底共有鱼13+49.2=62.2万尾；
（2）依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q，且，
于是得，即，解得，
所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划.
考纲解读
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