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1.2.1　向量的加法
第1章
2022
内容索引
01
02
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.借助实例掌握平面向量加法的概念.(数学抽象、数学运算)
2.借助平面向量的几何表示掌握向量加法的运算法则及运算律,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
“马走日”是中国象棋中“马”的走法,是指“马”走一步时只能是从一个“日”字形棋格的一个顶点跳到与之对角的顶点.我们可以用从出发点到目的点的有向线段来表示马走了“一步”,即“马”每走一步可以用一个向量来表示.那么想要让“马”从棋盘上的一个点走到它所在位置左侧的相邻点,应该如何实现呢
【知识点拨】
知识点一:向量加法的定义及求和法则
2.向量求和的法则
三角形法则
将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则
平行四边形法则
从同一点O出发作有向线段=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线就是a与b的和,即=a+b
名师点析 对向量加法的两种法则的理解
(1)当两个向量方向既不相同也不相反时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量方向相同或相反时,平行四边形法则便不再适用.
(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
微思考
物理学中,位移的合成与分解遵循什么法则
提示 位移的合成与分解,都遵循平行四边形法则.
微练习
微判断
对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.(　　)
答案 ×
知识点二:向量加法的运算律
1.加法交换律:a+b=b+a.
2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
名师点析 对向量加法的运算律的理解
(1)向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有一个为零向量时,交换律和结合律显然成立.
(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如,(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
微练习
下列各式不一定成立的是(　　)
A.a+b=b+a
B.0+a=a
D.|a+b|=|a|+|b|
答案 D
知识点三:零向量的加法性质
任意向量与零向量相加后保持不变,等于这个向量本身,即a+0=0+a= a .
要点笔记 若a,b为相反向量,则b=-a a+b=0,另外a=-b=-(-a).
微练习
化简下列各式:
课堂篇 探究学习
探究一
已知向量作和向量
例1如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
分析利用三角形法则或平行四边形法则→先作出两个向量的和向量→再作出三个向量的和向量
反思感悟 求作和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为起点,将两向量平移到首尾相接,从该起点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为起点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
探究二
利用向量加法运算或化简
分析根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量,然后利用结合律求解.
反思感悟 解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.化简:
探究三
利用向量加法法则解决实际问题
例3在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
分析解答本题先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.
从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.
反思感悟 向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
延伸探究 本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地
解 如图,由点C作垂线,垂足为D,
因为∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中,CD=ACsin 10°=800 sin 10°(km).即往正南方向飞行800 sin 10° km,即可由此按正西方向飞回A地.
当堂检测
1.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示(　　)
答案 B
2.若A,B,C,M,N,P是不重合的点,则下列等式错误的是(　　)
答案 B
答案 B
4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):1.2　向量的加法
1.2.1　向量的加法
必备知识基础练
1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
答案D
解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
2.
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则= (　　)
A. B. C. D.
答案B
解析.
3.已知向量a与b方向相同或相反,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　)
A.一定与向量a的方向相同
B.一定与向量a的方向相反
C.一定与向量b的方向相同
D.不确定
答案A
解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向一定与a的方向相同.
4.如图,在正六边形ABCDEF中,等于(　　)
A.0
B.
C.
D.
答案A
解析∵,
∴=0.
5.向量()+()+化简后等于 (　　)
A. B. C. D.
答案C
解析()+()+.
6.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)=　　　　　;
(2)=　　　　　;
(3)=　　　　　;
(4)=　　　　　.
答案(1)　(2)　(3)
(4)0
解析(1)由平行四边形法则可知,.
(2).
(3).
(4)=0.
7.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则∠ACB=　　　　　.
答案120°
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为,由向量加法的平行四边形法则可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
8.(2021福建福清期中)小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10 km/h,则小船实际航行速度的大小为　　　　　 km/h.
答案20
解析如图,向量是船在静水中的速度,是水流的速度,是小船的实际速度.
∵,||=||==20,
∴小船实际航行速度的大小为20 km/h.
关键能力提升练
9.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式成立的是 (　　)
A. B.
C. D.
答案C
解析因为四边形ABCD是菱形,
所以,故C项正确.
10.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有(　　)
A.|a+b|=|a|+|b|
B.a+b=a
C.a+b=b
D.|a+b|<|a|+|b|
答案AC
解析∵a=()+()==0,
又b为任一非零向量,
∴A,C正确.
11.
如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
(1);
(2);
(3).
解(1).
(2).
(3).
学科素养创新练
12.已知向量a,b的模分别是|a|=4,|b|=6,求|a+b|的最大值和最小值.
解作=a,=b(图略),则=a+b.
(1)当向量a,b不共线时,由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得|||-|||<||<||+||,即2<|a+b|<10.
(2)当向量a,b共线时,要分同向与反向两种情况.
①若向量a,b同向,则||=||+||=4+6=10,即|a+b|=10;
②若向量a,b反向,则||=||-||=6-4=2,即|a+b|=2.
故|a+b|的最大值为10,最小值为2.

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