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专题九 数列
03 等比数列及其前n项和
考纲对本模块内容的具体要求如下：
等比数列与等差数列同样是高考考查的重点，是必考点，常考等比数列基本量的计算.
数学抽象：能从教材实例中抽象出等比数列的概念，了解等比数列与指数函数的关系.
数学运算：1.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2 ( http: / / www.21cnjy.com )项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．21·cn·jy·com
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.21教育名师原创作品
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
(2)前n项和公式：
Sn＝
[常用结论]
1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．www-2-1-cnjy-com
考点一　等比数列的基本运算
（1）（2020·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
【答案】A
【分析】
求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，，所以，
所以，
故选：A.
（2）（2021·江苏·高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.
【答案】4
【分析】
根据三数成等差数列列等式，再将，用含和的式子表示，代入等式求解.
【详解】
因为为等比数列，且公比为，
所以，且，.
因为，，成等差数列，
所以，
有，，
解得.
故答案为：.
【规律方法】
1 等比数列基本量的运算是等比数列 ( http: / / www.21cnjy.com )中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课时练习）设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
由已知条件结合等比数列的求和公式和通项公式即可求解.
【详解】
解：由，两式相减
得，
所以，
解得或（舍去）．
故选：D.
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
【答案】
【分析】
设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，
则，
所以，，
又，则，
因此，.
故答案为：.
考点二 等比数列的判定与证明
已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
【解析】　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
【规律方法】
（1）证明一个数列为等比数列常用定义法与等比 ( http: / / www.21cnjy.com )中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
（2）利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.
【跟踪练习】（1）（2020·江苏·高二月考）给出以下命题，其中错误的命题的是（ ）
A．若数列是等差数列，且（），则
B．若是等比数列的前n项和，则成等比数列
C．若是等比数列的前n项和，且（其中A，B是非零常数，），则
D．若数列的前n项和（a，b，c为常数）则数列为等差数列
【答案】ABD
【分析】
选项A. 设可判断；选项B. 设等比数列，则，可判断；选项C. 由可判断；选项D. 当时数列不为等差数列，可判断.21cnjy.com
【详解】
选项A. 设，则满足数列是等差数列，
对任意成立，则此时不成立，所以选项A错误.
选项B. 设等比数列，则,
显然不成等比数列，故选项B错误.
选项C. 当等比数列的公比时，,不能写成的形式，
故，所以
所以,则，故选项C正确.
选项D. 由，
当时，
当时，不满足，此时数列不为等差数列，故选项D不正确.
故选：ABD
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．21·世纪*教育网
【解析】证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝
＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
考点三 等比数列性质的应用
(1)（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
(2)（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，且，则（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】D
【分析】
由题可知，由等比中项得出，再结合条件并根据等差数列的通项公式及前项和公式，可求出和，从而得出.
【详解】
解：由题可知，等差数列的公差，
成等比数列，，
则，即，
解得：，所以.
故选：D.
【规律方法】
（1）在解决等比数列的有关问题时 ( http: / / www.21cnjy.com )，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
（2）等比数列的性质可以 ( http: / / www.21cnjy.com )分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.21世纪教育网版权所有
【跟踪练习】 （1）（2021·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
，，利用等比数列的性质可得，从而可得答案.
【详解】
解：∵，，，
∴．
故选：D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
计算得出，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果.
【详解】
，所以，，
故．
故选：A．
（3）（2020·全国·高二课时练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.
【详解】
由等比数列的性质可得：，，，成等比数列，
则，即，解得：，
，，解得：.
故选：D.
1.（2021·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B．5 C． D．9
【答案】D
【分析】
由等比数列的项求公比，进而求即可.
【详解】
由题设，，
∴．
故选：D
2．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
3.（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）在等比数列中，，，则的值为（ ）21教育网
A．9 B．27 C．81 D．243
【答案】B
【分析】
根据等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由，，可得，
因此，
故选：B
4．（2021·上海交大附中高二期中）正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
设等比数列的公比，根据题意求得，结合，即可求解.
【详解】
设等比数列的公比，（其中），
因为，可得，即，解得或（舍去）
又因为，所以，即，所以，
所以或或，
所以或或，
所以的最小值为.
故选：A.
5．（2021·河北·高三期中）2021年小 ( http: / / www.21cnjy.com )林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（ ）
A．2022年12月11日 B．2022年11月11日
C．2022年10月11日 D．2022年9月11日
【答案】C
【分析】
分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，
分析首次达到1万元的值，即得解
【详解】
依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为.
因为为增函数，
且，
所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，
即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.
故选：C
6．（2021·河南三门峡·高三月考（理））等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】
解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；
故选：D
7．（2021·河南驻马店·高三月考（文））记等比数列的前项和为，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等比数列的性质即可求解.
【详解】
由等比数列的性质可得，即，解得.
故选:C
8．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】C
【分析】
讨论与不成立可判断A；利用等比数列的下标和性质可判断B；根据单调递增可判断C；根据的取值可判断D.【版权所有：21教育】
【详解】
若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
9．（2021·四川绵阳·高三月考（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】
因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
10．（2019·新疆·克拉玛依市教育研 ( http: / / www.21cnjy.com )究所三模（文））如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
B．前七个矩形块中所填写的数字之和等于
C．矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
D．按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是
【答案】B
【分析】
根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求.
【详解】
设每个矩形块中的数字从大到小形成数列，则可得是首项为，公比为的等比数列，，
所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故A错误；
前七个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；
矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误；
按照这个规律继续下去，第个矩形块中所填数字是，故D错误.
故选：B.
11.（2021·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】
对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
12．（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
先由求出公比，再由，求出和的关系式，然后结合等比数列的定义和求和公式逐项判断即可.
【详解】
解：设等比数列的公比为，且
因为，即
化简得：
解得：或（舍去）
对A，因为，所以，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，因为，即，化简得：，又
解得，当，时，，故C错误；
对D，由C知，，故D正确.
故选：BD.
13．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高（称为“中央C”）.将每个“八度”（ 如与之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ）www.21-cn-jy.com
（参考数据：，，，，，）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．110 B．233 C．505 D．1244
【答案】ABD
【分析】
A.由可得答案；对于BCD，通过求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.
【详解】
∵A4 = 440，，故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音，A正确.
设相邻音阶的公比为，则，∴.
而A3 = 220，A4 = 440，A5 = 880，，B正确；
（n∈N*），C不正确；
，D正确.
故选：ABD.
14．（2021·四川资阳·高三月考（文））九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，，则_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
利用累加法可求得的值.
【详解】
当且时，，
所以，.
故答案为：.
15．（2021·全国·高二课时练习）若数列为等比数列，其中，是方程的两根，且，则实数______.
【答案】
【分析】
利用根与系数的关系，结合已知条件和等比数列的性质可求得答案
【详解】
由题意知，，，
所以，所以.
故答案为：
16．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则＝______.21*cnjy*com
【答案】
【分析】
由等比通项公式，结合等差中项的性质可得2q2＋q－1＝0，求得公比，再由即可求值.
【详解】
∵等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，
∴a1q2－a1q3＝2a1q4,即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，
∴.
故答案为：
17．（2021·湖南·高考真题）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】
（1）且，，
（2）
18．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】
易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.2·1·c·n·j·y
19．（2021·四川资阳·高三月考（理））设，，现给出以下三个条件：①，；②，对于任意，，，且；③，，．2-1-c-n-j-y
从以上三个条件中任选一个，补充在本题相应的横线上，再作答（如果选择多个条件作答，则按第一个解答计分）【出处：21教育名师】
已知数列的前项和为，满足
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）分别选择①②③，根据递推关系式化简得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解．
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法，求得，进而得到．
（1）
解：若选择①：
由题意，当时，由，可得，
两式相减可得，
又由，，所以，解得，，则，所以是以为首项， 为公比的等比数列，所以．
若选择②：
由，令，则，
因为，知数列各项不为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
又由，可得，即，解得，
所以．
若选择③：
当时，，则，即有．
又由，则，于是，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）
解：由（1）知，可得，
所以，
则，
两式相减得，
所以，则，
又由，则，所以．
20．（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知为等差数列，为等比数列，且的各项均为正数，若，，.
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）由已知列出公差和公比得方程组即可求解；
（2）利用错位相减法求和即可求出.
（1）
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由于的各项均为正数，所以，
由，得：①，②，
将①代入②得：，
解得或（舍去），所以，
所以，.
（2）
解：由（1）得，，所以，
所以③
③式两边同乘以得④
③-④得
.
所以.
21．（2021·四川资阳·高三月考（文））已知数列的前项和为，且，（，）
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据与的关系即可得出答案；
（2）利用错位相减法即可得出答案.
（1）
解：由题，时，，，则，即有，
又，则，于是，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
（2）
由（1），则，所以，
则，
两式相减，得，
所以．
22．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））已知数列的前项和为，且，当时，．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求数列的通项公式；
（2）设，设，求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，，可得，两式相减即可求解；
（2）由（1）可求得，进而可得，，利用乘公比错位相减求和即可求解.
【详解】
（1）当时，，，
两式相减可得：，即，
所以，不满足，
所以数列的通项公式为；
（2）当时，由，，可得，
，满足，所以，
可得，，
，
，
两式相减可得：
，
所以.
23．（2021·浙江·杭州高级中学高二期中）已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最大值．
【答案】（1）；（2），最大值为.
【分析】
（1）已知是等比数列，所以用基本量进行计算即可
（2）写出关于的表达式，观察可发现是对勾函数的形式，且变量的范围已知，所以可以求解函数的最大值
【详解】
（1）设等比数列的公比为,
因为, , 成等差数列，所以，
即, 所以，即, 可得,
又因为, 所以等比数列的通项公式为．
故数列的通项公式为．
（2）由（1）得,
所以，
所以 ,令，因为，所以，
则，且在单调递减
当，即时，,
所以的最大值为.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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专题九 数列
03 等比数列及其前n项和
考纲对本模块内容的具体要求如下：
等比数列与等差数列同样是高考考查的重点，是必考点，常考等比数列基本量的计算.
数学抽象：能从教材实例中抽象出等比数列的概念，了解等比数列与指数函数的关系.
数学运算：1.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项 ( http: / / www.21cnjy.com )起，每一项与它的前一项的比等于_____(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．2·1·c·n·j·y
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_____叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 _____.www-2-1-cnjy-com
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝_____＝amqn－m.
(2)前n项和公式：
Sn＝
[常用结论]
1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．21*cnjy*com
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．【出处：21教育名师】
考点一　等比数列的基本运算
（1）（2020·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
（2）（2021·江苏·高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.21教育网
【规律方法】
1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 ( http: / / www.21cnjy.com )基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.【版权所有：21教育】
2 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和21教育名师原创作品
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课时练习）设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
考点二 等比数列的判定与证明
已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
【规律方法】
（1）证明一个数列为等比数列常用定 ( http: / / www.21cnjy.com )义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
（2）利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.
【跟踪练习】（1）（2020·江苏·高二月考）给出以下命题，其中错误的命题的是（ ）
A．若数列是等差数列，且（），则
B．若是等比数列的前n项和，则成等比数列
C．若是等比数列的前n项和，且（其中A，B是非零常数，），则
D．若数列的前n项和（a，b，c为常数）则数列为等差数列
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
考点三 等比数列性质的应用
(1)（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
(2)（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，且，则（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【规律方法】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2-1-c-n-j-y
（2）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【跟踪练习】 （1）（2021·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·全国·高二课时练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
1.（2021·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B．5 C． D．9
2．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
3.（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）在等比数列中，，，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．9 B．27 C．81 D．243
4．（2021·上海交大附中高二期中）正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．2
5．（2021·河北·高三期中）2 ( http: / / www.21cnjy.com )021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（ ）21*cnjy*com
A．2022年12月11日 B．2022年11月11日
C．2022年10月11日 D．2022年9月11日
6．（2021·河南三门峡·高三月考（理））等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·河南驻马店·高三月考（文））记等比数列的前项和为，若则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
9．（2021·四川绵阳·高三月考（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
10．（2019·新疆·克拉玛依市教 ( http: / / www.21cnjy.com )育研究所三模（文））如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
B．前七个矩形块中所填写的数字之和等于
C．矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
D．按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是
11.（2021·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
12．（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高（称为“中央C”）.将每个“八度”（ 如与之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ）
（参考数据：，，，，，）
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A．110 B．233 C．505 D．1244
14．（2021·四川资阳·高三月考（文））九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，，则_______．
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15．（2021·全国·高二课时练习）若数列为等比数列，其中，是方程的两根，且，则实数______.
16．（2021·全国·高二课时练习）等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则＝______.
17．（2021·湖南·高考真题）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．（2021·四川资阳·高三月考（理））设，，现给出以下三个条件：①，；②，对于任意，，，且；③，，．21cnjy.com
从以上三个条件中任选一个，补充在本题相应的横线上，再作答（如果选择多个条件作答，则按第一个解答计分）21·cn·jy·com
已知数列的前项和为，满足
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：．
20．（江苏省苏州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知为等差数列，为等比数列，且的各项均为正数，若，，.
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．（2021·四川资阳·高三月考（文））已知数列的前项和为，且，（，）
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））已知数列的前项和为，且，当时，．21世纪教育网版权所有
（1）求数列的通项公式；
（2）设，设，求数列的前项和为．
23．（2021·浙江·杭州高级中学高二期中）已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最大值．
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例3
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