资源简介

(共24张PPT)
章末整合
第2章
2022
内容索引
01
02
知识网络 整合构建
专题归纳 思维深化
知识网络 整合构建
专题归纳 思维深化
专题一
三角函数的求值
名师点析 三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值、给值求值、给值求角.
给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.
变式训练1(2021江苏无锡高一期末)已知角α是第二象限角,且t α=-2 .
(1)求sin2α+2sin αcos α的值;
专题二
三角函数的化简与证明
例4求证:sin 3α=4sin αsin(60°-α)sin(60°+α).
分析右边较为复杂,可考虑从右边向左边证明.
证明 右边=4sin α(sin 60°cos α-cos 60°sin α)·(sin 60°cos α+
cos 60°sin α)=4sin α( )=sin α(3cos2α-sin2α)
=sin α(2cos2α+cos2α-sin2α)
=2sin αcos2α+sin α(cos2α-sin2α)
=2sin αcos αcos α+sin αcos 2α
=sin 2αcos α+cos 2αsin α
=sin(2α+α)=sin 3α=左边.故等式成立.
名师点析 用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法:
(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角、复角化单角、sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.
(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.
(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差异,借助于以下几种途径进行变换:
①常值代换,如“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=t 45°.
②变用公式,如sin αcos α= sin 2α,t A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B).
答案 D
专题三
三角函数性质与变换公式的综合应用
(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要依据具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.第2章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.sin 140°cos 10°+cos 40°sin 350°=(　　)
　 　　　　　　　　　　　　
A. B.-
C. D.-
答案A
解析依题意,原式=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°=sin(40°-10°)=sin 30°=,故选A.
2.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是(　　)
A.6π B.2π
C. D.
答案C
解析由y=sin 3x+cos 3x,得y=sin 3x+cos 3x=sin3x+,可知该函数的最小正周期T=,故选C.
3.已知=5,则cos2α+sin 2α= (　　)
A.- B.3 C.-3 D.
答案D
解析因为=5,
所以=5,
解得tan α=3,cos2α+sin 2α=,故选D.
4.(2021江苏苏州期中)sin-cos的值等于 (　　)
A.- B.
C.- D.
答案A
解析sin-cossin
=-sin=-.故选A.
5.(2021新疆乌鲁木齐模拟)已知sin+cos α,则cos=(　　)
A.- B.-
C. D.
答案D
解析sin+cos α,
整理得cos α+sin α=-,
即sin=-,故cos=1-2sin2α+=.故选D.
6.已知sin 2α=,则cos2α-=(　　)
A.- B.
C.- D.
答案D
解析cos2,由于sin 2α=,所以cos2.故选D.
7.已知sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案D
解析因为sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,又cos 2β=2cos2β-1=-<0,
所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系,
可得cos(α+2β)=-,sin β=,
所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]
=sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β=--×,故选D.
8.设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　)
A. B.-
C. D.-
答案A
解析因为sin 20°=m,cos 20°=n,
所以.故选A.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021浙江高一下开学考)下列选项中,与sin(-330°)的值相等的是(　　)
A.2cos215°
B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°
C.2sin 15°sin 75°
D.tan 30°+tan 15°+tan 30°tan 15°
答案BC
解析sin(-330°)=sin(360°-330°)=sin 30°=.
对于A选项,2cos215°=2×=1+cos 30°=1+;
对于B选项,cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=;
对于C选项,2sin 15°sin 75°=2sin 15°sin(90°-15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=;
对于D选项,∵tan 45°=tan(30°+15°)==1,化简可得tan 30°+tan 15°+tan 30°tan 15°=1.故选BC.
10.(2020江苏南京期末)下列四个等式中正确的是 (　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=
B.
C.cos2-sin2
D.=4
答案AD
解析对A:tan 60°=tan(25°+35°)=,故tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故正确;
对B:,故错误;
对C:cos2-sin2=cos,故错误;
对D:=4,故正确.故选AD.
11.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则(　　)
A.sin θcos θ=-
B.sin θ-cos θ=
C.sin θ-cos θ=
D.tan θ=-
答案ACD
解析因为sin θ+cos θ=,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
即sin θcos θ=-,所以A正确;
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ=,所以B错误,C正确;
联立
解得sin θ=,cos θ=-.
所以tan θ=-.所以D正确.
12.已知α,β∈(0,π),sin,cosβ-=,则sin(α-β)的可能取值为(　　)
A.- B.-
C. D.
答案CD
解析∵cos,∴cos=cos=sin,
∵α,β∈(0,π),
∴α+∈,β+∈.
又sin,sin,∴α+,β+,
∴cos=-,cos=±,
∴sin(α-β)=sinα+-β+=sinα+cosβ+-cosα+sinβ+=.故选CD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cos α=,α∈0,,则cos+α=　　　　　.
答案
解析因为cos α=,α∈0,,则sin α=,
所以cos+α=coscos α-sinsin α=.
14.(2021全国四模)已知tan=2,则sin 2θ=　　　　　.
答案
解析tan=2,
即tan θ+1=2-2tan θ,
∴tan θ=,则sin 2θ=2sin θcos θ=.
15.cos271°+cos249°+cos 71°cos 49°=　　　　.
答案
解析设x=cos271°+cos249°+cos 71°cos 49°,
y=sin271°+sin249°+sin 71°sin 49°,
所以x+y=2+cos 22°, ①
x-y=--cos 22°, ②
①+②得x=.
16.已知tan(α+β)=,tan=-2,则tan=　　　　　,tan(α+2β)=　　　　　.
答案-8　
解析tan=tan=-8.
tan=-2,tan β=-.
tan(α+2β)=.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1).
(1)求sin 2α的值;
(2)若角β满足下列三个条件之一.
①锐角β满足tan β=2;
②锐角β的终边在直线y=2x上;
③角β的终边与π的终边相同.
请从上述三个条件中任选一个,你的选择是　　　　　.求cos(α-β)的值.
解(1)已知角α始边与x轴非负半轴重合,顶点与原点重合,且角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1),则sin α==-,cos α=,可得sin 2α=2sin αcos α=2×=-1;
(2)若选①,锐角β满足tan β==2,
可得sin2β+cos2β=(2cos β)2+cos2β=5cos2β=1,
解得cos β=,sin β=,
可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==-;
若选②,锐角β的终边在直线y=2x上,可得tan β=2,由①可得cos(α-β)=-;
若选③,角β的终边与π的终边相同,
可得sin β=sinπ=sin=-sin=-,
cos β=cosπ=cos=-cos=-,
可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
18.(12分)已知0<α<<β<π,tan=-2,sin β=.
(1)求的值;
(2)求sin(α+2β)的值.
解(1)因为tan=-2,
所以tan α=3,
所以.
(2)因为tan α=3,0<α<,
所以cos2α=,
所以cos α=.
因为<β<π,sin β=,
所以β=,
所以sin(α+2β)=sin=-cos α=-.
19.(12分)(1)求值:sin 50°(1+tan 10°);
(2)已知tan θ=-,求1+sin θcos θ-cos 2θ的值.
解(1)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°1+=sin 50°×=1;
(2)∵tan θ=-,
∴1+sin θcos θ-cos 2θ=1+sin θcos θ-(1-2sin2θ)
=.
20.(12分)求下列各式的值.
(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°;
(2).
解(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]-[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=sin 50°-cos 40°=sin 50°-sin 50°=.
(2)
==
=-
=-
=-
=--2.
21.(12分)如图,三个全等的矩形相接,且AB=a,AD=b.
(1)若b=2a,求tan(α+β)的值;
(2)已知α+β=γ,求的值.
解(1)若b=2a,则tan α=,tan β=1,所以tan(α+β)==5.
(2)由图可得,tan α=,tan β=,tan γ=,
因为α+β=γ,
所以tan(α+β)==tan γ,
即,
化简得a2=b2,所以a=b,
所以的值为1.
22.(12分)已知向量a=(cos α,sin β+2sin α),b=(sin α,cos β-2cos α),且a∥b.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若α,β∈,且tan α=,求2α+β的值.
解(1)因为a∥b,所以cos α(cos β-2cos α)-sin α(sin β+2sin α)=0,所以(cos αcos β-sin αsin β)=2(sin2α+cos2α)=2,
所以cos(α+β)=2,
即cos(α+β)=.
(2)因为α,β∈,
所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=,
所以sin(α+β)=,
所以tan(α+β)=.
因为tan α=,
所以tan(2α+β)==1.
因为0<α+β<π,且cos(α+β)=>0,
所以0<α+β<.
因为0<α<,所以0<2α+β<π.
因为tan(2α+β)=1,所以2α+β=.

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