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专题九 数列
04 数列求和
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d；
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．2-1-c-n-j-y
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
[常用结论]
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
(4)12＋22＋…＋n2＝.
考点一　分组转化求和
（2021·江西·吉安县第三中学高二开学考试）已知数列的各项均为正值，对任意，都成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求数列的前项和;
(3)当且时，证明对任意都有成立.
【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.
【分析】
（1）先化简条件得，再构造等比数列，利用等比数列通项公式求的通项公式，代入可得的通项公式；（2）利用分组求和法以及错位相减法求（3）利用倒序相加以及放缩可得结果，也可利用等距放缩论证结果
【详解】
解：（1）由，得
∵数列的各项均为正值，，
，整理为
又 ∴数列为等比数列，
∴ ∴数列的通项公式，
数列的通项公式
（2）由（1）知，则
令. ①
则②
得：==
故
所以
（3)设
（1）
当时，
当且仅当时等号成立.
∴上述（1）式中，全为正，
（法二）
＝
【规律方法】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
【跟踪练习】（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））在公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可.
（1）设等差数列的公差是d，则
，解得．
所以．
（2）由（1）知．
所以
考点二 裂项相消法求和
（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列是正项等差数列，，且.数列满足，数列前项和记为，且.21*cnjy*com
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和记为，试比较与的大小.
【答案】
（1）
（2），过程见解析
【分析】
（1）将分母有理化，然后利用求和公式求出，再结合即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）的结果求出，再由裂项相消法求出，然后利用作差法即可比较大小.
（1）
解：设数列的公差为，
，
，
，可得
又，
.
（2）
解：由（1）可得，
不妨记，则
，
.
【规律方法】
（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2·1·c·n·j·y
（2）将通项公式裂项后，有时侯需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
【跟踪练习】（2021·河南南阳·高二期中）设数列满足，.
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，，.求证：数列的前项和.
【答案】
（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【分析】
（1）计算，再根据首项得到通项公式.
（2）计算，利用累加法得到，放缩，利用裂项相消法计算得到证明.
（1）
，又，
为以2为首项，以2为公比的等比数列，可得：，.
（2）
，时，
时也符合上式，
.
所以数列的前项和.
考点三 错位相减法求和
（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由，变形为．得到为常数列求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
（1）
解：因为，
所以，
即．
所以为常数列．
又因为，所以，
所以．
（2）
由（1）知：，
则．①
两边同乘以得，得．②
①-②，得，
所以．
【规律方法】
错位相减法求和的具体步骤
步骤1→写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；
步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn；
步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和；
步骤4→两边同除以1－q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论.
【跟踪练习】 （2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）采用作差法结合关系式可求，再验证可求的通项公式；对变形得，求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）采用错位相减法即可求解.
（1）
由，得，.
又，，
两式相减，得，.
，.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..
由，得，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列.
.；
（2）
，.
两式相减，得
.
1.（2021·广西南宁·高一月考）已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：21cnjy.com
①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.
其中正确的序号是
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】
找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项和，结合这些规律来判断各题的正误．www.21-cn-jy.com
【详解】
由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：
对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为
，命题①正确；
对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，
且数列的前项之和为
，
当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；
对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为
，
第行最后一项位于数列的项数为，且，
则位于数阵第行第项（即），
所以，
，命题③错误；
由①知，，且，
则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，
则有，可得出，
由于，，则，，
因此，满足的最小正整数，命题④正确．
故选B.
【点睛】
本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题．21·世纪*教育网
2．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．7 B．126 C．247 D．254
【答案】C
【分析】
根据和的关系得到，计算，，故，利用分组求和法计算得到答案.
【详解】
，当时，，故；
当时，，，相减得到，
数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，
，，
.
故选：C.
3．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据，裂项求和可得结果.
【详解】
由,
得,
得，
故选：C.
4．（2021·江西九江·高二期中（理））已知是等比数列，是16与的等差中项，则数列的前10项和（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，则，再由裂项相消法求解即可
【详解】
设数列的公比为q，由题知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，的前项和为，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由的通项公式，将代入可得，进而应用分组求和的方法求.
【详解】
当，时，，即，
∴.
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）21教育名师原创作品
A．12 B．21 C．11 D．31
【答案】B
【分析】
根据等差数列的通项公式，由，求得，再由，，成等比数列，求得，得到，结合并项求和，即可求解.
【详解】
由题意，公差大于0的等差数列中，，
可得，即，
由，，成等比数列，可得，
即为，解得或（舍去），
所以数列的通项公式，
所以数列的前21项和为：
.
故选：B.
7．（2021·河南南阳·高二期中）已知数列满足，，，则数列的前2021项的和为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用累加法得到，带入得到，再利用分组求和法计算得到答案.
【详解】
，即.
.
.
故
.
故选：A.
8．（2021·江苏·苏州中学高二期中）北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看到一层层垒起来的酒坛（如图所示），不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”“后来沈括提出了“隙积术”，相当于求数列的和．如图，最上层的小球数是20，其中，则这堆小球总数不可能是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1100 B．5200 C．8100 D．21300
【答案】B
【分析】
先用组合数的性质求和得，再逐一验证即可
【详解】
因为，
令，，
令的前项和为，
则
，
对于A：，
则，解得，故A有可能；
对于B：，
则，
因为，
故无正整数解，故B不可能；
对于C：，
则，解得，故C有可能；
对于D：，
则，解得，故D有可能；
故选：B
9．（2021·江西九江·高二期中（理））若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
【答案】B
【分析】
由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以的前100项的和为，
故选：B．
10．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（文））设数列的前项和是，令，称为数列，，…，的“超越数”，已知数列，，…，的“超越数”为2020，则数列5，，，…，的“超越数”为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【分析】
根据题中定义得出，然后利用“超越数”的定义可求得结果.
【详解】
数列，，…，的“超越数”为，
则，
所以，
故数列5，，，…，的“超越数”为：
．
故选：D．
11．（2021·全国·高二课时练习）数列的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据错位相减法求解即可得答案.
【详解】
解：设的前n项和为，
则， ①
所以， ②
①－②，得，
所以．
故选:B．
12．（2021·湖南·高三月考）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）
参考数据：1.122＝8.14
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．814 B．900 C．914 D．1000
【答案】C
【分析】
由题得，再利用错位相减法求解.
【详解】
由条件可得，
∴，
得
，
∵，
∴．
故选：C
13．（2021·全国·高一单元测试）复数的虚部是（ ）
A．1008 B．﹣1008 C．1008i D．﹣1008i
【答案】B
【分析】
利用错位相减法进行求和化简即可.
【详解】
设S＝i+2i2+3i3+4i4+…+2016i2016，
则iS＝i2+2i3+3i4+4i5+…+2016i2017，
两式相减得（1﹣i）S＝i+i2+i3+i4+…+i2016﹣2016i2017
2016i2016i＝﹣2016i，
则S1008﹣1008i，
则对应复数的虚部为﹣1008，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：把复数的指数和，类比等比数列的形式，利用错位相减法进行求和化简.
14．（2022·全国·高三专题练习）数列满足﹐若，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由，得，所以可得数列是等差数列，得数列的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解】
因为，所以，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，所以，设的前项和为，所以①，②，①-②得，，得.21教育网
故选：C
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．21·cn·jy·com
15．（2021·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且对任意恒成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用错位相减法求出将分离参数→换元后转化为对勾函数求解即可.
【详解】
依题意，
所以，①
，②
①-②，得，
所以，
故，
所以只需，则，则(为正奇数)，
所以(为正奇数).
根据对勾函数的特征，易得当时，的值最大，最大值为，
所以，即，故所求实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是准确地算出，然后对恒成立问题，首选的方法的参变分离.
16．（2021·全国·高三月考（理））已知数列的前项和为，，，记数列的前项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由已知递推关系先求的通项公式，用错位相减法求数列的前项的和，
再变量分离不等式，构造新数列，确定新数列的单调性进而求最值.
【详解】
由，得，
当时，，
两式作差，得，
化简得，当时，
，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
，，
，，
错位相减得，，
所以.
令，则，
故当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，，
，于是由题意得.
故选: C.
【点睛】
方法点睛:确定数列问题中的参数取值范围（或最值），常通过变量分离，构造数列转化为求新数列的最值.
17．（2021·全国·高二专题练习）函数f(x)＝(x∈R)，若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝______，若n∈N*，则f()＋f()＋…＋f()＋f()＝__________.
【答案】 －
【分析】
由已知中函数，结合，可得，，代入计算即可得到的值；进而根据结论，利用倒序相加法，即可求出的值．
【详解】
解：函数，
，，
又，，
；
由题得
所以
两式相加得，
所以
所以.
故答案为：；．
18．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式___________；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=___________.
【答案】 或
【分析】
利用前利用前项和的定义展开，然后每项分一组，最后剩下项，结合周期数列的性质即可求得；
先求出的前项和，然后将问题转化为，通过讨论与两种情况下求得方程的根，即可得到的值.
【详解】
(1)因为数列是周期为的周期数列，，则，
所以.
故答案为：.
(2)因为，所以，
所以当时，的前项和为，
当时，的前项和为；
满足，
即，.
而，
(1)当时，，
所以，
解得或；
(2)当时，，
所以，
解得不是整数，舍去.
故答案为：或.
【点睛】
此题两个小问，第一小问解题的关键是弄清楚数列求和的定义，利用定义将各前项和求出化简即可；第二小问通项公式中含有绝对值符号，所以需要用到分类讨论的思想，分别求出.【出处：21教育名师】
19．（2021·上海交大附中高二期中）如图，有一个半径为的半球，过球心作底面的垂线，上一点满足，过作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为_____________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
利用祖暅原理计算出截面以上部分的体积，再利用半球的体积减去截面以上部分的体积可得结果.
【详解】
设截面以上部分的体积为，截面以下部分的体积为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，，则，，
将进行等分，过这些等分点作平行于底面的平面，将截面以上部分切割成层，
( http: / / www.21cnjy.com / )
每一层都是近似于圆柱形状的“小圆柱”，
这些“小圆片”的体积之和即为，
由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积，
它的高就是“小圆片”的厚度，底面就是“小圆片”的下底面，
由勾股定理可知第层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径为，
于是，第层“小圆片”的体积为，
所以，
，
所以，，
故.
故答案为：.
20．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）令，求数列的前2020项和.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）
因为，所以，
所以.
（3）
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
21．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．【版权所有：21教育】
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】
（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】
关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
22．（2021·上海市行知中学高二期中）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn等差数列．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）判断数列{an}是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由；
（2）若bn＝﹣2log2an，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若不等式Tn≤m2﹣m﹣1对一切正整n恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）是，
（2）
（3）或
【分析】
（1）根据等差数列性质得到，根据得到，得到答案.
（2），，利用错位相减法计算得到答案.
（3），根据数列的单调性得到最大值为，解不等式得到答案.
（1）
，an，Sn等差数列，即，当时，，；
当时，，相减得到，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，即，验证时成立.
故.
（2）
，，
，
，
两式相减得到：
，故.
（3）
，设，则，
即当时，数列递减，，，，故数列的最大值为.
，解得或.
23．（2021·浙江宁波·高三月考）已知等差数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求数列中最大项的值．
【答案】
（1）
（2）4
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，依题意得到方程，求出，即可得解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求出，令，利用作差法说明其单调性，即可得到的最大项；
（1）
解：设等差数列的公差为d，因为，且，
所以，
化简得，
所以，所以，
即
（2）
解：因为，
所以，，
所以，
即
设，
则，
当时，，
当时，，
即
所以为最大项，
即数列的最大项的值是4．
24．（2021·山西大附中高三月考（理））已知正项数列首项为1，前项和满足，
（1）求数列的通项公式.
（2）若，求的前项和.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)由证明数列为等差数列，由此求出，
再由与的关系求数列的通项公式；(2)由(1) 可化为，再由裂项相消法求的前项和.
（1）
∵ ，
∴ ，又
∴ ，
∴ 数列为公差为1的等差数列，又，
∴ ，故，
∴ 当时，，又，
∴ ；
（2）
由(1) ，
∴ ，
∴
∴，
∴ ，
25．（2021·福建省福州格致中学高三月考）设数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据可得，再根据累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）由，利用并项求和法，先求出为偶数时的表达式，即可求出为奇数时的表达式，从而解出．
【详解】
（1）当时，，即，
当时，，
即，因此，
所以
即，经检验，时成立，所以．
（2），
所以，当n为偶数时
；
当n为奇数时，．
综上所述，．
考纲解读
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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专题九 数列
04 数列求和
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d；
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．21世纪教育网版权所有
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：21教育网
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．21·cn·jy·com
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．www.21-cn-jy.com
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．2·1·c·n·j·y
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
[常用结论]
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
(4)12＋22＋…＋n2＝.
考点一　分组转化求和
（2021·江西·吉安县第三中学高二开学考试）已知数列的各项均为正值，对任意，都成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求数列的前项和;
(3)当且时，证明对任意都有成立.
【规律方法】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【来源：21·世纪·教育·网】
易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
【跟踪练习】（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））在公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．【版权所有：21教育】
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和．
考点二 裂项相消法求和
（2021·河南南阳·高三期中（理））已知数列是正项等差数列，，且.数列满足，数列前项和记为，且.2-1-c-n-j-y
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和记为，试比较与的大小.
【规律方法】
（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.21教育名师原创作品
（2）将通项公式裂项后，有时侯需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
【跟踪练习】（2021·河南南阳·高二期中）设数列满足，.
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，，.求证：数列的前项和.
考点三 错位相减法求和
（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求．
【规律方法】
错位相减法求和的具体步骤
步骤1→写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；
步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn；
步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和；
步骤4→两边同除以1－q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论.
【跟踪练习】 （2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
1.（2021·广西南宁·高一月考）已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：21*cnjy*com
①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.
其中正确的序号是
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
2．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
3．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西九江·高二期中（理））已知是等比数列，是16与的等差中项，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，的前项和为，则当时，（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
7．（2021·河南南阳·高二期中）已知数列满足，，，则数列的前2021项的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏·苏州中学高二期中）北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看到一层层垒起来的酒坛（如图所示），不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”“后来沈括提出了“隙积术”，相当于求数列的和．如图，最上层的小球数是20，其中，则这堆小球总数不可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1100 B．5200 C．8100 D．21300
9．（2021·江西九江·高二期中（理））若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
10．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（文））设数列的前项和是，令，称为数列，，…，的“超越数”，已知数列，，…，的“超越数”为2020，则数列5，，，…，的“超越数”为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
11．（2021·全国·高二课时练习）数列的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．
12．（2021·湖南·高三月考）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）
参考数据：1.122＝8.14
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．814 B．900 C．914 D．1000
13．（2021·全国·高一单元测试）复数的虚部是（ ）
A．1008 B．﹣1008 C．1008i D．﹣1008i
14．（2022·全国·高三专题练习）数列满足﹐若，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且对任意恒成立，若，则实数的取值范围为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
16．（2021·全国·高三月考（理））已知数列的前项和为，，，记数列的前项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B．
C． D．
17．（2021·全国·高二专题练习）函数f(x)＝(x∈R)，若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝______，若n∈N*，则f()＋f()＋…＋f()＋f()＝__________.21*cnjy*com
18．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式___________；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=___________.【来源：21cnj*y.co*m】
19．（2021·上海交大附中高二期中）如图，有一个半径为的半球，过球心作底面的垂线，上一点满足，过作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为_____________.【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）令，求数列的前2020项和.
21．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
22．（2021·上海市行知中学高二期中）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn等差数列．21·世纪*教育网
（1）判断数列{an}是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由；
（2）若bn＝﹣2log2an，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若不等式Tn≤m2﹣m﹣1对一切正整n恒成立，求实数m的取值范围．
23．（2021·浙江宁波·高三月考）已知等差数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求数列中最大项的值．
24．（2021·山西大附中高三月考（理））已知正项数列首项为1，前项和满足，
（1）求数列的通项公式.
（2）若，求的前项和.
25．（2021·福建省福州格致中学高三月考）设数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式
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