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专题17 圆锥曲线的综合问题
重点题型
题型一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．弦长的求解（熟记）
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
2．中点弦问题（熟记结论可快速解题）
（1）AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
题型二、圆锥曲线中的轨迹问题
曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下种：
1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．
2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数、的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．
3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使、之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，需要找个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．
注：求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．
题型三、圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题常有以下种方法，其中第2种最为常用：
1．几何法：若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．
2．代数法：把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式．
3．不等式（组）法：由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围．
题型四、圆锥曲线中的定值与定点问题
关于圆锥曲线的命题，常出现一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，有一定的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题.
1．定值问题：解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）．
2．定点问题：解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点．
解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
3．定直线问题：对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程．
题型五、圆锥曲线中的探究性问题
探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等.圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：
一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．
考点集训
1．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题知，|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，
故P点的轨迹是以A为焦点，y＝－1为准线的抛物线，
所以其方程为x2＝4y.
（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)
此时由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝0
由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，与x2＝4y联立得x2－4kx－8＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8
＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0
故r＝－2，即存在满足条件的定点R(0，－2).
2．设椭圆方程为，椭圆的短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过定点的直线与椭圆交于两点，证明：直线，的交点在定直线上.
【解析】（1）由题意知，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）得，设，
直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
设过T(1，0)的直线为，代入椭圆方程，整理得
，所以①，
联立两直线方程，消去y，整理得，
将代入整理，得，
把①式代入，整理得，
即直线AC与直线BD的交点的横坐标恒等于4，
所以直线AC与直线BD的交点恒在定直线x=4上.
3．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程
2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2（2）设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝ (－2，－)(舍去)，
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
4．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
【解析】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线
C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），
所以，解得p＝2，所以抛物线的C的方程为y2＝4x；
（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设，
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简可得t2＝32，
所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x＝8；
②当直线AB的斜率存在时，设方程为y＝kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，化简可得ky2﹣4y+4b＝0，则有，
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，
即x1x2+2y1y2＝0，即，解得，
解得b＝﹣8k，所以y＝kx﹣8x，即y＝k（x﹣8）．
综上所述，直线AB过x轴上的一定点（8，0）．
6．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＝1．
（2）k1+k2为定值4，证明如下：
(ⅰ)当直线l斜率不存在时，l方程为x＝﹣1，由方程组 易得，，
于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4为定值．
(ⅱ)当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，
由韦达定理得(*)
∴k1+k2＝＝
＝＝2k+(k﹣4) ，将(*)式代入上式得k1+k2＝4为定值.
7．已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
【解析】（1）由题意，可得，即，
∴抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去x得，则，
∴，，又，.
∴.
∴为定值.
8．已知P（2，0）为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长
轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重
合时，直线PA，PB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若2，求△OAB面积的最大值．
【解析】（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA kPB．
又1，代入上式可得：，
又a＝2，解得b＝1．
∴椭圆C的标准方程为：y2＝1．
（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，
∴y1+y2，y1y2，
∵2，∴y1＝﹣2y2，
∴，代入可得：m2．
∴△OAB的面积S|m（y1﹣y2）||my2|，
∴S2m2 9．
∴S1，当且仅当t2时取等号．
∴△OAB面积的最大值为1．
9．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点(在之间)，直线交直线于点.是否存在这样的直线，使得(为的焦点)？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设圆的方程为，
∵，可设，代入得，∴，代入，得
.①
∵，抛物线的准线方程为，可设，代入，得
.②
解①②得(舍去).
∴抛物线的方程是.
（2）的焦点的坐标，显然直线与坐标轴不垂直，设直线的方程为，，.
联立消去得.
由，解得，∴且.
由韦达定理得，.
∵，∴，∴.
整理得，∴，
整理得.
解得，经检验，符合题意.
∴这样的直线存在，且直线的方程为或，即或.
10．已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C经过点
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设过点F(1，0)的斜率存在的直线l与C交于M，N两点，点Q在x轴上，且|MQ|=|NQ|，是否存在常数λ使|MN|=λ|QF|？如果存在，请求出λ；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）设椭圆C的标准方程(m>0，n>0，m≠n)，
把点代入椭圆方程可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设直线l的方程为，
代入椭圆方程并整理得，所以，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，，
所以，
因为 ，
所以线段MN的中点坐标为，
因为点Q在x轴上，且|MQ|=|NQ|，所以Q为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，
当k=0时，Q为坐标原点，|MN|=4，|QF|=1，满足|MN|=4|QF|，
当k≠0时，线段MN的垂直平分线方程为y+=，
令y=0，得x=，即,
所以，
所以|MN|=4|QF|，
综上所述，存在实数λ=4满足题意.
11．椭圆的左 右焦点分别为F1 F2，焦点F1，F2和原点O将椭圆C的长轴恰好四等分，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在x轴上且在焦点F1的右侧，若始终保持线段AB的长度是线段PF1的长度的4倍，证明：线段PA与线段PB的长度相等.
【解析】（1）解：设椭圆的焦距为2c，
因为焦点F1，F2和原点O将椭圆C的长轴恰好四等分，
所以a=2c， ，
所以椭圆的方程为，
代入点的坐标得，
解得，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，则线段PA与线段PB的长度相等，
②当直线l的斜率存在时，由题知F（﹣1，0），
设直线l的方程为y=k（x+1），
联立，
得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
设，P（t，0），（t>﹣1），
所以，
则，
设AB的中点为，
则，
又，
因为线段AB的长度是线段PF1的长度的4倍，
则，所以，
由直线PM的斜率为，
因为，
所以直线PM与AB垂直，
又M为AB的中点，所以|PA|=|PB|，
综上所述，线段PA与线段PB的长度相等.
12．阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家 物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设椭圆E的左 右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得：，
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，，，
由，整理得，
，
，
令()，则，
设，函数在区间单调递增，知，
即当，即时，取到最大值.
（3）由（2）知点在直线的方程为上，且.
易知椭圆的左 右顶点分别为，，直线方程为：，
它与直线交于点，则，
由于，都存在，且
，
故于是于是B，Q，F三点共线.
13．设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．
（1）求点的轨迹的方程．
（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与（1）中的曲线交于两点，．分别记，的面积为，，求的取值范围．
【解析】（1）设点，由得，由于点在圆上，所以，即点的轨迹方程为．
（2）如图所示，设点，，，则，的方程为
，，
又点在、的上，则有：
①，
②，
由①、②知的方程为：．
设点，，则圆心到的距离，则；
又由，得，
于是，，，
于是．
设，则，于是．
设，，于是．
设，，令，得，
得在上单调递增，故，所以的范围为，即的取值范围．
14．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求FA·FB的取值范围．
【解析】（1）由题意，直线l的方程为y＝x－，联立消去y整理得x2－3px＋＝0.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知，F(1,0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y.
令x＝－，得y2－2y0y＋3x0－＝0.
又∵y＝4x0，∴Δ＝4y－12x0＋3＝y＋3>0恒成立．
设A，B，
则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－.
∴FA·FB＝·
＝
＝
＝＝3|x0＋1|.
∵x0≥0，∴FA·FB∈[3，＋∞)．
∴FA·FB的取值范围是[3，＋∞)．
15．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
【解析】（1）设，，
因为，所以，即，
所以，
所以，所以，，即，
所以.
（2）设直线的方程为（）．
由，整理得．
则，
因为直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点
于是，且．
整理得．
设线段的中点坐标，则，．
所以的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．
由题可得．整理得，．
所以可得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
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专题17 圆锥曲线的综合问题
重点题型
题型一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．弦长的求解（熟记）
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
2．中点弦问题（熟记结论可快速解题）
（1）AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
题型二、圆锥曲线中的轨迹问题
曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下种：
1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．
2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数、的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．
3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使、之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，需要找个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．
注：求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．
题型三、圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题常有以下种方法，其中第2种最为常用：
1．几何法：若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．
2．代数法：把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式．
3．不等式（组）法：由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围．
题型四、圆锥曲线中的定值与定点问题
关于圆锥曲线的命题，常出现一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，有一定的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题.
1．定值问题：解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）．
2．定点问题：解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点．
解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
3．定直线问题：对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程．
题型五、圆锥曲线中的探究性问题
探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等.圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：
一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．
考点集训
1．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
2．设椭圆方程为，椭圆的短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过定点的直线与椭圆交于两点，证明：直线，的交点在定直线上.
3．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
4．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线
C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
6．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
7．已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
8．已知P（2，0）为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长
轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重
合时，直线PA，PB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若2，求△OAB面积的最大值．
9．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点(在之间)，直线交直线于点.是否存在这样的直线，使得(为的焦点)？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
10．已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C经过点
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设过点F(1，0)的斜率存在的直线l与C交于M，N两点，点Q在x轴上，且|MQ|=|NQ|，是否存在常数λ使|MN|=λ|QF|？如果存在，请求出λ；如果不存在，请说明理由.
11．椭圆的左 右焦点分别为F1 F2，焦点F1，F2和原点O将椭圆C的长轴恰好四等分，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在x轴上且在焦点F1的右侧，若始终保持线段AB的长度是线段PF1的长度的4倍，证明：线段PA与线段PB的长度相等.
12．阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家 物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设椭圆E的左 右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.
13．设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．
（1）求点的轨迹的方程．
（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与（1）中的曲线交于两点，．分别记，的面积为，，求的取值范围．
14．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求FA·FB的取值范围．
15．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
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